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Eine mathematische Funktion heißt homogen vom Grad , wenn bei proportionaler Änderung aller Variablen um den Proportionalitätsfaktor sich der Funktionswert um den Faktor ändert.

Funktionen dieses Typs sind zum Beispiel in den Wirtschaftswissenschaften und in den Naturwissenschaften wichtig.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine Funktion auf dem  -dimensionalen reellen Koordinatenraum

 

heißt homogen vom Grad  , wenn für alle   und  

 

gilt.[1]

Beispiele aus der MikroökonomieBearbeiten

In der Mikroökonomie spielen homogene Produktionsfunktionen   eine wichtige Rolle. Sie stellen einen Zusammenhang zwischen Produktionsfaktoren   und der zugehörigen Produktion   her. Ist  , heißt die Funktion überlinear homogen, bei   linear homogen und sonst ( ) unterlinear homogen. Bei einer linear homogenen Produktionsfunktion führt ein vermehrter/verminderter Einsatz aller Produktionsfaktoren zu einer im gleichen Verhältnis erhöhten/verminderten Produktion, denn aus   folgt

 .

Eine solche Produktionsfunktion ist homogen mit dem Homogenitätsgrad 1 (linear homogen). Ein Beispiel für eine homogene Produktionsfunktion vom Grad 1 stellt die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion   dar.[2] Bei homogenen Produktionsfunktionen stimmt der Homogenitätsgrad mit der Skalenelastizität (nur in einer Richtung) überein. Überlinear homogene Produktionsfunktionen weisen steigende, linear homogene konstante und unterlinear homogene abnehmende Skalenerträge auf. Der Umkehrschluss, von Skalenerträgen auf den Homogenitätsgrad zu schließen, ist jedoch nicht möglich, weil bei Skalenerträgen auch das Faktoreinsatzverhältnis zu ihrer Erzielung geändert werden kann, zur Feststellung der Homogenitätseigenschaft jedoch nicht.

Ein weiteres Beispiel sind Individuelle Nachfragefunktionen  . Sie stellen einen Zusammenhang zwischen Preisen  , Einkommen   und den nachgefragten Mengen   dar. Kommt es z. B. im Zuge einer Währungsumstellung (von DM zu Euro) zu einer Halbierung aller Preise und der Einkommen und wird dies von den Individuen vollständig berücksichtigt (Freiheit von Geldwertillusion), so werden sich die nachgefragten Mengen nicht ändern. Das heißt, es gilt:

 

Nachfragefunktionen sind somit homogen vom Grad 0 in den Preisen und im Einkommen (Nullhomogenität).

HomothetieBearbeiten

Bei ordinalen Nutzenfunktionen ist die Annahme der Homogenität nicht sinnvoll, weil eine streng monoton wachsende Transformation   einer Nutzenfunktion   dieselben Präferenzen repräsentiert wie die Funktion   selbst. Eine homothetische Nutzenfunktion ist eine streng monoton wachsende Transformation einer homogenen Nutzenfunktion.[3] Bei Nutzenfunktionen mit dieser Eigenschaft verlaufen die Engelkurven linear.

Beispiel: Sei   und  . Offensichtlich ist die Nutzenfunktion linear homogen. Ihre Transformation ist inhomogen, aber homothetisch; sie repräsentiert dieselbe Präferenzordnung.

Positive HomogenitätBearbeiten

Eine Funktion   heißt positiv homogen vom Grad  , falls

 

für alle   und alle   gilt.

Im Unterschied zu homogenen Funktionen brauchen positiv homogene Funktionen nur auf   definiert zu sein und der Homogenitätsgrad   kann jede beliebige reelle Zahl sein.

Für solche Funktionen gibt der Eulersche Satz (oder das Euler-Theorem) über positiv homogene Funktionen eine äquivalente Charakterisierung an:

Eine differenzierbare Funktion   ist genau dann positiv homogen vom Grad  , wenn gilt

 

für alle  . Hierbei bezeichnen   die partiellen Ableitungen von   nach der  -ten Variablen und   die Richtungsableitung an der Stelle   in Richtung des Vektors  .[4][1]

Eine positiv homogene Funktion kann also auf einfache Weise durch die partiellen Ableitungen und Koordinaten dargestellt werden.

Diese Tatsache wird in der Physik sehr häufig benutzt, vor allem in der Thermodynamik, da die dort auftretenden intensiven und extensiven Zustandsgrößen homogene Funktionen nullten bzw. ersten Grads sind. Konkret benutzt man dies z. B. bei der Herleitung der Euler-Gleichung für die innere Energie.

In den Wirtschaftswissenschaften folgt aus dem Euler’schen Theorem für Produktionsfunktionen vom Homogenitätsgrad 1 bei den Faktorpreisen   und dem Güterpreis  

 .

Bei linear homogenen Produktionsfunktionen ist der Wert des Produkts gleich den Faktorkosten (siehe auch: Ausschöpfungstheorem).

Herleitung des Euler-TheoremsBearbeiten

Gegeben sei zunächst eine positiv homogene differenzierbare Funktion  . Es gilt also  . Differentiation der linken Seite nach   liefert mit der Kettenregel

 .

Differentiation der rechten Seite nach   liefert hingegen

 .

Durch Einsetzen von   folgt die Eulersche Homogenitätsrelation.

Umgekehrt sei nun eine differenzierbare Funktion   gegeben, die die Eulersche Homogenitätsrelation erfüllt. Zu gegebenem   betrachten wir die reelle Funktion  . Wegen der Homogenitätsrelation erfüllt   die gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung

 

mit der Anfangsbedingung

 .

Eine Lösung dieses Anfangswertproblems ist   und nach einem Eindeutigkeitssatz für gewöhnliche Differentialgleichungen ist die Lösung im Gebiet   eindeutig. Das bedeutet aber  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Homogene Funktion:I/III. In: W. Gelert, H. Kästner, S. Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Harri Deutsch, Thun/Frankfurt-Main 1978, ISBN 3-87144-336-0.
  2. Dies ist eine linear homogene Funktion wegen  
  3. Hal R. Varian: Microeconomic Analysis. 1992, S. 146 f.
  4. A. Ostrowski: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. 2. Auflage. Band 2 Differentialrechnung auf dem Gebiete mehrerer Variablen. Birkhäuser Verlag, Basel 1961, Kapitel IV Ergänzung zur Differentialrechnung, § 12 Partielle Ableitungen höherer Ordnung, Abschnitt 63 Eulerscher Satz über homogene Funktionen, S. 169 ff.