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Der Grad eines Polynoms in einer Variablen ist in der Mathematik der größte Exponent in dessen Standarddarstellung als Summe von Monomen. Beispielsweise ist der Grad des Polynom gleich 5, nämlich der Exponent des Monoms . Bei Polynomen in mehreren Variablen ist der Grad eines Monoms definiert als die Summe der Exponenten der enthaltenen Variablenpotenzen und der Grad eines Polynoms (auch Totalgrad genannt) als das Maximum der Grade der Monome, aus denen das Polynom besteht. So haben zum Beispiel das Monom und damit auch das Polynom den Grad 6.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Sei   ein kommutativer Ring,   eine natürliche Zahl und   der Polynomring in den Variablen  . Ist

 

ein Monom mit  , so ist der Grad von   definiert als

 .

Sei nun

 

ein Polynom mit  ,   und Monomen  . Dann ist der Grad oder Totalgrad von   definiert als

 .

Es gibt verschiedene Konventionen zur Definition des Grades von  . In der Algebra ist es üblich,   zu setzen. Dagegen wird in den Bereichen der Mathematik, die sich mit der Lösung von algebraischen Problemen mit Hilfe von Computern befassen, häufig die Definition   bevorzugt.

Bemerkung: Da Monome nur aus endlich vielen Faktoren bestehen, lässt sich die Definition des Grads eines Monoms und somit auch die Definition des Grads eines Polynoms direkt auf Polynomringe in beliebig vielen Variablen erweitern.

EigenschaftenBearbeiten

Seien   Polynome über  . Dann gilt

  •   und
  •  .

Für den Fall   erhält man sogar  .

Ist   ein Integritätsring, so gilt sogar

 

für alle  .

BeispieleBearbeiten

Betrachte Polynome in   (siehe ganze Zahlen). Es gilt

  •  ,
  •  ,
  •   und
  •  .

Siehe auchBearbeiten