Direkte Summe

Der Begriff „direkte Summe“ bezeichnet in der Mathematik die äußere direkte Summe und die innere direkte Summe.

In beiden Fällen wird die direkte Summe mit dem Verknüpfungszeichen geschrieben (eingekreistes Pluszeichen, Unicode: U+2295 circled plus sign, bzw. als mehrstelliger Operator analog dem Summenzeichen: U+2A01 n-ary circled plus operator).

Äußere direkte SummeBearbeiten

Als äußere direkte Summe bezeichnet man in der Mathematik den Standardvertreter des in der Kategorientheorie (nur bis auf Isomorphie) definierten Koprodukts von abelschen Gruppen oder Moduln (und damit auch Vektorräumen). Er ist gegeben durch die Untergruppe bzw. den Untermodul des direkten Produktes, welche aus den Tupeln mit höchstens endlich vielen vom (jeweiligen) Nullelement verschiedenen Einträgen besteht. Im Falle nur endlich vieler Faktoren stimmt diese Struktur offenbar mit dem direkten Produkt überein. (Im Folgenden werden wir uns der Einfachheit halber nur mit dem Fall von Vektorräumen beschäftigen, für die direkte Summe abelscher Gruppen und die direkte Summe von Moduln geht dies aber analog.)

Eine weitere Möglichkeit, das Koprodukt zu beschreiben, ist die unten erklärte innere direkte Summe, welche zur äußeren direkten Summe isomorph ist.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Körper und   eine Familie von  -Vektorräumen. Dann heißt

  für fast alle  

die äußere direkte Summe der Familie  , wobei   das direkte Produkt von Vektorräumen ist.

Im endlichen Fall ergibt sich also zum Beispiel

 

Die Unterscheidung zwischen direkter Summe und direktem Produkt ist somit nur bei unendlicher Indexmenge notwendig.

Außerdem gilt bei einer solchen direkten Summe von endlich vielen Vektorräumen, dass die Dimension der Summe gleich der Summe der Dimensionen ihrer Summanden ist.

Innere direkte SummeBearbeiten

Bei einer Familie von Untervektorräumen   des Vektorraumes   heißt   innere direkte Summe der   (die   heißen dann auch direkte Zerlegung von  ), falls jedes   (bis auf die Reihenfolge) eindeutig als Summe endlich vieler Elemente der Untervektorräume, wobei aus jedem Untervektorraum höchstens ein Element und niemals das Nullelement ausgewählt wird, darstellbar ist, d. h.:

Zu jedem Vektor   gibt es genau eine Familie   von Vektoren mit   für alle   und   nur für endlich viele der  , so dass   ist.

Wie die äußere Summe wird auch die innere wie folgt symbolisiert:

 

oder im endlichen Fall

 .

Eine Summe   einer Familie von Untervektorräumen ist genau dann direkt, wenn für alle   gilt:

 ,

also wenn für jedes   der Schnitt mit der Summe der übrigen Untervektorräume nur den Nullvektor enthält.

Im Spezialfall   nennt man   und   zueinander komplementär. Dabei gilt

 .

Ein Untervektorraum   eines Vektorraums   heißt ein direkter Summand von  , wenn es einen zu   komplementären Untervektorraum   gibt, für den also   gilt.

ZusammenhangBearbeiten

Man beachte: Die äußere Summe von Unterräumen kann immer gebildet werden, aber die innere Summe von Unterräumen ist meist nicht direkt.

Der Bezug zwischen innerer und äußerer Summe kann folgendermaßen hergestellt werden.

Betrachte für jedes   die Einbettung   in die äußere direkte Summe, also:

  für   und   für  

Die innere direkte Summe der Bilder dieser Abbildungen bildet dann die äußere direkte Summe.

Direkte Summe von DarstellungenBearbeiten

Seien   Darstellungen von   bzw.   Die direkte Summe der Darstellungen wird definiert als:   wobei   für alle   und  
Auf diese Weise wird   wieder zu einer linearen Darstellung.
Sind   Darstellungen der gleichen Gruppe   so definiert man die direkte Summe der Darstellungen der Einfachheit halber auch als Darstellung von   also   in dem man   als die diagonale Untergruppe von   auffasst.

Beispiel

Sei   die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

 

Und sei   die lineare Darstellung, die gegeben ist durch

 

Dann ist   eine lineare Darstellung von   in den   die für   nach Definition wie folgt aussieht:

 

Da es reicht das Bild des Erzeugers der Gruppe anzugeben, stellen wir fest, dass   gegeben ist durch:

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten