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Riemannsche ζ-Funktion

mathematische Funktion
Die Riemannsche Zeta-Funktion in der komplexen Ebene: Die Null, also der Ursprung der komplexen Ebene, befindet sich genau in der Mitte des Schaubildes. Die im Bild sichtbaren, sogenannten nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion liegen auf der nicht eingezeichneten, vertikalen Linie durch 0,5. Sie sind als schwarze Punkte auf dieser gedachten Linie erkennbar und spiegelsymmetrisch zur reellen Achse, also zur horizontalen Linie durch den Ursprung, angeordnet. Das Schaubild besitzt einen einzigen rein weißen Punkt. Dieser gehört zur einzigen Polstelle der Zeta-Funktion in 1, also zu demjenigen Punkt, der sich eine Einheit rechts vom Ursprung befindet und in dem die Zeta-Funktion nicht definiert ist. Die sogenannten trivialen Nullstellen liegen auf dem linken Teil der reellen Achse, nämlich in −2, −4, −6, −8, …
Die in obigem Bild verwendete Kolorierung der komplexen Funktionswerte

Die Riemannsche ζ-Funktion (Zeta-Funktion nach Bernhard Riemann) ist eine komplexwertige, spezielle mathematische Funktion, die in der analytischen Zahlentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, eine wichtige Rolle spielt. Erstmals betrachtet wurde sie im 18. Jahrhundert von Leonhard Euler, der sie im Rahmen des Basler Problems untersuchte. Bezeichnet wird sie üblicherweise mit dem Symbol , wobei eine komplexe Zahl ihres Definitionsbereichs ist.

Von großer Bedeutung für die Zahlentheorie ist, dass die Zeta-Funktion das Gesetz der eindeutigen Zerlegung natürlicher Zahlen in Primfaktoren (damit ist die Zerlegung einer Zahl in „unteilbare“ Elemente gemeint, in etwa 132 = 2 * 2 * 3 * 11) analytisch, also durch eine geschlossene Formel, ausdrückt. Auf Basis dessen konnte Riemann im Jahr 1859 die sehr enge und nicht offensichtliche Beziehung zwischen den Primzahlen und der Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion nachweisen. Beispielsweise folgt aus der Tatsache für alle komplexen Zahlen mit bereits, dass die -te Primzahl „recht genau“ den Wert hat – genauer gesagt folgt[1]

Hier bezeichnet log den natürlichen Logarithmus. Genauere Informationen über nullstellenfreie Bereiche macht das Bild um die Primzahlverteilung deutlicher. Die bis heute (Stand 2019) nicht geklärte Riemannsche Vermutung sagt aus, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion den Realteil haben, also auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ob diese Vermutung zutrifft, ist eines der wichtigsten ungelösten Probleme der Mathematik. Nicht zuletzt wegen der Bedeutung der Primzahlen für moderne Kryptosysteme (wie in etwa der RSA-Verschlüsselung) genießt sie auch außerhalb der reinen Zahlentheorie Aufmerksamkeit.

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine in der ganzen Ebene (mit Ausnahme eines einfachen Pols an der Stelle ) holomorphe Funktion und erfüllt eine wichtige Funktionalgleichung, mit deren Hilfe sie sogar charakterisiert werden kann. Definiert wird sie üblicherweise über eine Dirichlet-Reihe oder ein dazu äquivalentes Euler-Produkt:

Zu beachten ist hier allerdings, dass beide Darstellungen nur für Werte mit Realteil größer als 1 konvergieren.

Neben ihrer wichtigen zahlentheoretischen Bedeutung findet die Riemannsche Zeta-Funktion auch Anwendung in anderen Disziplinen. Dazu gehören unter anderem die Wahrscheinlichkeitstheorie und die mathematische Physik. Auch gibt es zahlreiche Verallgemeinerungen dieser Funktion, die oft durch Hinzufügen weiterer Variablen entstehen, wie den Polylogarithmus oder die Hurwitzsche Zeta-Funktion. Aus Sicht der algebraischen Zahlentheorie ist die Riemannsche Zeta-Funktion ferner nur ein Spezialfall einer ganzen Klasse sogenannter L-Funktionen. So entspricht sie der zum Trivialen Charakter modulo 1 gehörigen Dirichletschen L-Funktion und der zum Zahlkörper (rationale Zahlen) korrespondierenden Dedekindschen Zeta-Funktion.

Wegen der überragenden Bedeutung der Riemannschen Vermutung für die Zahlentheorie und deren Anwendungen bleibt der Themenkreis der Riemannschen ζ-Funktion ein Gebiet intensiver mathematischer Forschung. Entscheidende Fortschritte erzielten Mathematiker wie zum Beispiel Lindelöf, Hadamard, de La Vallée Poussin, Hardy, Littlewood, Selberg, Woronin und Conrey.

Notation: Im ganzen Artikel bezeichnet die imaginäre Einheit und die Eulersche Zahl. Des Weiteren wird oft die O-Notation von Landau für die Angabe von Fehlergrößen verwendet. Verhalten sich zwei (unbeschränkte) Funktionen und für wachsendes Argument gleich, gilt also , so wird dies mit notiert.

Inhaltsverzeichnis

Einordnung ohne mathematisches VorwissenBearbeiten

Im Zentrum der Zahlentheorie, jenes Zweiges der Mathematik, der sich mit den Eigenschaften der natürlichen Zahlen   beschäftigt, stehen die Primzahlen  . Diese sind ausgezeichnet durch die Eigenschaft, genau zwei Teiler zu haben, nämlich die 1 und sich selbst. Die 1 ist keine Primzahl. Bereits Euklid konnte zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, weshalb die Liste   niemals enden wird.

Die Primzahlen sind gewissermaßen die Atome der ganzen Zahlen, da sich jede positive ganze Zahl eindeutig multiplikativ in solche zerlegen lässt. Zum Beispiel gilt   und  . Trotz dieser elementaren Eigenschaft ist nach mehreren Jahrtausenden Mathematikgeschichte bis heute kein einfaches Muster bekannt, dem sich die Primzahlen in ihrer Folge unterwerfen. Ihre Natur ist eines der größten mathematischen Rätsel.

Auch wenn das detaillierte Verständnis der Sequenz   unerreichbar fern ist, kann man nach Mustern suchen, wenn man den Blick ausweitet. Zum Vergleich stelle man sich vor, dass mit Hilfe statistischer Methoden das Verhalten sehr vieler Menschen (zum Beispiel bezüglich des Konsum- und Wahlverhaltens) oft überraschend präzise beschrieben werden kann, obgleich ein einzelner Mensch äußerst komplex ist. Das hat grob gesagt damit zu tun, dass größer werdende relevante Datenmengen immer zuverlässigere Informationen liefern. Im Falle der Primzahlen führt eine solche Ausweitung unter anderem zu der Frage, wie viele Primzahlen es unterhalb einer fest gewählten Zahl gibt.

Zum Beispiel sind nur 4 Primzahlen, nämlich 2, 3, 5 und 7, kleiner als die Zahl 10. Im Falle von 50 gibt es schon 15 kleinere Primzahlen, nämlich

 

Ende des 19. Jahrhunderts konnte ein verblüffend einfaches (allerdings grobes) Beschreibungsmuster für das quantitative Verhalten der Primzahlen unter einer Größe bewiesen werden. Dieses wurde bereits im 18. Jahrhundert vom 15-jährigen Gauß vermutet. Aus diesem lässt sich aus einer gegebenen Zahl die Anzahl der Primzahlen, die kleiner als diese Zahl sind, schätzen. Das Muster wird relativ betrachtet immer genauer, je größer die obere Schranke gewählt wird. Beispielsweise liefert es für den Wert 50 die Prognose 18 (es sind tatsächlich 15 Primzahlen, siehe oben). Weiter sagt es rund 1246 Primzahlen unter der Zahl 10.000 voraus – tatsächlich sind es 1229.

Das entscheidende Werkzeug zum Beweis dieses schätzungsweise richtigen Musters ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Das besondere an dieser Funktion ist, dass sie das Gesetz der eindeutigen Primfaktorzerlegung in der Sprache der Analysis ausdrückt. Interessanterweise erhöht sich mit dem Wissen um die Zeta-Funktion auch unser Wissen um die Primzahlen, sogar in detaillierteren Fragestellungen. So können viele Primzahltests, wie der von Miller-Rabin unter Annahme der Riemannschen Vermutung bewiesen bzw. verbessert werden. Die Nullstellen der Zeta-Funktion implizieren zudem einen Korrekturterm obigen Musters, der es in einen exakten Ausdruck umwandelt. Jedoch sind praktische Berechnungen mit dieser Formel numerisch nicht sinnvoll.

Die Primzahlen sind nicht nur Gegenstand der mathematischen Grundlagenforschung, sondern haben auch praktische Anwendungen. So kommen beispielsweise bei Kryptosystemen wie der RSA-Verschlüsselung sehr große Primzahlen zum Einsatz.

GeschichteBearbeiten

Im Gegensatz zu den Primzahlen oder der euklidischen Geometrie ist die mathematische Entdeckungsgeschichte der Riemannschen Zetafunktion sehr jung. So sind alle bis heute wesentlichen Entdeckungen zu dieser Funktion in den letzten 350 Jahren gemacht worden. Der Grund dafür ist, dass vorher die notwendigen mathematischen Methoden (insbesondere die komplexe Analysis) noch nicht entwickelt waren. Zum Zeitpunkt ihrer Entdeckung besaß die Zeta-Funktion außerdem noch keinerlei offensichtliche Anwendung in der Praxis. Ein Grund, weshalb sie trotzdem lange vor Riemann die Aufmerksamkeit vieler Mathematiker erhielt, war, dass sie trotz ihrer recht einfachen Definition bei weitem nicht so triviale Eigenschaften besitzt wie beispielsweise die geometrische Reihe.

Die Zeit um 1735 – Leonhard Euler löst das Basler ProblemBearbeiten

 
Leonhard Euler, 1735

Einer der ersten Mathematiker, der sich mit einem Vorläufer der wie heute definierten Zeta-Funktion intensiv und ausführlich auseinandersetzte, war Leonhard Euler, einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte. Seit Mitte des 17. Jahrhunderts versuchten Mathematiker, den exakten Grenzwert der unendlichen Reihe

 

zu bestimmen. Persönlichkeiten wie Pietro Mengoli, der das Basler Problem (wie es später bezeichnet wurde) erstmals formulierte, aber auch Jakob I Bernoulli scheiterten zu ihren Lebzeiten mit ihren Lösungsversuchen. Erst um das Jahr 1734 fand Leonhard Euler die äußerst verblüffende Lösung

 

mit der Kreiszahl  , indem er eine neuartige Technik zur Berechnung der Sinusfunktion entwickelte.[2] Dieser Beweis wurde jedoch nach Veröffentlichung von seinen Zeitgenossen zunächst nicht akzeptiert. Daraufhin konterte er mit der Veröffentlichung eines alternativen Beweises im Jahr 1741.[3] Natürlicherweise war Euler bald darauf an der Untersuchung von Reihen des Typs

 

(Euler verwendete das „reelle  “, die Schreibweise mit komplexer Variable   wurde erst über Riemann populär) interessiert. Er hatte die Hoffnung, weitere und außerdem weit bedeutendere Aussagen treffen zu können. Tatsächlich ließ der Durchbruch nicht lange auf sich warten und er fand eine allgemeine Formel für gerade positive Argumente (siehe unten), die 1735 in seiner Arbeit De Summis Serierum Reciprocarum erstmals veröffentlicht wurde. Diese zeigte auf, dass sich   stets als ein rationales Vielfaches der Potenz   schreiben lässt. Auch war er beim Auffinden exakter Werte nicht müßig und berechnete neben   von Hand[4] den Wert

 

Nicht erfolgreich war er hingegen bei ungeraden Argumenten, also zum Beispiel bei der Reihe

 

da sich hier merkwürdigerweise keine seiner Techniken anwenden ließ. Jedoch berechnete er die Werte   für   bis auf mehrere Dezimalstellen. Außerdem schrieb er einheitlich  , wobei   im Falle, dass   eine gerade Zahl ist, rational ist. Für den Fall, dass   ungerade ist, vermutete Euler,   sei „eine Funktion von  “.[5] Dies konnte jedoch, unbemerkt der vagen Formulierung Eulers, bis heute nicht bestätigt werden. Die Reihen für ungerade Argumente größer als 1 sind bis heute (Stand 2019) weitestgehend ein Mysterium und Gegenstand tiefer Vermutungen.[6]

 
Bernhard Riemann, 1863

Ebenfalls wegweisend für die moderne Zahlentheorie war Eulers Entdeckung der für alle Werte   gültigen Identität

 

wobei sich das Produkt zur Rechten über alle Primzahlen erstreckt. Diese Formel wird ihm zu Ehren heutzutage als Euler-Produkt bezeichnet. Durch der damals gut bekannten Tatsache, dass die harmonische Reihe divergent ist, konnte Euler schließen, dass die Summe der Kehrwerte aller Primzahlen ebenfalls keinen endlichen Grenzwert hat. Es gilt also[7]

 

Diese Tatsache war für ihn ein Indikator dafür, dass Primzahlen wesentlich dichter liegen müssten als Quadratzahlen, da er bei der Lösung des Basler Problems mit bewiesen hatte, dass die unendliche Summe der Kehrwerte aller Quadratzahlen gegen einen endlichen Grenzwert strebt. Dieses Argument ist jedoch nur von heuristischer Natur – bis heute ist nicht einmal bekannt, ob zwischen zwei benachbarten Quadratzahlen stets eine Primzahl liegt (diese Fragestellung ist auch als die Legendresche Vermutung bekannt). Auch die von Riemann später bewiesene Funktionalgleichung soll Euler schon bekannt gewesen sein, auch wenn er diese in einem ganz anderen nicht rigorosen Formalismus beschrieb.[8] In seiner Arbeit Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques schreibt Euler:

„Par cette raison je hazarderai la conjecture suivante, que quelque soit l'exposant n, cette équation ait toujours lieu:

 

Auf der linken Seite kann über die ebenfalls von Euler gefundene Identität

 

der direkte Bezug zur Funktion   hergestellt werden.

Da die Methoden der komplexen Analysis zu Lebzeiten Eulers noch weitgehend unbekannt waren, war er jedoch letztlich nicht imstande, das Problem der Primzahlen in der gleichen Weise anzugehen, wie es später Riemann tun sollte.

Die Riemannsche Initiative – ein Aufsatz liefert den DurchbruchBearbeiten

 
Die erste Seite von Bernhard Riemanns Artikel über Primzahlen

Im Jahr 1859 setzte Bernhard Riemann in seiner Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Zeta-Funktion in zentralen Zusammenhang zu den Primzahlen. Die große Leistung bestand darin, die Relevanz der Ausweitung des Definitionsbereichs auf komplexe Zahlen zu erkennen. Zwar hatte Euler schon ein Jahrhundert zuvor die Gültigkeit des Euler-Produktes aufgezeigt, jedoch war es erst mit Riemanns Herangehensweise mittels komplexer Zahlen möglich geworden, daraus konkrete Informationen über Primzahlen selbst zu gewinnen. Das ist insofern bemerkenswert, als Primzahlen reelle Zahlen sind. Riemann, der ein Schüler von Gauß war, schrieb in seiner achtseitigen Arbeit eine funktionentheoretische Interpretation und Auswertung des Euler-Produkts, die einen Zusammenhang zwischen Primzahlen und den nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion schaffte. Damit war ihm ein völlig neuer Zugang zum Primzahlrätsel gelungen. Er etablierte das griechische   (Zeta) als Funktionssymbol und formulierte außerdem seine bis heute unbewiesene berühmte Riemannsche Vermutung, die eine wichtige Aussage über die genaue Lage der Nullstellen der Zeta-Funktion macht. Zudem beschäftigte sich Riemann auch mit der numerischen Berechnung der Zeta-Funktion und fand sogar die ziemlich genaue Lage einiger nicht-trivialer Nullstellen in der komplexen Ebene, ohne dafür eine Rechenmaschine zu benutzen. Die dafür verwendete Formel wurde später von dem deutschen Mathematiker Carl Ludwig Siegel bei der Auswertung seiner Dokumente wiederentdeckt und wird seit diesem Zeitpunkt Riemann-Siegel-Formel genannt.

Da viele von Riemanns Aufzeichnungen nach seinem Ableben von seiner Haushälterin verbrannt wurden, kann bis heute nur spekuliert werden, wie weit seine Untersuchungen tatsächlich gingen.[10] Insbesondere fanden sich in seinen Aufzeichnungen wenig Hinweise darauf, wie er gewisse Kurvenintegrale berechnet hatte. Da Riemann eine gute Intuition für funktionentheoretische Umformungen hatte, geht man davon aus, dass er manche Auswertungen schlicht für zu trivial hielt, um sie detailliert zu erklären. Das hatte zur Folge, dass manche von Riemanns Herleitungen noch Jahre nach ihrer Veröffentlichung nur als Vermutung akzeptiert werden konnten. Heutzutage gilt die berühmte Riemannsche Vermutung als die letzte noch unbewiesene Aussage aus Riemanns Arbeit über die Zeta-Funktion.

Anfang des 20. JahrhundertsBearbeiten

 
Srinivasa Ramanujan

Im Jahre 1910 veröffentlichte der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan im Journal of the Indian Mathematical Society einen Artikel, in dem unter anderem die folgende Gleichung behauptet wurde:

 

Die meisten Mathematiker, die diese Gleichung zu Gesicht bekamen, hatten sie als offensichtlichen Schwachsinn gewertet. So kam es, dass Professor Hill vom University College in London schrieb:

„Mr. Ramanujan ist ein Opfer der Fallstricke des sehr schwierigen Gebietes der divergenten Reihen geworden.“

Hill verhielt sich jedoch nicht völlig ablehnend und ermutigte Ramanujan, es weiter zu versuchen. Und so schickte dieser seine Ergebnisse direkt an einige Mathematiker in Cambridge. Zwei davon waren nicht in der Lage, die Aussagen hinter Ramanujans verschlüsselten Formeln zu erkennen und lehnten die Bitte um Unterstützung ab. Als Ramanujan jedoch schließlich auch Godfrey Harold Hardy brieflich auf seine Theorie aufmerksam machte, wurde diesem in der Gleichung die korrekte Auswertung des Werts   bewusst, auch wenn sie bezüglich ihrer mathematischen Formalität natürlich inkorrekt war. Auch andere Aussagen erweckten letztendlich die Neugier Hardys. Ramanujan behauptete nämlich in seinem Brief auch, eine Formel gefunden zu haben, mit der sich die Anzahl der Primzahlen bis 100.000.000 praktisch fehlerfrei, manchmal mit Abweichungen von 1 bis 2, bestimmen ließe. Natürlich waren Hardy und dessen Kollegen John Edensor Littlewood die Arbeiten von Riemann bezüglich der Zeta-Funktion und den Primzahlen bereits bekannt. Jedoch mussten sie frustriert feststellen, dass Ramanujan auf die genaue Angabe seiner Formel in seinem Brief verzichtet hatte. Erst in einem zweiten Brief stellte sich heraus, dass Ramanujan (völlig autodidaktisch) die Herleitung von Riemanns Verbesserung der Gaußschen Formel zur Schätzung der Primzahlfunktion unter einer gegebenen Größe gelungen war. Dennoch gab Ramanujan keine Beweise für seine entwickelten Theorien an. Littlewood äußerte dazu:

„Dieser Brief konnte einen rasend machen.“

Hardy war sich sicher, dass Ramanujan, trotz seiner fremden Art, Mathematik zu betreiben, ein Genie sein müsse. Die anfänglich ausschließlich schriftliche Korrespondenz gipfelte schließlich in einem Aufenthalt Ramanujans in England, wo sich das Duo aus Ramanujan und Hardy zu einer der produktivsten und außergewöhnlichsten mathematischen Korrespondenzen der Geschichte entwickelte.[12]

DefinitionBearbeiten

 
Die Dirichlet-Reihe ist nur auf der um 1 verschobenen rechten Halbebene definiert. Der für sie undefinierte Bereich, in dem die Reihe divergiert, ist grau dargestellt. Das untere Bild zeigt die analytisch fortgesetzte Zeta-Funktion.
 
Im Vergleich: die analytische Fortsetzung. Ihre Werte stimmen innerhalb der um 1 verschobenen rechten Halbebene exakt mit denen der Dirichlet-Reihe überein. Jedoch besitzt sie generell Werte für alle   mit  .

Die Zeta-Funktion wird in der Literatur generell über ihre Darstellung als Dirichlet-Reihe definiert.

Für komplexe Zahlen  , deren Realteil größer als 1 ist, ist die Zeta-Funktion definiert durch die Dirichlet-Reihe

 

Wie man leicht über das Integralkriterium für unendliche Reihen beweist, ist diese Reihe im angegebenen Bereich absolut konvergent. Zudem ist die Konvergenz auf kompakten Teilmengen gleichmäßig, weshalb nach dem Satz von Weierstraß die dargestellte Funktion holomorph ist. Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe ist diese Darstellung für alle komplexen Zahlen mit Realteil kleiner oder gleich 1 jedoch ungültig. In besonderem Maße wird dies für negative Argumente ersichtlich, wenn man zum Beispiel versuchte, die  -Funktion für   über die Dirichlet-Reihe auszuwerten. Man hätte dann

 

und diese Reihe hat offensichtlich keinen endlichen Grenzwert.

Dennoch wird die Dirichlet-Reihe aufgrund ihrer Einfachheit und ihrer zahlentheoretischen Relevanz (siehe Euler-Produkt) als Basisdefinition verwendet. Mittels analytischer Fortsetzung wird eine sinnvolle Berechnung für alle komplexen Zahlen   mit   möglich. Damit kann schließlich auch scheinbar unendlich großen Werten wie   ein Sinn gegeben werden, es gilt zum Beispiel  .

Euler-ProduktBearbeiten

Eine wesentliche Eigenschaft der Zeta-Funktion ist ihre Verbindung zu den Primzahlen. Euler, der als Erster diesen Zusammenhang entdeckte, betrachtete dafür das später nach ihm benannte Euler-Produkt, das für alle   mit   gültig ist:

 

Hierbei stellt jeder einzelne Faktor des Produktes eine geometrische Reihe   gebildet über den Wert   dar, während sich das ganze Produkt über alle Primzahlen   erstreckt. Das Euler-Produkt ist so erstaunlich, weil Primzahlen aufgrund ihrer chaotischen Verteilung sehr schwer in analytischen Ausdrücken unterzubringen sind. Es stellt aber eine überraschend einfache Identität zwischen den „chaotischen Primzahlen“ und einer wohlgeordneten Reihe dar.

Das Euler-Produkt konvergiert im betrachteten Bereich   unbedingt. Da kein Faktor dort den Wert 0 annimmt, ist eine direkte Konsequenz, dass die Zeta-Funktion in diesem Bereich keine Nullstellen besitzt. Mittels des Identitätssatzes für Dirichlet-Reihen lässt sich zeigen, dass das Euler-Produkt und der Fundamentalsatz der Arithmetik zueinander äquivalent sind. Daher wird es zuweilen auch als dessen analytische Version bezeichnet.

Zum Beweis betrachtet man für eine Schranke   zunächst

 

Da jeder Faktor eine geometrische Reihe ist, gilt

 

für alle Primzahlen  . Dann gilt aber auch

 

wobei der Strich an der zweiten Summe anzeigt, dass nur über alle   summiert wird, deren Primteiler sämtlich   sind. Daraus folgt mit  

 

und mit   und   folgt die Behauptung.

Analytische FortsetzungBearbeiten

Eine analytische Fortsetzung der im Gebiet   durch die Reihe   definierten holomorphen Funktion ist eine auf einem größeren Gebiet   holomorphe Funktion, die auf ganz   mit dieser übereinstimmt. Nach dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen ist eine solche Fortsetzung stets eindeutig bestimmt.

Obwohl es für den ganz allgemeinen Fall kein konstruktives Verfahren gibt, analytische Fortsetzungen anzugeben, ist es durch die Einfachheit der Dirichlet-Reihe   nicht schwierig, eine solche zu finden. Besonders einfach erweist sich dies für die gelochte Halbebene   mittels folgender Beobachtung:[13]

 

Die Reihe zur Rechten konvergiert nachweislich in besagter erweiterten Halbebene gegen eine holomorphe Funktion und wird in der Literatur auch manchmal als Dirichletsche Eta-Funktion   bezeichnet. Für eine weitere holomorphe Ausdehnung des Definitionsbereiches eignen sich nun viele Methoden, die jedoch nach dem Identitätssatz alle dieselbe Funktion darstellen. Eine davon bietet die Anwendung der Eulerschen Reihentransformation auf die obere alternierende Reihe. Man erhält damit eine 1930 von Konrad Knopp veröffentlichte und auf ganz   definierte Reihenidentität

 

Diese wurde von Helmut Hasse bewiesen. Es ist zu beachten, dass die anderen Singularitäten   mit   sämtlich hebbar sind.

FunktionalgleichungBearbeiten

Im Folgenden bezeichnet   die Gammafunktion, die die Fakultät auf komplexe Zahlen verallgemeinert. Auf ganz   gilt als Identität zwischen meromorphen Funktionen[14]

 

Aus dieser geht durch einfache Umformung die alternative Darstellung

 

für alle   hervor. Oft wird auch die symmetrische Variante der Funktionalgleichung, nämlich

 

in der Literatur zitiert. Man beachte die Invarianz, die unter der Variablentransformation   entsteht.[15][16][17] Aus der symmetrischen Variante können die oberen Gleichungen mittels der Legendreschen Duplikationsformel und des Eulerschen Ergänzungssatzes einfach hergeleitet werden.

Die Erfüllung einer Funktionalgleichung obigen Typs ist charakteristisch für L-Funktionen (spezielle Dirichlet-Reihen unter anderem mit analytischer Fortsetzung). Diese stehen wegen ihres Transformationsverhaltens oft in Beziehung mit Modulformen. Beispielsweise korrespondiert die Zeta-Funktion zur Jacobischen Theta-Funktion, einer Modulform halbganzen Gewichts. Aus dieser Beziehung geht, startet man mit dem Transformationsverhalten der Theta-Funktion, die Funktionalgleichung hervor.

Die Funktionalgleichung schafft einen Zusammenhang zwischen bedeutenden mathematischen Funktionen und zieht wichtige Resultate bezüglich Nullstellen- und Wachstumsverhalten der Zeta-Funktion nach sich. Sehr vielen Schlussfolgerungen ist dabei folgendes Prinzip gemein: Durch das (wegen absoluter Konvergenz der Dirichlet-Reihe) einfache Verhalten der Zeta-Funktion in der Halbebene   wird automatisch eine Trivialisierung der mittels   gespiegelten Halbebene   erreicht.

 
Die Riemannsche  -Funktion in der komplexen Zahlenebene

In seiner Arbeit definierte Riemann ursprünglich für   die Funktion[18]

 

In der heutigen Konvention ist es allerdings üblicher, statt   die Variable   zu verwenden; man setzt dann  . In dieser neuen Notation gilt dann die Reflexion

 

Beide Interpretationen werden heutzutage als Riemannsche Xi-Funktion bezeichnet.[19]

Charakterisierung durch HamburgerBearbeiten

Im Jahre 1921 gelang es Hans Hamburger, die Riemannsche Zeta-Funktion anhand ihrer Funktionalgleichung wie folgt zu charakterisieren.

Es sei  , wobei   eine ganze Funktion endlicher Ordnung und   ein Polynom ist, für   durch die Dirichlet-Reihe   darstellbar. Ferner gelte die Funktionalgleichung

 

wobei   ebenfalls auf der Halbebene   als Dirichlet-Reihe   darstellbar sei. Dann folgt bereits die Identität  .[20]

Ableitung, Laurent-Reihe und kanonische AbbildungseigenschaftenBearbeiten

Die  -Funktion ist eine in ganz   holomorphe Funktion, das bedeutet, dass sie an allen Stellen außer   komplex differenzierbar ist.

Ihre  -te Ableitung besitzt für Argumente   mit Realteil größer als 1 die Darstellung

 

An der Stelle   besitzt sie wegen der Divergenz der harmonischen Reihe einen Pol erster Ordnung mit Residuum 1, das heißt, es gilt:

 

Also ist sie eine in ganz   meromorphe Funktion. Insbesondere kann sie um   in eine Laurent-Reihe mit Konvergenzradius   entwickelt werden, diese hat die Form

 

Bei den Koeffizienten

 

handelt es sich um die Stieltjes-Konstanten, wobei   die Euler-Mascheroni-Konstante ist,[21] für die sich daraus insbesondere der Ausdruck

 

ergibt.

Da  , folgt bereits  . Eine Eigenschaft analytischer Funktionen ist, unter diesen Voraussetzungen ein Spiegelungsgesetz unter der komplexen Konjugation zu erfüllen: Wir haben  . Dies hat wichtige Konsequenzen für die Nullstellenverteilung, da die Nullstellen an der reellen Achse gespiegelt werden und damit paarweise auftreten.

Für unbegrenzt größer werdende Realteile hat die Zeta-Funktion ein leicht zu bestimmendes asymptotisches Verhalten, es gilt

 

Dies folgt unmittelbar aus der gleichmäßigen Konvergenz der Dirichlet-Reihe in den Bereichen   und Vertauschen von Limes und Summation. Vergleiche hierzu auch den komplexen Graphen der Zeta-Funktion zu Beginn des Artikels, der in Richtung der positiven reellen Achse zunehmend konstant rot gefärbt ist.

Eigenschaften der Dirichlet-ReiheBearbeiten

Die Dirichlet-Reihen einiger elementarer und wichtiger (sehr häufig multiplikativer) zahlentheoretischer Funktionen können über die Riemannsche Zeta-Funktion ausgedrückt werden. Von großer Bedeutung ist dabei zum Beispiel die Beobachtung, dass das multiplikative Inverse der Zeta-Funktion wieder durch eine Dirichlet-Reihe dargestellt werden kann. Es gilt die Formel

 

wobei   hier die Möbiusfunktion bezeichnet. Die Reihe zur Rechten konvergiert (wegen   für alle  ) absolut auf der Halbebene  , und, falls die Riemannsche Vermutung richtig ist, sogar (bedingt) auf der Halbebene   (was man schnell mittels partieller Summation sieht). Zur informellen Erklärung der Dirichlet-Reihen-Identität betrachtet man

 

also einfach den Kehrwert des Euler-Produkts, und bildet durch konsequentes Ausmultiplizieren die dazugehörige Dirichlet-Reihe.

Über die Faltungsformel   mit   (diese definiert einen Homomorphismus vom Ring   der zahlentheoretischen Funktionen in den Ring der (formalen) Dirichlet-Reihen  ) ergeben sich weitere Identitäten. Für die Zahlentheorie sehr wichtig sind dabei zum Beispiel Formeln wie

 

mit der Teilerfunktion   oder auch

 

mit der Eulerschen Phi-Funktion. Es existiert darüber hinaus eine ganze Galaxie weiterer Identitäten. So geht zum Beispiel die verblüffende Formel

 

auf Ramanujan zurück.[22] Diese Identitäten zeugen von einer engen Verbindung zwischen interessanten zahlentheoretischen Funktionen auf der einen Seite und einer mit guten analytischen Eigenschaften (wie Meromorphie usw.) ausgestatteten Funktion auf der anderen Seite. Mittels Methoden der analytischen Zahlentheorie können damit oft frappierende Verhaltensmuster dieser zahlentheoretischen Funktionen bewiesen werden.

Mellin-Transformation – die Verbindung zur Gamma-FunktionBearbeiten

Die nach der Definition als Dirichlet-Reihe und dem Euler-Produkt wohl elementarste und wichtigste Darstellung der Zeta-Funktion ist die sogenannte Mellin-Transformation. Dabei wird die Zeta-Funktion über ein unendliches Integral ausgedrückt.

Grundlage dieser Darstellung ist das eulersche Integral für die Gamma-Funktion

 

aus dem nach der Substitution   mit   und Division durch   nach beidseitigem Summieren der Ausdruck

 

hervorgeht.[23] Das Vertauschen von Summe und Integral kann mit absoluter Konvergenz und dem Satz von Lebesgue begründet werden. Diese Darstellung von   gilt naturgemäß nur auf der Halbebene  . Zu beachten ist jedoch, dass der Integrand neben der Kernfunktion   eine um   analytische Funktion ist:

 

Diese Tatsache schafft eine enge Beziehung zwischen Zeta-Funktion und den Bernoulli-Zahlen  . Durch sukzessives Abspalten der Taylor-Polynome von   im Integrationsintervall von 0 bis 1 kann die Zeta-Funktion auf ganz   fortgesetzt werden:

 [21]

Dabei wird ausgenutzt, dass   eine ganze Funktion ist. Wertet man die hebbaren Singularitäten (durch Limesbildung) and den Stellen   aus, offenbart sich der enge Zusammenhang zwischen   und den Bernoulli-Zahlen.

