Nullfunktion

besondere mathematische Funktion
(Weitergeleitet von Nullabbildung)

Die Nullfunktion ist in der Mathematik, insbesondere der Analysis, eine Funktion, deren Funktionswert unabhängig vom übergebenen Wert immer die Zahl Null ist. Allgemeiner ist die Nullabbildung oder der Nulloperator in der linearen Algebra eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die stets den Nullvektor des Zielraums ergibt. Noch allgemeiner wird die Nullabbildung in der Algebra gefasst und dort ist sie eine Abbildung von einer beliebigen Menge in eine Menge, auf der eine Verknüpfung mit neutralem Element definiert ist, die immer dieses neutrale Element ergibt. Die Nullfunktion hat viele Eigenschaften und wird in der Mathematik oft als Beispiel oder als Gegenbeispiel verwendet. Sie ist die triviale Lösung einer Reihe mathematischer Probleme, wie zum Beispiel homogener linearer Differentialgleichungen und Integralgleichungen.

Die reelle Nullfunktion hat überall den Wert Null.

Reelle Nullfunktion

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Definition

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In der reellen Analysis ist die Nullfunktion die reelle Funktion  , die jedem Argument die Zahl Null zuordnet, das heißt, es gilt

 

für alle  . Mit Hilfe des Identitätssymbols wird die Nullfunktion auch durch

 

notiert. Der Graph der Nullfunktion ist die gesamte x-Achse. Gelegentlich wird der Definitionsbereich der Nullfunktion auch auf eine Teilmenge   eingeschränkt.

Eigenschaften

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Einordnung

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Die Nullfunktion ist ein Spezialfall folgender Funktionenklassen:

  • Sie ist eine spezielle konstante Funktion  , und zwar gerade diejenige, deren Konstante   ist.
  • Sie ist eine spezielle lineare Funktion  , und zwar diejenige, deren Steigung   und Ordinatenabschnitt   sind.
  • Sie ist eine spezielle Polynomfunktion  , nämlich das Nullpolynom, bei dem alle Koeffizienten   sind. Der Grad des Nullpolynoms wird meist nicht als  , sondern als   definiert.

Symmetrien

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Die Nullfunktion ist als einzige Funktion gleichzeitig gerade und ungerade, das heißt, es gilt

 .

Weiter ist sie weder positiv noch negativ, stattdessen ist sie sowohl nichtpositiv als auch nichtnegativ, also

    und    .

Die Nullstellen der Nullfunktion sind damit alle Zahlen der Definitionsmenge und ihre Nichtnullstellenmenge ist demnach leer. Das Minimum und das Maximum der Nullfunktion sind ebenfalls Null:

 .

Weiterhin ist die Nullfunktion, wie jede konstante Funktion, gleichzeitig monoton steigend und fallend (jedoch nicht streng) und, wie jede lineare Funktion, gleichzeitig konvex und konkav.

Ableitungen

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Die Nullfunktion ist eine glatte Funktion, also beliebig oft stetig differenzierbar, wobei jede ihrer Ableitungen wieder die Nullfunktion selbst ist, das heißt

 

für jedes  . Neben den Vielfachen der Exponentialfunktion ist die Nullfunktion die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft. Die Nullfunktion selbst ist wiederum die Ableitung einer konstanten Funktion und allgemein die  -te Ableitung eines Polynoms vom Grad  .

Integral

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Das Integral der Nullfunktion ergibt unabhängig von den Integrationsgrenzen immer Null, also

 .

für alle  . Die Nullfunktion ist damit die einzige Polynomfunktion, die über den gesamten reellen Zahlen integrierbar ist. Stammfunktion der Nullfunktion ist die Nullfunktion selbst und, da die Integrationskonstante frei wählbar ist, auch jede konstante Funktion.

