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Funktionalgleichung

Gleichung mit mindestens einer Funktion als Lösung

Als Funktionalgleichung wird in der Mathematik eine Gleichung bezeichnet, zu deren Lösung eine oder mehrere Funktionen gesucht werden. Viele Funktionen können über eine zugrunde liegende Funktionalgleichung definiert werden. Üblicherweise werden als Funktionalgleichungen nur solche Gleichungen bezeichnet, die nicht durch Umformungen auf eine explizite geschlossene Form für die gesuchte Funktion(en) gebracht werden können, und in denen die gesuchte Funktion mit unterschiedlichen Argumenten auftritt.

Bei der Untersuchung von Funktionalgleichungen ist man an allen Lösungsfunktionen des untersuchten Funktionsraumes interessiert, nicht nur an einer. Ansonsten ist es ziemlich trivial zu irgendeiner gegebenen Funktion eine Funktionalgleichung zu konstruieren.

„It is natural to ask what a functional equation is. But there is no easy satisfactory answer to this question.“[1]

Inhaltsverzeichnis

Von Cauchy untersuchte FunktionalgleichungenBearbeiten

Augustin Louis Cauchy hat 1821 in seinem Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, Kapitel 5 die stetigen Lösungen   der folgenden Funktionalgleichungen untersucht[2]:

 

Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die linearen Funktionen  , wobei   eine reelle Konstante ist. Für diese Funktionalgleichung hat sich die Bezeichnung Cauchy(sche)-Funktionalgleichung eingebürgert.

 

Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die Potenzfunktionen  , wobei   eine reelle Konstante ist.

 

Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die Exponentialfunktionen  , wobei   eine positive reelle Konstante ist.

 

Die stetigen Lösungen dieser Funktionalgleichung sind die Logarithmusfunktionen  , wobei   eine positive reelle Konstante ist.

Ferner ist die Nullfunktion eine triviale Lösung jeder dieser Funktionalgleichungen.

Bekannte Funktionalgleichungen spezieller FunktionenBearbeiten

GammafunktionBearbeiten

Die Funktionalgleichung

 

wird durch die Gammafunktion   erfüllt. Betrachtet man nur Funktionen, die logarithmisch konvex sind, so werden alle Lösungen dieser Gleichung durch   beschrieben, mit  . Dies ist der Satz von Bohr-Mollerup über die Eindeutigkeit der Gammafunktion als Fortsetzung der Fakultäten von   nach  .

Ferner ist die Gammafunktion auch eine Lösung der Funktionalgleichung

 

die nur eine spezielle Art der „Reflexionssymmetrie“ um   darstellt, wie man mittels der Substitution   und anschließendem Logarithmieren der neuen Funktionalgleichung sieht.

PolygammafunktionenBearbeiten

Für   werden die Funktionalgleichungen

 

durch die Polygammafunktionen   erfüllt. Für festes   werden alle stetigen und monotonen Lösungen durch die Funktionen   dargestellt mit beliebigem  .

Bernoulli-PolynomeBearbeiten

Für   werden die Funktionalgleichungen

 

durch die Bernoulli-Polynome   erfüllt. Alle stetigen Lösungen dieser Gleichung werden durch   plus weitere (periodische) Lösungen der homogenen Funktionalgleichung beschrieben, wobei a eine beliebige reelle Zahl ist. Genaueres dazu im nachfolgenden Abschnitt.

Periodische FunktionenBearbeiten

Die Funktionalgleichung

 

stellt den homogenen Lösungsanteil der obigen Funktionsgleichungen dar, da man deren Lösung einfach auf eine Lösung irgendeiner inhomogenen Funktionsgleichung addieren kann und so eine neue erhält, solange man keine weiteren einschränkenden Bedingungen verletzt. Betrachtet man alle holomorphen Funktionen auf ganz  , so werden alle Lösungsfunktionen dargestellt durch

Linearkombinationen von   mit  .

Diese Erkenntnis ist eine Grundlage der Fourieranalyse. Alle diese Funktionen sind, ausgenommen der Fall n = 0, weder konvex noch monoton.

ZetafunktionBearbeiten

Die Funktionalgleichung

 

wird durch die Riemannsche Zetafunktion   erfüllt.   bezeichnet dabei die Gammafunktion.

Anmerkung: Durch die Substitution

 

und anschließende algebraische Vereinfachung wird diese Funktionalgleichung für   in eine neue für   überführt, die

 

lautet. Somit kann die ursprüngliche Funktionalgleichung durch Transformation auf eine Gestalt gebracht werden, die lediglich eine gerade Funktion um   fordert. Die entsprechend so transformierte Riemannsche Zetafunktion ist als Riemannsche Xi-Funktion   bekannt.

Gerade und ungerade FunktionenBearbeiten

Die beiden Funktionsgleichungen

 

werden von allen geraden bzw. ungeraden Funktionen erfüllt. Eine weitere „einfache“ Funktionsgleichung ist

 

also alle Funktionen, die ihre eigene Umkehrfunktion auf dem Intervall   sind, beschreiben ihre Lösungsmenge. Bei diesen drei Funktionsgleichungen steht aber eher die Frage im Mittelpunkt, wie ihre Lösungen sinnvollerweise zu charakterisieren sind.