Eng verwandt zur obigen Transformation ist eine Kurvenintegraldarstellung. Diese wurde von Riemann selbst verwendet, um die Zeta-Funktion in die komplexe Ebene fortzusetzen. Indem er den Integrationsweg des Mellin-Integrals aus dem oberen Abschnitt modifizierte, konnte Riemann für alle  

 

herleiten, wobei „der Integrationsweg   von   nach   verläuft und den Ursprung einmal umläuft“. Gemeint ist damit ein Weg, der von   knapp über der reellen Achse parallel zu dieser Richtung Ursprung verläuft, diesen entgegen der Uhrzeigerrichtung umkreist, und anschließend unterhalb der reellen Achse wieder zu   strebt.

Über eine inverse Mellin-Transformation lässt sich obiger Integrand aus der Zeta-Funktion zurückgewinnen. Es gilt für jede reelle Zahl   und alle  

 

Der tiefe Zusammenhang zwischen der Zeta-Funktion und der Fakultät wurde bereits von Euler beobachtet, jedoch nicht mathematisch rigoros ausgearbeitet.

Spezielle FunktionswerteBearbeiten

Funktionswerte für gerade natürliche ZahlenBearbeiten

Die Funktionswerte der Riemannschen Zeta-Funktion für positive gerade Zahlen haben eine enge Beziehung zur Kreiszahl  . Für eine positive ganze Zahl   ist

 

wobei   die  -te Bernoulli-Zahl bezeichnet.[24] Diese Formel wurde zuerst von Leonhard Euler entdeckt. Somit ist   für   ein rationales Vielfaches von   Daraus folgt sofort mit dem Satz von Lindemann-Weierstraß, dass jeder Wert   für natürliche Zahlen   irrational und sogar transzendent ist.[25]

Euler wurde bei seinen Überlegungen durch die Taylor-Reihe des Kardinalsinus inspiriert. Über Vergleich der Koeffizienten auf beiden Seiten, wobei auf der rechten Seite zunächst ausmultipliziert,

 

folgerte er beispielsweise

 

Ein alternativer und direkterer Zugang zu den Werten an geraden Stellen liefert die Kotangensfunktion. Aus deren unendlicher Partialbruchzerlegung ergibt sich einerseits die Potenzreihe[26]

 

andererseits folgt über den komplexen Sinus und Kosinus

 

Durch Koeffizientenvergleich beider Potenzreihen ergibt sich Eulers Formel.

Daneben gibt es auch die bemerkenswerte Rekursionsformel

 

für natürliche Zahlen  , die Euler noch nicht bekannt war.[27]

Funktionswerte für ungerade natürliche ZahlenBearbeiten

Über den Wert der Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen ist nur sehr wenig bekannt. Das hat den Grund, dass alle bekannten Verfahren zur expliziten Bestimmung von Werten   mit   eigentlich den Wert der unendlichen Reihe

 

ermitteln, die für gerade Werte   den Wert   hat, für ungerade   aber durch Herauskürzen der Summanden trivialerweise 0 ist, womit die wesentlichen Informationen verloren gehen. Dennoch weiß man zum Beispiel, dass die Apéry-Konstante   irrational ist, was 1979 von dem französischen Mathematiker Roger Apéry bewiesen wurde.[28] Sein Beweis fand in Mathematikerkreisen große Beachtung – z. B. zitierte Carl Ludwig Siegel:

„Man kann den Beweis nur wie einen Kristall vor sich hertragen“

mündlich durch Wilhelm Maak überliefert

Apéry-ReihenBearbeiten

Im Wesentlichen verwendete Apéry die rasch konvergente Reihe

 

mit rationalen Gliedern. Es gilt hingegen auch

 

Reihen dieser Art werden auch als Apéry-Reihen bezeichnet.[29] In dem Wunsche, Apérys Beweismethode gegebenenfalls auch auf andere Zeta-Werte anwenden zu können, sind diese bis heute Gegenstand intensiver Forschung. Beiträge lieferten unter anderem Ablinger, Bailey, Borwein, Sun und Zucker.[30][31][32][33] Beim Versuch einer Verallgemeinerung stößt man natürlicherweise auf Verbindungen zu allgemeinen harmonischen Summen   und multiplen Polylogarithmen. Doch trotz verblüffender Formeln wie zum Beispiel[34]

 

steht der Durchbruch bis heute aus.

Lineare Unabhängigkeit über  Bearbeiten

Es ist immerhin bekannt, dass unendlich viele Werte   irrational sind. Genauer lässt sich sagen, dass es zu jedem   ein   gibt, sodass für alle   die Ungleichung

 

gilt.[35] Aus dieser Ungleichung geht hervor, dass unendlich viele Werte der Menge   linear unabhängig über dem Körper   sind. Das bedeutet aber zwangsläufig, dass die betroffenen Werte alle irrationale Zahlen sein müssen. Wadim Zudilin konnte sogar zeigen, dass mindestens einer der Werte  ,  ,   und   irrational sein muss.[36]

Perioden zu EisensteinreihenBearbeiten

Ramanujan gab die für ganze   und reelle Zahlen   mit   gültige Identität[37]

 

an. Das hintere Polynom in   und   mit rationalen Koeffizienten wird auch Ramanujan-Polynom genannt. Dies impliziert gewissermaßen eine engere Verwandtschaft zwischen den Werten   und  . Durch Einsetzen spezieller Werte findet sich daraus eine reiche Fülle erstaunlicher expliziter Formeln. Setzt man beispielsweise   und   ein, so entsteht die um 1900 von Matyáš Lerch angegebene Reihe[38]

 

und allgemeiner eine Darstellung, die Zeta-Werte gerader Argumente mit einschließt:[39]

 

Ramanujans Formel lässt sich zum Beispiel durch Anwendung des Residuensatzes auf die Funktion   zeigen. Sie findet jedoch ihren tieferen Ursprung in der Tatsache, dass die auf der oberen Halbebene definierten Funktionen

 

gerade die Eichler-Integrale zu Eisensteinreihen von Gewicht   zur vollen Modulgruppe sind.[40] Insbesondere haben sie das von Ramanujan beschriebene Transformationsverhalten (wenn man zum Beispiel   mit   setzt, wird der Bezug zur modularen Sprache deutlicher) und die Koeffizienten des Ramanujan-Polynoms sowie die Zeta-Werte an ungeraden Stellen treten als sog. Perioden der jeweiligen Eisensteinreihe auf. 2011 zeigten Ram, Murty, Smyth und Wang, dass es mindestens eine algebraische Zahl   mit   gibt, sodass

 

Gleichzeitig bewiesen sie aber, dass die Menge

 

höchstens eine algebraische Zahl enthält, wobei   den algebraischen Abschluss von   bezeichnet.[41] Es ist bis heute ungeklärt, ob einer der Werte   als rationales Vielfaches von   darstellbar ist. Viele Mathematiker halten dies jedoch für äußerst unwahrscheinlich. Nach einer Vermutung von Kohnen, die 1989 ebenfalls im Zusammenhang mit Perioden von Modulformen formuliert wurde, sind alle Quotienten   mit   transzendente Zahlen.[42]

Dezimalstellen der ersten ungeraden ZetawerteBearbeiten

Die Dezimalstellen einiger Werte   sind der folgenden Tabelle zu entnehmen.

