Riemannsche Xi-Funktion

mathematische Funktion
Die Riemannsche -Funktion in der komplexen Zahlenebene.

In der Mathematik ist die Riemannsche Xi-Funktion eine Transformierte der Riemannschen Zeta-Funktion. Ihre Nullstellen entsprechen dabei ausschließlich den nichttrivialen Nullstellen der Zeta-Funktion, und im Gegensatz zu dieser ist die Xi-Funktion holomorph auf der ganzen komplexen Ebene. Zudem genügt sie einer besonders einfachen Funktionalgleichung. Bernhard Riemann führte sie 1859 in derselben Arbeit über die Primzahlverteilung ein, in der er auch die später nach ihm benannte Riemannsche Vermutung formulierte.

DefinitionBearbeiten

Die Riemannsche Xi-Funktion   („klein xi“) ist definiert als

 

wo   die Riemannsche  -Funktion und   die Gamma-Funktion bezeichnet. Der Produktterm auf der rechten Seite vor der Riemannschen  -Funktion eliminiert genau alle negativen Nullstellen und die Singularität der Zeta-Funktion an der Stelle  . Die einzigen Nullstellen von   sind daher genau die nichttrivialen Nullstellen der  -Funktion.

Eine Variante der Xi-Funktion wird üblicherweise mit   („groß Xi“) bezeichnet und geht aus   durch die Variablentransformation   (also  ) hervor:

 

Die Riemannsche Vermutung ist äquivalent zu der Aussage, dass alle Nullstellen von   reell sind.

Bemerkenswerterweise verwendete Riemann selber den Buchstaben   zur Bezeichnung derjenigen Funktion, die man heute (nach Landau) mit   bezeichnet; die Ursache für diese zunächst verwirrende Symbolik liegt in einem offenbaren Fehler Riemanns[1], der aber keinerlei Auswirkungen auf die Aussagen seines Artikels hat.

EigenschaftenBearbeiten

Spezielle WerteBearbeiten

Es gilt:

 
  (Minimum im reellwertigen Definitionsbereich, Folge A114720 in OEIS)
 
 

Für gerade natürliche Zahlen gilt:

 

wobei   die  -te Bernoulli-Zahl bezeichnet. Aus dieser Darstellung ergeben sich unter anderem die Werte:

 
 

FunktionalgleichungBearbeiten

Die Xi-Funktion genügt der Funktionalgleichung („Reflexionsformel“)

 

oder äquivalent dazu für die  -Funktion:

 

  ist damit eine gerade Funktion.

ProduktdarstellungBearbeiten

 

wobei   in der Produktformel über alle Nullstellen von   läuft.[2]

Beziehung zur Riemann-Siegelschen Z-FunktionBearbeiten

Es gilt[3]

 

Asymptotisches VerhaltenBearbeiten

Für reelle Werte von   gilt[4]

 

also

 

(wobei   das Landau-Symbol bezeichnet). Entsprechend gilt für reelle Werte von  [5]

 

Li-KoeffizientenBearbeiten

Die Xi-Funktion   hat eine enge Beziehung zu den so-genannten Li-Koeffizienten

 

wobei sich die Summe über die Nullstellen   von   erstreckt; denn es gelten die Beziehungen[6]

 

und

 

Das lische Kriterium ist die Eigenschaft   für alle positiven  . Es ist äquivalent zu der Riemannschen Vermutung.

LiteraturBearbeiten

  • H. M. Edwards: Riemann’s Zeta Function. Dover Publications, Mineola, NY 2001, ISBN 0-486-41740-9.
  • J. C. Lagarias: Li coefficients for automorphic L-functions. In: Mathematics. 2004. arxiv:math.MG/0404394.
  • B. Riemann: Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe. In: Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1859.
  • E. C. Titchmarsh: The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-853369-1.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Edwards (2001), Fußnote §1.16 (S. 31)
  2. Edwards (2001) §2.1 (S. 39)
  3. Titchmarsh (1986) §4.17 (S. 89)
  4. Titchmarsh (1986) §2.12 (S. 29)
  5. Titchmarsh (1986) §5.1 (S. 96) & §10.2 (S. 257)
  6. Lagarias (2004)