„reelle“ Iterierte einer FunktionBearbeiten

Gegeben sei eine analytische, bijektive Funktion  , dann lautet Schröders Funktionalgleichung

 

mit einem festen zu bestimmenden  . Wendet man auf beiden Seiten dieser Gleichung die inverse Funktion von   an, dann kann man dies verallgemeinern zur Definition von

 

und für irgendein festes t verhält sich diese Funktion   wie eine t-fach iterierte Funktion  . Ein einfaches Beispiel: gegeben sei für festes   die allgemeine Potenzfunktion   für   auf  . In diesem Fall lautet die Lösung der Schröderschen Gleichung   und   mit dem Ergebnis, dass   wird.

ModulformenBearbeiten

Die Funktionalgleichung

 

wobei   gegeben sind, wird in der Definition von Modulformen verwendet.

Wavelets und ApproximationstheorieBearbeiten

Für   und   definiert die Funktionalgleichung

 

in der Theorie der Waveletbasen die Skalierungsfunktion einer Multiskalenanalyse. Die in der Approximationstheorie und Computergraphik wichtigen B-Splines sind Lösungen einer solchen Verfeinerungsgleichung, weitere Lösungen samt den Koeffizienten finden sich unter Daubechies-Wavelets. Es gibt Erweiterungen mit vektorwertigem Lösungsfunktionen f und Matrizen als Koeffizienten.

Sinus und KosinusBearbeiten

Betrachtet man die Funktionalgleichung  , die die Exponentialfunktion über den komplexen Zahlen erfüllt, und teilt den Wertebereich in Real- und Imaginärteil auf, also  , und schränkt ferner den Definitionsbereich auf   ein, so erhält man zwei Funktionalgleichungen in zwei unbekannten Funktionen, nämlich

 

und

 

die den Additionstheoremen entsprechen und als Funktionalgleichungssystem für die reellen Sinus und Kosinus-Funktionen aufgefasst werden kann.

Weitere Beispiele allgemeiner FunktionalgleichungenBearbeiten

RekursionsgleichungenBearbeiten

Eine einfache Klasse von Funktionalgleichungen besteht aus den Rekursionsgleichungen über  . Formal betrachtet wird dabei eine unbekannte Funktion   gesucht.

Ein sehr einfaches Beispiel einer solchen Rekursionsgleichung ist etwa die lineare Gleichung der Fibonacci-Folge:

 .

Diese kann man natürlich auch eingebettet in die Menge der reellen Zahlen betrachten, also hier

 

deren analytische Lösungen dann alle die Form

 

haben mit beliebigem  . Nur als Funktion   lassen sich alle ihre Lösungsfunktionen z. B. als

 

angeben. Obwohl in dieser Darstellung irrationale Zahlen auftreten, ergibt sich für jedes   ein ganzzahliger Wert, solange   sind.

RechengesetzeBearbeiten

Rechengesetze wie Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz können ebenfalls als Funktionalgleichungen interpretiert werden.

Beispiel Assoziativgesetz: Gegeben sei eine Menge  . Für ihre binäre assoziative Verknüpfung   bzw. zweiparametrige Funktion   gelten für alle  

Infixnotation:  

und in

Präfixnotation:  

wobei   identifiziert wird.

Bezeichne   die binäre Verknüpfungsfunktion 2ter Stufe (z. B. Multiplikation) und   die Verknüpfungsfunktion 1ster Stufe (z. B. Addition), dann würde ein Distributivgesetz als Funktionalgleichung geschrieben

  für alle  

lauten.

AnmerkungenBearbeiten

Allen Beispielen ist gemeinsam, dass zwei oder mehr bekannte Funktionen (Multiplikation mit einer Konstanten, Addition, oder einfach nur die identische Funktion) als Argumente der unbekannte Funktion verwendet werden.

Bei der Suche nach allen Lösungen einer Funktionalgleichung werden oft Zusatzbedingungen gestellt, beispielsweise wird bei der oben erwähnten Cauchy-Gleichung für vernünftige Lösungen Stetigkeit gefordert. Georg Hamel hat allerdings 1905 gezeigt, dass unter Voraussetzung des Auswahlaxioms auch unstetige Lösungen existieren.[3] Diese Lösungen basieren auf einer Hamelbasis der reellen Zahlen als Vektorraum über den rationalen Zahlen und sind vor allem von theoretischer Bedeutung.

LiteraturBearbeiten

  • Janos Aczel: Lectures on Functional Equations and Their Applications, Dover 2006, ISBN 0486445232

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Pl. Kannappan, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer 2009, ISBN 978-0-387-89491-1, preface
  2. visualiseur.bnf.fr
  3. G. Hamel: Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y). Math. Ann. 60, 459–462, 1905.