2n + 1 ζ(2n + 1) OEIS Folge
3 1,2020569031595942853997381… Folge A002117 in OEIS
5 1,0369277551433699263313654… Folge A013663 in OEIS
7 1,0083492773819228268397975… Folge A013665 in OEIS
9 1,0020083928260822144178527… Folge A013667 in OEIS
11 1,0004941886041194645587022… Folge A013669 in OEIS
13 1,0001227133475784891467518… Folge A013671 in OEIS
15 1,0000305882363070204935517… Folge A013673 in OEIS
17 1,0000076371976378997622736… Folge A013675 in OEIS
19 1,0000019082127165539389256… Folge A013677 in OEIS

Funktionswerte für nichtpositive ganze ZahlenBearbeiten

Im Gegensatz zu den Zeta-Werten positiver ganzer Argumente, über die im Falle der ungeraden Werte bis heute nahezu nichts bekannt ist, sind die Funktionswerte für nichtpositive ganze Zahlen sämtlich bekannt. Man weiß zum Beispiel, dass sie alle rationale Zahlen sind. Sie hängen, wie die Zeta-Werte gerader positiver Zahlen, sehr eng mit den Bernoulli-Zahlen zusammen.

Aus der Funktionalgleichung und Eulers Formel für gerade Zeta-Werte gelangt man für eine natürliche Zahl   zu

 

Aus   für ungerade   sowie

 ,

was ebenfalls aus der Funktionalgleichung folgt, geht schließlich die für alle natürlichen Zahlen   gültige Darstellung

 

hervor.[43] Weitere Werte sind:

 

Für alle negativen ganzen Zahlen   erhält man für die Ableitung

 

Andere Werte sind:

 

wobei   hier die Glaisher-Kinkelin-Konstante bezeichnet.

Funktionswerte für halbzahlige ArgumenteBearbeiten

Für die Funktionswerte für halbzahlige Argumente gilt:

    (Folge A059750 in OEIS),
    (Folge A078434 in OEIS).

Dieser Wert wird u. a. in der Physik bei der Berechnung der kritischen Temperatur für die Ausbildung eines sogenannten Bose-Einstein-Kondensats und in der Spinwellen-Theorie bei magnetischen Systemen benötigt.

 
 

Ramanujan gab in seinem Tagebuch folgende Reihenidentität an, die den Wert   beinhaltet. Für positive reelle Zahlen   mit   gilt

 [44]

Diese wurde von einigen Mathematikern aufgegriffen und weiter verallgemeinert. So haben zum Beispiel Kanemitsu, Tanigawa und Yoshimoto ähnliche Identitäten gefunden, welche die Werte   für Dirichletsche L-Funktionen mit ungeraden   und geraden   beinhalten.[45] 2017 gab Franke[46] folgende Identität für halbzahlige Funktionswerte:

 

mit  ,  ,  ,   und  . Hierbei bezeichnet   die verallgemeinerte Teilerfunktion. Diese Identität ist Spezialfall eines sehr allgemeinen Frameworks, das Reihenidentitäten von Ramanujan für L-Funktionen wesentlich ausweitet.[47]

NullstellenBearbeiten

 
Die ersten „trivialen“ Nullstellen der  -Funktion
 
Blau ist der Realteil und rot der Imaginärteil der Funktion   dargestellt, sodass man klar die ersten nicht-trivialen Nullstellen erkennen kann

Triviale NullstellenBearbeiten

Aus der Darstellung als Euler-Produkt kann man leicht folgern, dass   für   gilt. Zusammen mit der Funktionalgleichung ergibt sich, dass die einzigen Nullstellen außerhalb des kritischen Streifens   die „trivialen“ Nullstellen   sind. Diese sind alle einfach, denn es gilt für alle  

 

Nicht-triviale NullstellenBearbeiten

Neben den trivialen Nullstellen besitzt die Zeta-Funktion weitere Nullstellen im kritischen Streifen  . Diese werden auch als nicht-triviale Nullstellen bezeichnet, da bis heute nur sehr wenig über die deren genaue Lage bekannt ist.

Existenz und asymptotische VerteilungBearbeiten

Aufgrund des Euler-Produktes und der Funktionalgleichung müssen alle nicht-trivialen Nullstellen innerhalb des abgeschlossenen kritischen Streifens   liegen, falls sie existieren. Dass es sogar unendlich viele nicht-triviale Nullstellen gibt, war bereits Riemann bewusst:

„Die Anzahl der Wurzeln von  , deren reeller Theil zwischen   und   liegt, ist etwa   denn das Integral   positiv um den Inbegriff der Werthe von   erstreckt, deren imaginärer Theil zwischen   und   und deren reeller Theil zwischen   und   liegt, ist (bis auf einen Bruchtheil von der Ordnung der Grösse  ) gleich  ; dieses Integral aber ist gleich der Anzahl der in diesem Gebiet liegenden Wurzeln von  .“

Riemann gab in seiner Arbeit also eine Formel zur asymptotischen Verteilung der nicht-trivialen Nullstellen erstmals an. Er behauptete, die Anzahl   (mit Vielfachheit gerechnet) der Nullstellen innerhalb des Rechtecks   erfülle die asymptotische Äquivalenz

 

Seinen Gedankengang begründete er (wie oben knapp beschrieben) über eine Auswertung des nullstellenzählenden Integrals

 

wobei   die (etwas anders skalierte) Riemannsche Xi-Funktion bezeichnet, die insbesondere dieselben Nullstellen im kritischen Streifen besitzt wie die Zeta-Funktion. Diese Aussage wurde jedoch erst über 50 Jahre nach Riemanns Veröffentlichung von Mangoldt rigoros bewiesen.[49] Beim Beweis macht man sich die Funktionalgleichung   zu nutze. Ein von Tenenbaum gegebener Standardbeweis nutzt das erweiterte Rechteck   und kommt zu

