Polynomring

algebraische Struktur in der Mathematik

Wenn ein kommutativer Ring mit einer ist, dann ist der Polynomring die Menge aller Polynome mit Koeffizienten aus dem Ring und der Variablen zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation von Polynomen. Davon zu unterscheiden sind in der abstrakten Algebra die Polynomfunktionen, nicht zuletzt, weil unterschiedliche Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können.

DefinitionenBearbeiten

Der Polynomring R[X]Bearbeiten

  ist die Menge

 

der Folgen in  , bei denen fast alle, also alle bis auf endlich viele, Folgenglieder gleich   sind.

Die Addition wird komponentenweise durchgeführt:

 

und die Faltung der Folgen definiert die Multiplikation

 .

Durch diese Verknüpfungen wird auf dem Raum der endlichen Folgen eine Ringstruktur definiert, dieser Ring wird als   bezeichnet.

In diesem Ring wird   definiert als

 

und die   ist

  .

Aus der Definition der Multiplikation durch Faltung folgt dann, dass

 

ist und in der Klammer rechts genau an der  -ten Stelle eine Eins steht, ansonsten besteht die Folge ausschließlich aus Nullen.

Mit dem Erzeuger   kann nun jedes Element   aus   eindeutig in der geläufigen Polynomschreibweise

 

dargestellt werden. Die einzelnen Folgenglieder   nennt man die Koeffizienten des Polynoms.

Damit erhält man den Polynomring   über   in der Unbestimmten  .

Der Polynomring in mehreren VeränderlichenBearbeiten

Der Polynomring in mehreren Veränderlichen wird rekursiv definiert durch:

 

Man betrachtet hier also Polynome in der Variablen   mit Koeffizienten aus dem Polynomring  , wobei dieser wieder genauso definiert ist. Dies kann man solange fortsetzen, bis man bei der Definition des Polynomrings in einer Veränderlichen angekommen ist. In   kann man jedes Element eindeutig als

 

schreiben.

Polynomring in beliebig vielen Unbestimmten (mit einer Indexmenge  ) kann entweder als der Monoidring über dem freien kommutativen Monoid über   oder als der Kolimes der Polynomringe über endliche Teilmengen von   definiert werden.

Der QuotientenkörperBearbeiten

Ist   ein Körper, so ist   die Bezeichnung für den Quotientenkörper von  , den rationalen Funktionenkörper. Analog wird der Quotientenkörper eines Polynomrings   über mehreren Unbestimmten mit   bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

GradsatzBearbeiten

Die Funktion

 

definiert den Grad des Polynoms   in der Unbestimmten  . Hierbei gelten für   die üblichen Maßgaben für Vergleich und Addition: für alle   gilt   und  .

Der Koeffizient   wird der Leitkoeffizient von   genannt.

Es gilt für alle  

  •  
(Enthält   keine Nullteiler – präziser: sind die Leitkoeffizienten keine Nullteiler – gilt die Gleichheit.)
  •  .

Aus diesem Gradsatz folgt insbesondere, dass, wenn   ein Körper ist, die Einheiten genau den Polynomen mit Grad null entsprechen, und das sind die Konstanten ungleich null.

Bei einem Körper   wird   durch die Gradfunktion zu einem euklidischen Ring: Es gibt eine Division mit Rest, bei der der Rest einen kleineren Grad als der Divisor hat.

Beispiele
  1. Sei   der Ring der ganzen Zahlen. Dann sind   und   beide vom Grad 1. Das Produkt   hat den Grad 2, wie sich auch aus   ausrechnet.
  2. Sei   der Restklassenring modulo 6 (ein Ring mit den nicht-trivialen Nullteilern 2 und 3) und wie oben   und  . Beide sind   und auch hier vom Grad 1. Aber   hat den Grad 1 und  .

Gradsatz für Polynome in mehreren VeränderlichenBearbeiten

Bei einem Monom

 

definiert man die Summe der Exponenten

 

als den Totalgrad des Monoms, falls  . Der Grad   des nichtverschwindenden Polynoms

 

in mehreren Veränderlichen wird definiert als der maximale Totalgrad der (nichtverschwindenden) Monome. Eine Summe von Monomen von gleichem Totalgrad ist ein homogenes Polynom. Die Summe aller Monome vom Grad  , d. i. das maximale homogene Unterpolynom von maximalem Grad, spielt (bezogen auf alle Veränderliche zusammen) die Rolle des Leitkoeffizienten. (Der Leitkoeffizient einer einzelnen Unbestimmten ist ein Polynom in den anderen Unbestimmten.)

Der Gradsatz gilt auch für Polynome in mehreren Veränderlichen.

Elementare Operationen, PolynomalgebraBearbeiten

In der Polynomschreibweise sehen Addition und Multiplikation für Elemente   und   des Polynomrings   wie folgt aus:

 ,
 

Der Polynomring   ist nicht nur ein kommutativer Ring, sondern auch ein Modul über  , wobei die Skalarmultiplikation gliedweise definiert ist. Damit ist   sogar eine kommutative assoziative Algebra über  .

