Polynom

Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen
(Weitergeleitet von Leitkoeffizient)

Ein Polynom summiert die Vielfachen von Potenzen einer Variablen bzw. Unbestimmten:

oder kurz mit dem Summenzeichen:

Dabei ist das Summenzeichen, die Zahlen sind die Koeffizienten (das können beispielsweise reelle Zahlen oder allgemeiner Elemente aus einem beliebigen Ring sein) und ist die Unbestimmte.

Exponenten der Potenzen sind natürliche Zahlen. Die Summe ist außerdem stets endlich. Unendliche Summen von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Unbestimmten heißen formale Potenzreihen.

Für Mathematik und Physik gibt es einige wichtige spezielle Polynome.

In der elementaren Algebra identifiziert man diesen Ausdruck mit einer Funktion in (einer Polynomfunktion). In der abstrakten Algebra unterscheidet man streng zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom als Element eines Polynomrings. In der Schulmathematik wird eine Polynomfunktion oft auch als ganzrationale Funktion bezeichnet.

Dieser Artikel erklärt außerdem die mathematischen Begriffe: Leitkoeffizient, Normieren eines Polynoms und Absolutglied.

EtymologieBearbeiten

Das Wort Polynom bedeutet so viel wie „mehrnamig“. Es entstammt dem griech. πολύ polý „viel“ und όνομα onoma „Name“. Diese Bezeichnung geht zurück bis auf Euklids Elemente. In Buch X nennt er eine zweigliedrige Summe   ἐκ δύο ὀνομάτων (ek dýo onomátōn): „aus zwei Namen (bestehend)“. Die Bezeichnung Polynom geht auf Viëta zurück: In seiner Isagoge (1591) verwendet er den Ausdruck polynomia magnitudo für eine mehrgliedrige Größe.[1]

Polynome in der elementaren AlgebraBearbeiten

 
Graph einer Polynomfunktion 5. Grades

Im Gegensatz zur abstrakten Algebra werden Polynome in der elementaren Algebra als Funktionen aufgefasst. Daher wird in diesem Abschnitt der Begriff Polynomfunktion anstatt Polynom verwendet.

DefinitionBearbeiten

In der elementaren Algebra ist eine Polynomfunktion eine Funktion   der Form

 ,

wobei als Definitionsbereich für die (unabhängige) Variable   jede beliebige  -Algebra in Frage kommt, wenn   der Wertebereich der Koeffizienten ist (siehe unten). Häufig ist dieser jedoch die Menge der ganzen, der reellen oder der komplexen Zahlen. Die   stammen aus einem Ring  , zum Beispiel einem Körper oder einem Restklassenring, und werden Koeffizienten genannt.

  • Als Grad des Polynoms wird der höchste Exponent   bezeichnet, für den der Koeffizient   des Monoms   nicht null ist. Dieser Koeffizient heißt Leitkoeffizient (auch: führender Koeffizient). (Die Schreibweise   für den Grad des Polynoms   ist vom englischen Begriff degree abgeleitet. In der deutschsprachigen Literatur findet sich häufig auch die aus dem Deutschen kommende Schreibweise   oder  .)
  • Die Menge aller reellen Polynomfunktionen beliebigen (aber endlichen) Grades ist ein Vektorraum, der sich nicht offensichtlich mittels geometrischer Vorstellungen veranschaulichen lässt.
  • Für das Nullpolynom, bei dem alle   Null sind, wird der Grad als   definiert.[2]
  • Ist der Leitkoeffizient 1, dann heißt das Polynom normiert oder auch monisch.
  • Sind die Koeffizienten teilerfremd, bzw. ist der Inhalt 1, dann heißt das Polynom primitiv.

Der Koeffizient   heißt Absolutglied.   wird als lineares Glied bezeichnet,   als quadratisches Glied und   als kubisches.

Einfaches BeispielBearbeiten

Durch

 

ist ein Polynom dritten Grades gegeben (der höchste vorkommende Exponent ist 3). In diesem Beispiel ist 9 der Leitkoeffizient (als Faktor vor der höchsten Potenz von  ), die weiteren Koeffizienten lauten: 1; 7 und −3,8.

Bezeichnung spezieller PolynomfunktionenBearbeiten

Polynome des Grades

  • 0 werden konstante Funktionen genannt (z. B.  ).
  • 1 werden lineare Funktionen oder genauer affin lineare Funktionen genannt (z. B.  ).
  • 2 werden quadratische Funktionen genannt (z. B.  ).
  • 3 werden kubische Funktionen genannt (z. B.  ).
  • 4 werden quartische Funktionen genannt (z. B.  ).

NullstellenBearbeiten

Als Nullstellen einer Polynomfunktion oder Wurzeln bzw. Lösungen einer Polynomgleichung werden jene Werte von   bezeichnet, für die der Funktionswert   null ist, das heißt, die die Gleichung   erfüllen. Eine Polynomfunktion über einem Körper (oder allgemeiner einem Integritätsring) hat stets höchstens so viele Nullstellen, wie sein Grad angibt.

Weiterhin besagt der Fundamentalsatz der Algebra, dass eine komplexe Polynomfunktion (das heißt eine Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten) vom Grad   mindestens eine komplexe Nullstelle hat (reiner Existenzsatz). Dann gibt es genau   Nullstellen (Polynomdivision), wenn die Nullstellen entsprechend ihrer Vielfachheit gezählt werden. So ist beispielsweise die Nullstelle   der Polynomfunktion   eine doppelte. Im Ergebnis lässt sich jede komplexe Polynomfunktion positiven Grades in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen. Allgemein kann man zu jedem Körper   eine algebraische Körpererweiterung   finden, in der alle Polynome positiven Grades mit Koeffizienten in   als Polynome über   in Linearfaktoren zerfallen. In diesem Fall nennt man   den algebraischen Abschluss von  .

Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und vierten Grades lassen sich mit Formeln exakt berechnen (zum Beispiel durch die pq-Formel für quadratische Gleichungen), dagegen lassen sich Polynomfunktionen höheren Grades nur in Spezialfällen mit Hilfe von Wurzelzeichen exakt faktorisieren. Dies ist die Aussage der Satzes von Abel-Ruffini.

Polynome in der abstrakten AlgebraBearbeiten

DefinitionBearbeiten

In der abstrakten Algebra definiert man ein Polynom als ein Element eines Polynomringes  . Dieser wiederum ist die Erweiterung des Koeffizientenringes   durch ein unbestimmtes, (algebraisch) freies Element  . Damit enthält   die Potenzen  ,   und deren Linearkombinationen   mit  . Dies sind auch schon alle Elemente, d. h., jedes Polynom ist eindeutig durch die Folge

 

seiner Koeffizienten charakterisiert.

KonstruktionBearbeiten

Umgekehrt kann ein Modell des Polynomrings   durch die Menge der endlichen Folgen in   konstruiert werden. Dazu wird auf   eine Addition „ “ als gliedweise Summe der Folgen und eine Multiplikation „ “ durch Faltung der Folgen definiert. Ist also   und  , so ist

 

und

 

  mit diesen Verknüpfungen ist nun selbst ein kommutativer Ring, der Polynomring (in einer Unbestimmten) über  .

Identifiziert man die Unbestimmte als Folge  , so dass  ,   etc., so kann jede Folge   wieder im intuitiven Sinne als Polynom dargestellt werden als

 

Zusammenhang mit der analytischen DefinitionBearbeiten

Bedenkt man nun, dass nach der Voraussetzung eine natürliche Zahl   existiert, so dass   für alle   gilt, so lässt sich nach den obigen Überlegungen jedes Polynom   über einem kommutativen unitären Ring eindeutig schreiben als  . Dabei ist   jedoch keine Funktion wie in der Analysis oder elementaren Algebra, sondern eine unendliche Folge (ein Element des Ringes  ) und   ist keine „Unbekannte“, sondern die Folge  . Man kann jedoch   als „Muster“ benutzen, um danach eine Polynomfunktion (d. h. ein Polynom im gewöhnlichen analytischen Sinne) zu bilden. Dazu benutzt man den sogenannten Einsetzungshomomorphismus.

