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Familie (Mathematik)

Menge, die mit Elementen einer Menge indiziert ist

Der Begriff der Familie wird in der Mathematik unmittelbar aus dem Grundbegriff der Funktion abgeleitet. Die beiden Begriffe stimmen in vieler Hinsicht überein. Der Unterschied zwischen beiden liegt dabei einerseits im Formalen, also in der Schreib- und Sprechweise, und andererseits in der Verwendung und der dadurch suggerierten Bedeutung. Besonders häufig ist die Darstellung der Familie als Menge von Wertepaaren, wobei die unabhängige(n) Variable(n) als Index (Indizes) der abhängigen Variable notiert sind. Wenn die so dargestellte Funktion nicht injektiv ist, enthält die Mengendarstellung Elemente, die sich paarweise nur durch den Index unterscheiden.

Davon abweichend versteht man unter einer „Familie von Mengen“ oder „Mengenfamilie“ teilweise eine Menge von Mengen (ein sogenanntes Mengensystem), oder eine Mengenfamilie.

EigenschaftenBearbeiten

Die Schreibweise besteht aus

  • einem indizierten Elementsymbol in runden Klammern,
  • der Angabe des Definitionsbereiches des Index im Subskript (also rechts unten) dieses Klammerausdruckes und
  • der Angabe der Quellmenge der Elemente der Familie (informell im Kontext oder formal).

Beispiel:   oder gleichwertig   mit   für alle  . Sie entspricht der Funktion  .

Die   nennt man die Mitglieder oder die Terme der Familie und sie sind Elemente aus der Quellmenge oder der indizierten Menge  ,   heißt Index und   die Indexmenge oder der Indexbereich. Eine Sprechweise für dieses Beispiel wäre: „Eine Familie von Elementen   aus   mit Index   aus der Indexmenge  .“ Die Angabe des Definitionsbereiches des Index wird, falls dieser keine Rolle spielt oder sich aus dem Zusammenhang ergibt, gelegentlich auch weggelassen:

Beispiel:  .

Davon zu unterscheiden (was nicht immer gemacht wird) ist die Menge aller Mitglieder der Familie, die eine Teilmenge der Quellmenge ist und der Bildmenge   entspricht:

Beispiel:  .

Manche Autoren[1] schreiben Familien in der Form  , was jedoch die Gefahr in sich birgt, dass der Leser dies mit der Menge   verwechseln könnte.

Das Charakteristikum von Familien ist folgendes:

Zwei Familien   und   sind genau dann gleich, wenn   und   für jedes   gilt.

Schematisch lassen sich die Schreibweisen für Funktionen und Familien so gegenüberstellen:

Funktion Familie
      mit   für alle  
 Bild oder Wert    Term oder Mitglied   mit Index  
 Definitionsbereich    Indexmenge  
 Bild- oder Wertebereich    Quellmenge oder indizierte Menge  
 Einschränkung   mit    Teilfamilie   mit  

Allgemeiner gesprochen gibt es drei Interpretationen von linkstotalen und rechtseindeutigen Relationen, nämlich als:

  • Funktion (Abbildung von I nach A),
  • Belegung (von I durch A),
  • Indizierung (A indiziert durch I).

Eine Familie ist die Indizierungsinterpretation einer Funktion mit einer speziellen Notation, bei der kein spezielles Funktionssymbol wie bei der Abbildungsnotation benutzt wird.

Die Betonung liegt hier auf Interpretation. Es werden hier keine neuen mathematischen Begriffe eingeführt, sondern nur alternative Sichtweisen des gleichen formalen Sachverhalts gegeben. Der Sinn dieser alternativen Sichtweisen liegt in einer bequemeren Handhabbarkeit in speziellen Anwendungssituationen, insbesondere beim kalkülmäßigen Rechnen.

Für die Menge der mit der Indexmenge I indizierten Familien, deren Mitglieder alle in A liegen, schreibt man  . Sind A und I endliche Mengen, dann gilt für ihre Mächtigkeit:

 .

Beispiele für Familien und AnwendungssituationenBearbeiten

Beispiele und FälleBearbeiten

  • Familien mit endlichen Indexmengen, meist   oder  , heißen Listen und die leere Familie   leere Liste, dabei kann die jeweils indizierte Quellmenge jedoch beliebig sein. Eine Liste bezeichnet man auch als endliche Folge und für   wird ebenso  ,   oder das Tupel   geschrieben, für die leere Folge  . Eine Liste lässt sich außerdem als ein Wort über der jeweils indizierten Quellmenge auffassen.
  • Eine unendliche Folge, oft einfach nur Folge genannt, ist eine Familie, deren Indexmenge abzählbar unendlich ist, in der Regel die Menge der natürlichen Zahlen   oder  . Analog zu Listen können unendliche Folgen   auch in der Form   oder wie endlose Tupel   geschrieben werden. Die Mitglieder von unendlichen und von endlichen Folgen heißen Glieder.
  • In der Topologie ist ein Netz eine Verallgemeinerung einer Folge, auch hier findet die Familienschreibweise Anwendung.
  • Matrizen sind Listen mit Indexmengen, die das kartesische Produkt zweier endlicher Mengen sind. Hat z. B. eine Liste die Indexmenge  , so nennt man sie eine  -Matrix und sie hat eine Darstellung  , die Teillisten   heißen dann Zeilen und die Teillisten   Spalten der Matrix.

Typische Anwendung findet die Familien-Schreibweise bei:

Oftmals wird fälschlicherweise von einer Menge gesprochen, wenn eine Familie gemeint und erforderlich ist. Würde man etwa in der Theorie der Vektorräume den Begriff lineare Unabhängigkeit für Mengen statt Familien von Vektoren definieren, könnte man noch nicht einmal formulieren, dass zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren u. a. dann linear abhängig sind, wenn sie gleich sind. In dem Fall würden sie zusammen nämlich nur eine einelementige Menge bilden, die dann linear unabhängig ist. Umgekehrt kann man bei Bedarf eine Menge   jederzeit als Familie auffassen, indem man sie durch sich selbst indiziert mittels  , der identischen Abbildung auf  :

 .

Familien paarweise disjunkter TeilmengenBearbeiten

Wenn   eine Familie von Mengen mit den Eigenschaften   und   sein soll, dann ist sie nach der in diesem Artikel vorgestellten Darstellung eine Funktion   mit sehr speziellen Eigenschaften, und  . Eine alternative Repräsentation   ist in diesem Fall eine Funktion  . Hiermit ist   und die paarweise Disjunktheit ergibt sich automatisch.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. beispielsweise Serge Lang: Algebra. Addison-Wesley, 1965.