Integralgleichung

Eine Gleichung wird in der Mathematik Integralgleichung genannt, wenn die gesuchte Funktion unter einem Integral vorkommt. Integralgleichungen können in Naturwissenschaft und Technik zur Beschreibung verschiedener Phänomene verwendet werden. Ein bekanntes Beispiel für eine Integralgleichung mit einigen Anwendungen ist die Abelsche Integralgleichung, die auch historisch zu den ersten untersuchten Integralgleichungen zählt.

Das Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Integralgleichungen und den unten erwähnten kompakten Operatoren beschäftigt, ist die Funktionalanalysis.

DefinitionBearbeiten

Lineare IntegralgleichungBearbeiten

Eine lineare Integralgleichung ist eine Gleichung für eine unbekannte Funktion   und hat für   die Form

 

wobei  ,  ,   gegebene Funktionen und   kompakt sind. Die Funktion   wird Kern genannt.

Nichtlineare IntegralgleichungBearbeiten

Eine nichtlineare Integralgleichung hat die Gestalt

 

mit einem geeigneten Definitionsbereich der Kernfunktion   und einem geeigneten Integrationsbereich  . Dabei geht die gesuchte Funktion   nun nichtlinear in die Kernfunktion ein.

Klassifikation linearer IntegralgleichungenBearbeiten

Lineare Integralgleichungen kann man in

einteilen.

Bei Integralgleichungen 1. Art tritt die gesuchte unbekannte Funktion   nur im Integral auf, bei solchen 2. Art auch außerhalb.

Diese Einteilung erscheint willkürlich, ist aber aufgrund der unterschiedlichen analytischen Eigenschaften der jeweiligen Arten von Integralgleichungen notwendig. So sind beispielsweise Integralgleichungen 2. Art (unter schwachen Voraussetzungen an den Kern) für fast alle Werte von   eindeutig lösbar, und die Lösung hängt stetig von   ab. Dies gilt für Integralgleichungen 1. Art (unter denselben Voraussetzungen an den Kern) im Allgemeinen nicht. Integralgleichungen 1. Art sind wie z. B. die Laplace-Transformation fast immer inkorrekt gestellte Probleme. Die Fourier-Transformation bildet eine der wenigen Ausnahmen. Auch Integralgleichungen 3. Art sind in der Regel inkorrekt gestellte Probleme.

Ist die in einer Integralgleichung vorkommende bekannte Funktion  , so ist die Gleichung homogen, andernfalls inhomogen. Bei homogenen linearen Gleichungen ist mit   auch die skalierte Funktion   eine Lösung.

Außerdem kann man Integralgleichungen nach ihren Integrationsgrenzen klassifizieren. Sind alle Grenzen konstant, so spricht man von Fredholm-Integralgleichungen, ist eine der Grenzen variabel, so nennt man die Gleichung eine Volterra-Integralgleichung.

Eine weitere Einteilung beruht auf Eigenschaften des Kerns. Hier gibt es schwach singuläre und stark singuläre Integralgleichungen.

BeispieleBearbeiten

  • (lineare) Fredholmsche Integralgleichung 1. Art, inhomogener Fall:
     
  • (lineare) Fredholmsche Integralgleichung 2. Art, inhomogener Fall:
     
Dabei spielt der Parameter   eine ähnliche Rolle wie ein Eigenwert in der linearen Algebra.
  • (lineare) Fredholmsche Integralgleichung 2. Art, homogener Fall:
     
  • (lineare) Volterrasche Integralgleichung 1. Art, inhomogener Fall:
     
  • (lineare) Volterrasche Integralgleichung 2. Art, inhomogener Fall:
 
  • nichtlineare Volterrasche Integralgleichung 2. Art, inhomogener Fall:
 
mit einer vorgegebenen nichtlinearen Funktion  

Operatortheoretischer ZugangBearbeiten

Mit

 

wird für einen hinreichend integrierbaren Kern   ein linearer Operator   definiert. Wesentlich für die Theorie der (nicht stark singulären) Integralgleichungen ist die Theorie der kompakten Operatoren. Diese Theorie ähnelt in gewisser Weise der von linearen Gleichungen im Endlichdimensionalen. Kompakte Operatoren haben nämlich im Wesentlichen pure Eigenwertspektren. Genauer heißt das: Das Spektrum besteht (evtl. von der Null abgesehen) nur aus Eigenwerten und diese häufen sich in höchstens einem Punkt, der Null. Alle Eigenräume (evtl. von dem der Null abgesehen) sind endlichdimensional.

