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Polygammafunktion

mathematische Funktion
Die ersten Polygammafunktionen im Reellen
m = 0   m = 1   m = 2   m = 3   m = 4

In der Mathematik sind die Polygamma-Funktionen eine Reihe spezieller Funktionen, die als die Ableitungen der Funktion definiert sind. Dabei bezeichnet die Gammafunktion und den natürlichen Logarithmus.

Die ersten beiden Polygammafunktionen werden Digammafunktion und Trigammafunktion genannt.

Darstellung der ersten fünf Polygammafunktionen in der komplexen Ebene
Complex LogGamma.jpg
Complex Polygamma 0.jpg
Complex Polygamma 1.jpg
Complex Polygamma 2.jpg
Complex Polygamma 3.jpg
Complex Polygamma 4.jpg

Inhaltsverzeichnis

NotationBearbeiten

Die Polygammafunktionen werden mit dem kleinen griechischen Buchstaben Psi   gekennzeichnet. Bei der ersten Polygammafunktion wird der Index meist weggelassen oder als 0 festgelegt; sie wird als Digammafunktion   bezeichnet. Die zweite Polygammafunktion, also die Trigammafunktion, hat das Symbol   (oder seltener  ) und ist die zweite Ableitung von  . Allgemein wird die  -te Polygammafunktion oder Polygammafunktion der Ordnung   mit   oder   bezeichnet und als die  -te Ableitung von   definiert.

Definition und weitere DarstellungenBearbeiten

Es ist

 

mit der Digammafunktion  . Derartige Ableitungen werden auch als logarithmische Ableitungen von   bezeichnet.

Eine Integraldarstellung ist

 

für   und  

EigenschaftenBearbeiten

DifferenzengleichungenBearbeiten

Die Polygammafunktionen haben die Differenzengleichungen

 

ReflexionsformelBearbeiten

Eine weitere wichtige Beziehung lautet

 

MultiplikationsformelBearbeiten

Die Multiplikationsformel ist für   gegeben durch

 

Zum Fall   also der Digammafunktion, siehe dort.

ReihendarstellungenBearbeiten

Eine Reihendarstellung der Polygammafunktion lautet

 

wobei   und   eine beliebige komplexe Zahl außer den negativen ganzen Zahlen ist. Die Formel lässt sich einfacher unter Verwendung der hurwitzschen Zetafunktion   schreiben als

 

Die Verallgemeinerung der Polygammafunktionen auf beliebige, nichtganze Ordnungen   ist weiter unten angegeben.

Eine weitere Reihendarstellung ist

 

wobei   das Kronecker-Delta bezeichnet, die aus der Zerlegung der Gammafunktion nach dem weierstraßschen Produktsatz folgt.

Die Taylor-Reihe um   ist gegeben durch

 

die für   konvergiert.   bezeichnete dabei die Riemannsche Zetafunktion.

Spezielle WerteBearbeiten

Die Werte der Polygammafunktionen für rationale Argumente lassen sich meist ausdrücken unter Verwendung von Konstanten und Funktionen wie  , Quadratwurzel, Clausen-Funktion  , Riemannsche ζ-Funktion, Catalansche Konstante   sowie Dirichletsche β-Funktion; z. B.

 

Allgemein gilt ferner:

 .

Die m-te Ableitung des Tangens kann ebenfalls mit der Polygammafunktion ausgedrückt werden:

 .

Verallgemeinerte PolygammafunktionBearbeiten

Die verallgemeinerte Polygammafunktion erfüllt für   und   die Funktionalgleichung

 

wobei   die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet. Wegen

 

für ganzzahlige   ist die weiter oben angegebene Differenzengleichung für natürliche   eingeschlossen.

Unter Zuhilfenahme der Hurwitzschen  -Funktion erhält man dann die Beziehung

 

welche die Funktionalgleichung erfüllt.[1]

Als Konsequenz daraus lässt sich die Verdopplungsformel

 

herleiten. Eine Verallgemeinerung davon lautet

 

die ein Äquivalent zur Gaußschen Multiplikationsformel der Gammafunktion darstellt und die Multiplikationsformel als Spezialfall für   enthält.

q-PolygammafunktionBearbeiten

Die  -Polygammafunktion ist definiert durch[2]

 .

LiteraturBearbeiten

ReferenzenBearbeiten