Man sollte allerdings beachten, dass verschiedene Polynome dieselbe Polynomfunktion induzieren können. Ist beispielsweise   der Restklassenring  , so induzieren die Polynome  

 

und

das Nullpolynom  

beide die Nullabbildung  , das heißt:   für alle  

Für Polynome über den reellen oder ganzen Zahlen oder allgemein jedem unendlichen Integritätsring ist ein Polynom jedoch durch die induzierte Polynomfunktion bestimmt.

Auch die Menge der Polynomfunktionen mit Werten in   bildet einen Ring (Unterring des Funktionenrings), der jedoch nur selten betrachtet wird. Es gibt einen natürlichen Ring-Homomorphismus von   in den Ring der Polynomfunktionen, dessen Kern die Menge der Polynome ist, die die Nullfunktion induzieren.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Polynome in mehreren UnbestimmtenBearbeiten

Allgemein versteht man jede Summe von Monomen der Form   als Polynom (in mehreren Unbestimmten):

 
Lies: „Groß-p von Groß-x-1 bis Groß-x-n (ist) gleich die Summe über alle i-1 bis i-n von a-i-1-bis-i-n mal Groß-x-1 hoch i-1 bis Groß-x-n hoch i-n“

Durch eine Monomordnung ist es möglich die Monome in einem solchen Polynom anzuordnen und dadurch Begriffe wie Leitkoeffizient zu verallgemeinern.

Die Größe   heißt der Totalgrad eines Monoms  . Haben alle (nichtverschwindenden) Monome in einem Polynom denselben Totalgrad, so heißt es homogen. Der maximale Totalgrad aller nichtverschwindenden Monome ist der Grad des Polynoms.

Die maximale Anzahl der möglichen Monome eines bestimmten Grades[3] ist

 
Lies: „n+k-1 über k“ oder „k aus n+k-1“

wobei   die Anzahl der vorkommenden Unbestimmten und   der Grad ist. Anschaulich wird hier ein Problem von Kombinationen mit Wiederholung (Zurücklegen) betrachtet.

Summiert man die Anzahl der möglichen Monome des Grades   bis  , erhält man für die Anzahl der möglichen Monome in einem Polynom bestimmten Grades:

 
Lies: „n+k über k“ oder „k aus n+k“

Sind alle Unbestimmten in gewisser Weise „gleichberechtigt“, so heißt das Polynom symmetrisch. Gemeint ist: wenn das Polynom sich bei Vertauschungen der Unbestimmten nicht ändert.

Auch die Polynome in den   Unbestimmten  über dem Ring   bilden einen Polynomring, geschrieben als  .

Formale PotenzreihenBearbeiten

Geht man zu unendlichen Reihen der Form

 
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich Null bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“

über, erhält man formale Potenzreihen.

Laurent-Polynome und Laurent-ReihenBearbeiten

Lässt man auch in einem Polynom auch negative Exponenten zu, so erhält man ein Laurent-Polynom. Entsprechend zu den formalen Potenzreihen können auch formale Laurent-Reihen betrachtet werden. Es handelt sich dabei um Objekte der Form

 
Lies: „f (ist) gleich die Summe von i gleich minus (Groß-) n bis Unendlich von a-i (mal) (Groß-) x hoch i“

PosynomialfunktionenBearbeiten

Lässt man mehrere Variablen und beliebige reelle Potenzen zu, so erhält man den Begriff der Posynomialfunktion.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Polynom – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. cf. Barth, Federle, Haller: Algebra 1. Ehrenwirth-Verlag, München 1980, S. 187, Fußnote **, dort Erklärung zur Bezeichnung „Binomische Formel“
  2. Für die Zweckmäßigkeit dieser Setzung siehe Division mit Rest.
  3. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. S. 213, Vieweg+Teubner, Wiesbaden 1997, ISBN 3-528-07287-3.