Auch historisch wurde die Theorie der Integralgleichungen Anfang des 20. Jahrhunderts als kontinuierlicher Grenzwertübergang zum Beispiel von Eigenwertgleichungen der linearen Algebra entwickelt, wobei Eigenvektoren nun Eigenfunktionen entsprachen und der Matrix eine Kernfunktion.

Dualität von Integral- und DifferentialgleichungenBearbeiten

Integraloperatoren treten oft (aber nicht ausschließlich) bei der Lösung von Differentialgleichungen auf, zum Beispiel bei Sturm-Liouville-Problemen, oder bei partiellen Differentialgleichungen in Form der Greenschen Funktion.

Integro-DifferentialgleichungBearbeiten

Eine Integro-Differentialgleichung ist eine Gleichung, in der sowohl die Ableitung der zu bestimmenden Funktion als auch ein Integral vorkommt, in dessen Integrand diese gesuchte Funktion auftritt.

Solche Gleichungen können genauso wie Integral- beziehungsweise Differenzialgleichungen linear oder nichtlinear sein. Treten nur gewöhnliche Ableitungen der gesuchten Funktion auf, spricht man von einer gewöhnlichen Integro-Differentialgleichung, treten partielle Ableitungen auf, dann spricht man von einer partiellen Integro-Differentialgleichung.[2]

Ein Beispiel hierfür ist die aus der kinetischen Gastheorie stammende Boltzmann-Gleichung.

Wiener-Hopf-Gleichung und Wiener-Hopf-MethodeBearbeiten

Die Wiener-Hopf-Gleichung[3] ist eine Integralgleichung, die auf der positiven reellen Halbachse definiert ist und bei der der Kern   von der Differenz der Argumente abhängt:

 

für  . Dabei ist   eine vorgegebene Funktion (bei der homogenen Gleichung ist  ) und   die gesuchte Funktion.   ist wie oben ein Parameter. Der Kern ist translationsinvariant.

Wesentlich ist, dass einer der Ränder im Unendlichen liegt und einer im Endlichen.

Sie ist nach Eberhard Hopf und Norbert Wiener benannt,[4] die für sie eine Lösungsmethode (Wiener-Hopf-Methode) entwickelten, und findet zum Beispiel beim Problem des Strahlungstransports in der Astrophysik Anwendung (Milne-Gleichung, sie ist vom Typ einer Wiener-Hopf-Gleichung).

Die Wiener-Hopf-Methode (auch Faktorisierungsmethode)[5][6][7][8][9] ist eine allgemeine Methode zur Lösung von bestimmten Integralgleichungen und Randwertproblemen von bestimmten partiellen Differentialgleichungen (wie der Wellengleichung oder Laplacegleichung zum Beispiel in Optik oder Elektromagnetismus),[10][11] wobei typischerweise Ränder auftreten, die sich ins Unendliche erstrecken wie bei der Halbebene. Dabei werden die Fouriertransformation (oder auch die Laplacetransformation oder Mellintransformation) der gesuchten Funktionen betrachtet und deren komplex-analytische Eigenschaften ausgenutzt. Die Funktion und ihre Transformierte wird in zwei Teile   zerlegt, die jeweils in der oberen und unteren komplexen Halbebene als analytische Funktionen definiert sind (wobei diese nur polynomiales Wachstumsverhalten haben sollten), aber einen Abschnitt der reellen Achse im Definitionsbereich gemein haben.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eberhard Schock: Integral Equations of the Third Kind. Studia Mathematica, Band 81, 1985, S. 1–11
  2. Integro-Differentialgleichung. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  3. V. I. Dmitriev: Wiener-Hopf equation, Encyclopedia of Mathematics, Springer
  4. Wiener, Hopf, Über eine Klasse singulärer Integralgleichungen, Sitzungsberichte Preuß. Akademie Wiss. Berlin, 1931, S. 696–706
  5. Wiener-Hopf method, Encyclopedia of Mathematics, Springer
  6. Wiener-Hopf Method, Mathworld
  7. B. Noble: Methods based on the Wiener-Hopf technique for the solution of partial differential equations, Pergamon 1959
  8. Morse, Feshbach: Methods of theoretical physics, McGraw Hill 1953, Band 1, S. 978ff
  9. Michio Masujima: Applied mathematical methods in theoretical physics, Wiley 2009
  10. L. A. Weinstein: The theory of diffraction and the factorization method, Golem Press, Boulder 1969
  11. Vito Daniele, Rodolfo Zilch: The Wiener-Hopf method in electromagnetics, Scitech Publ. 2014