HomomorphismenBearbeiten

Falls   und   kommutative Ringe mit   sind und   ein Homomorphismus ist, dann ist auch

  ein Homomorphismus.

Falls   und   kommutative Ringe mit   sind und   ein Homomorphismus ist, dann gibt es für jedes   einen eindeutigen Homomorphismus  , der eingeschränkt auf   gleich   ist und für den   gilt, nämlich  .

Algebraische EigenschaftenBearbeiten

Ist   ein kommutativer Ring mit  , so gilt:

  • Ist   nullteilerfrei, so auch  .
  • Ist   faktoriell, so auch   (Lemma von Gauß)
  • Ist   ein Körper, so ist   euklidisch und daher ein Hauptidealring.
  • Ist   noethersch, so gilt für die Dimension des Polynomrings in einer Variablen über  :  
  • Ist   noethersch, so ist der Polynomring   mit Koeffizienten in   noethersch. (Hilbertscher Basissatz)
  • Ist   ein Integritätsring und  , so hat   maximal   Nullstellen. Dies ist über Nicht-Integritätsringen im Allgemeinen falsch.
  • Ein Polynom   ist genau dann in   invertierbar, wenn   invertierbar ist und alle weiteren Koeffizienten nilpotent in   sind. Insbesondere ist ein Polynom   über einem Integritätsring   genau dann invertierbar, wenn es ein konstantes Polynom   ist, wobei   eine Einheit in   ist.

Polynomfunktion und EinsetzungshomomorphismusBearbeiten

Ist

 

ein Polynom aus  , so nennt man

 

die zu   gehörende Polynomfunktion. Allgemeiner definiert   auch für jeden Ringhomomorphismus   (in einen kommutativen Ring   mit 1) eine Polynomfunktion   Der Index wird oft weggelassen.

Umgekehrt haben Polynomringe   über einem kommutativen Ring   mit 1 die folgende universelle Eigenschaft:

Gegeben ein Ring   (kommutativ mit 1), ein Ringhomomorphismus   und ein  , so gibt es genau einen Homomorphismus   mit  , so dass   eine Fortsetzung von   ist, also   gilt.

Diese Eigenschaft wird „universell“ genannt, weil sie den Polynomring   bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Der Homomorphismus

 

wird der Auswertung(-shomomorphismus) für   oder Einsetzung(-shomomorphismus) von   genannt.

BeispieleBearbeiten

  • Setzen wir   und  , so ist   die identische Abbildung;  .
  • Betrachten wir einen Polynomring   mit zusätzlichen Unbestimmten   (s. Polynome mit mehreren Veränderlichen) als Erweiterung von  , ergibt sich analog zur Konstruktion aus vorigem Beispiel der Einsetzungshomomorphismus   als Monomorphismus von   in  ,

PolynomfunktionenBearbeiten

Ist   ein Ring (kommutativ mit 1), dann ist auch die Menge   der Abbildungen von   in sich ein Ring und nach der universellen Eigenschaft gibt es einen Homomorphismus

 

mit   (die konstante Abbildung) für alle   und   (die Identitätsabbildung).

 

ist die dem Polynom   zugeordnete Polynomfunktion. Der Homomorphismus

 

ist nicht notwendig injektiv, zum Beispiel ist für   und   die zugehörige Polynomfunktion  .

BeispieleBearbeiten

Ein Polynom über einem endlichen KörperBearbeiten

Da in dem endlichen Körper   die Einheitengruppe zyklisch mit der Ordnung   ist, gilt für   die Gleichung  . Deswegen ist die Polynomfunktion   des Polynoms

 

die Nullfunktion, obwohl   nicht das Nullpolynom ist.

Ist   eine Primzahl, dann entspricht dies genau dem kleinen fermatschen Satz.

Polynome mit zwei VeränderlichenBearbeiten

Ist   oder   ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom, so ist die Anzahl der Nullstellen von   endlich. Bei Polynomen mit mehreren Unbestimmten kann die Nullstellenmenge ebenfalls endlich sein:

Das Polynom   hat die Nullstellen   und   in  .

Es kann aber ebenso unendliche Nullstellenmengen geben:

Das Polynom   besitzt als Nullstellenmenge die Einheitskreislinie  , welche eine kompakte Teilmenge von   ist. Das Polynom   besitzt ebenfalls eine unendliche Nullstellenmenge, nämlich den Funktionsgraphen der Normalparabel, welcher nicht kompakt ist.

Das Studium von Nullstellenmengen polynomialer Gleichungen mit mehreren Unbestimmten führte zur Entwicklung des mathematischen Teilgebiets der algebraischen Geometrie.

Polynome im KomplexenBearbeiten

Jedes komplexe Polynom   vom Grad   hat genau   Nullstellen in  , wenn man jede Nullstelle gemäß ihrer Vielfachheit zählt. Dabei heißt eine Nullstelle    -fach, falls   ein Teiler von   ist,   dagegen nicht mehr.

Insbesondere gilt dieser Fundamentalsatz der Algebra auch für reelle Polynome  , wenn man diese als Polynome in   auffasst. Zum Beispiel hat das Polynom   die Nullstellen   und  , da   und ebenso  , also gilt  .

LiteraturBearbeiten