Lösung von Gleichungen

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Die Nullfunktion ist die triviale Lösung der vier Cauchy-Funktionalgleichungen:[1]

 

Weiter löst die Nullfunktion jede homogene lineare Differentialgleichung der Form

 

und jede homogene lineare Integralgleichung der Art

 

mit Integralkern   und Vorfaktor  . Umgekehrt wird eine inhomogene lineare Differential- oder Integralgleichung nie durch die Nullfunktion gelöst.

Nullabbildungen zwischen Vektorräumen

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Definition

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In der linearen Algebra heißt eine Abbildung   zwischen zwei Vektorräumen   und   über dem gleichen Körper   Nullabbildung oder Nulloperator, wenn für alle Vektoren  

 

gilt, wobei   der eindeutig bestimmte Nullvektor von   ist. Gelegentlich wird die Nullabbildung auch direkt durch   notiert, sofern aus dem Kontext klar ist, ob die Nullabbildung oder die Zahl Null gemeint ist. Auch hier kann der Definitionsbereich der Nullabbildung auf eine Teilmenge   eingeschränkt werden.

Beispiele

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Eigenschaften

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Linearität

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Die Nullabbildung ist eine lineare Abbildung, also ein Vektorraumhomomorphismus, das heißt, es gilt

 

für alle   und  . Sie liegt also im Vektorraum der linearen Abbildungen   und ist dort selbst der Nullvektor.

Jede Nullabbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen wird bezüglich beliebiger Basen durch eine Nullmatrix der Größe   dargestellt.[5] Ihr Kern ist ganz  , ihr Bild   und somit ihr Rang immer  . Ist  , dann ist besitzt die Nullabbildung als einzigen Eigenwert die Zahl Null und der zugehörige Eigenraum ist ganz  .

Operatornorm

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Sind   und   normierte Räume mit jeweiligen Normen   und  , dann ist die Operatornorm der Nullabbildung

 .

Die Nullabbildung selbst stellt für   eine Halbnorm dar.

Lösung von Gleichungen

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Allgemein löst die Nullabbildung jede homogene lineare Operatorgleichung

 ,

wobei   ein linearer Operator ist,   die gesuchte Funktion und   die Nullfunktion ist. Umgekehrt wird eine inhomogene lineare Operatorgleichung, bei der also die rechte Seite ungleich der Nullfunktion ist, nie durch die Nullabbildung gelöst.

Nullabbildungen in ein Magma mit Eins

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Definition

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Ist   eine Menge und   ein Magma mit Eins, das heißt eine Menge versehen mit einer zweistelligen Verknüpfung   mit neutralem Element  , dann heißt eine Abbildung   Nullabbildung, wenn für alle  

 

gilt. Wichtige Beispiele für   sind Monoide, Gruppen, Ringe, Moduln und – wie im vorangegangenen Abschnitt – Vektorräume.

Beispiele

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Eigenschaften

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  • Sind   und   zwei Magmen,   mit Eins, dann ist die Nullabbildung ein Magmenhomomorphismus.
  • Sind   und   zwei Ringe, dann ist die Nullabbildung ein Ringhomomorphismus. Ist   ein einfacher Ring (beispielsweise ein Körper oder ein Schiefkörper), dann ist jeder Ringhomomorphismus entweder injektiv oder die Nullabbildung.[8]
  • Sind   und   zwei Moduln, dann ist die Nullabbildung ein Modulhomomorphismus.
  • Sind   und   zwei Algebren über einem Ring, dann ist die Nullabbildung ein Algebrenhomomorphismus.

Siehe auch

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Barner, Flohr: Analysis I. S. 247.
  2. Bosch: Lineare Algebra. S. 78.
  3. Bosch: Lineare Algebra. S. 204.
  4. Bosch: Lineare Algebra. S. 141.
  5. Bosch: Lineare Algebra. S. 93.
  6. Karpfinger, Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. S. 158.
  7. Karpfinger, Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. S. 181.
  8. Karpfinger, Meyberg: Algebra: Gruppen – Ringe – Körper. S. 172.
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