 

wobei wegen der ganzen Symmetrien von   auch über den Linienzug   integriert werden kann. Mittels der einfachen Formel für logarithmische Ableitungen,

 

und der Tatsache, dass Imaginärteile des Logarithmus über das Argument gegeben sind, folgt

 

Während die meisten Faktoren der  -Funktion in dieser Formel leicht auszuwerten sind und die Größenordnung   liefern, besteht der schwierigste Teil in der Schätzung

 

Der Fehler   konnte bis heute nicht verbessert werden. Von Littelwood stammt die Einsicht, dass die Imaginärteile der nicht-trivialen Nullstellen immer dichter zusammenrücken. Setzte man also   (wobei   die nach wachsenden, positiven Imaginärteilen aufsteigende Folge der nicht-trivialen Nullstellen bezeichnet), so gilt also  . Dies folgert man recht direkt aus

 
 
Neben den trivialen Nullstellen bei   besitzt die Riemannsche Zeta-Funktion auch nicht-triviale im kritischen Streifen. Potenzielle Nullstellenpaare sind hier sporadisch eingezeichnet: Aufgrund der Invarianz der Funktionalgleichung über   nach   und der Spiegelung von Funktionswerten komplex konjugierter Argumente an der reellen Achse treten die Nullstellenpaare jeweils doppelt (also gespiegelt) auf. Nur wenn die Riemannvermutung richtig ist, treffen sich alle horizontalen Paare auf der kritischen Geraden  .

SymmetrieeigenschaftenBearbeiten

Die Funktionalgleichung der Zeta-Funktion und ihre grundlegende Spiegelungseigenschaft bezüglich konjugierter Argumente implizieren ein paarweises Auftreten der nicht-trivialen Nullstellen. Ist z. B.   eine Nullstelle im kritischen Streifen, so ist aufgrund der Funktionalgleichung

 

auch   Nullstelle. Zusätzlich aber ist  , weshalb auch   Nullstelle ist; analog aber auch   Zu bemerken ist, dass alle Werte   und   im kritischen Streifen liegen, dort zu einem Rechteck verbunden werden können und somit quasi ein Nullstellen-Doppelpaar bilden.

Ist jedoch die Riemannsche Vermutung richtig, so liegen alle Nullstellen auf der Geraden  , wobei dann stets   bzw.   gilt.

OrdnungenBearbeiten

Über die Ordnung der nicht-trivialen Nullstellen ist bis heute wenig bekannt. Es wird angenommen, dass alle Nullstellen der Zeta-Funktion die Ordnung 1 haben. Diese Vermutung wird von numerischen Untersuchungen unterstützt: Bisher waren alle gefundenen Nullstellen von erster Ordnung.

J. B. Conrey, A. Ghosh und S. M. Gonek fanden jedoch Aussagen unter der Annahme der Riemannschen Vermutung und der verallgemeinerten Lindelöfschen Vermutung. Letztere besagt, dass für alle   und jeden Dirichlet-Charakter   modulo  , die zugehörige L-Funktion für   anwächst wie

 

Setzt man beides voraus, ergibt sich für die Anzahl der einfachen Nullstellen  :[50]

 

2013 konnten H. M. Bui und D. R. Heath-Brown zeigen, dass man dies im Wesentlichen auch ohne die Lindelöfsche Vermutung beweisen kann.[51] Des Weiteren gilt für Werte  

 

wobei über Nullstellen   summiert wird. Also liegt in jedem Intervall   der Imaginärteil einer einfachen Nullstelle.[52] Im Falle, dass alle Nullstellen einfach sein sollten, kommt den nicht-verschwindenden Werten   eine Bedeutung zu über die für nicht-natürliche   gültige Formel:

 

Dabei ist   die Möbiusfunktion. Diese kann jedoch nur unter zusätzlichen Annahmen an das Verhalten der Zeta-Funktion im kritischen Streifen gezeigt werden; dies bezieht sich auch darauf, über welchen Intervallen die partiellen Nullstellensummen zu erstrecken sind.[53]

Nullstellenfreie RegionenBearbeiten

Bereits Ende des 19. Jahrhunderts konnte mit Hilfe eines einfachen Widerspruchsbeweises gezeigt werden, dass die Zeta-Funktion keine Nullstellen auf der Geraden   besitzt. Grundlage dieses Beweises ist die von Mertens gezeigte, für alle   mit   gültige Ungleichung[54]

 

Diese nullstellenfreie Region konnte danach immer weiter vergrößert werden. So wurde gezeigt, dass eine Konstante   existiert, sodass   für keinen Wert   mit

 

eine Nullstelle besitzt.[55] Solche Verbesserungen führen (in verallgemeinerter Form für Dirichletsche L-Funktionen) unter anderem zum Satz von Siegel-Walfisz.[56]

Das bis heute schärfste nullstellenfreie Gebiet, mit großem technischem Aufwand gewonnen, ist für   gegeben durch[57]

 

Dieses führt beim Primzahlsatz zu einem verbesserten Fehler: Für eine Konstante   gilt[58][59]

 

Ein expliziter Wert für die Konstante in der Fehlerfunktion, nämlich  , wurde 2002 von Ford gegeben.[60] Insbesondere ist bis heute (Stand 2019) nicht einmal bekannt, ob es ein   gibt, sodass   gilt für alle   mit  .

Lage auf der kritischen GeradenBearbeiten

 
Godfrey Harold Hardy
 
Atle Selberg

Im Jahr 1914 konnte Godfrey Harold Hardy zeigen, dass unendlich viele nicht-triviale Nullstellen auf der kritischen Geraden   liegen. In seinem damals revolutionären Beweis machte er sich zunutze, dass für alle reellen Zahlenwerte   der Ausdruck

 

nur reelle Funktionswerte annimmt. Dies vereinfachte das Problem auf die zu klärende Existenz unendlich vieler Nullstellen einer reellwertigen Funktion. Der durch Widerspruch geführte Beweis zeigt auf, dass   für   unendlich oft sein Vorzeichen wechseln muss, was schon zeigt, dass   unendlich viele Nullstellen auf   besitzt.[61] 1921 verbesserte Hardy zusammen mit seinem Freund und Kollegen John Edensor Littlewood die Aussage auf das wesentlich stärkere Resultat, dass für hinreichend große Werte   die Anzahl der Nullstellen auf der kritischen Geraden im Segment   mindestens   beträgt, wobei   eine positive Konstante bezeichnet. Selberg verbesserte dieses Ergebnis 1942 auf  [62] und zeigte außerdem, dass ein positiver Anteil aller Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen.[63] Es gibt also eine Konstante  , sodass

 

Für diesen und andere Beiträge wurde er im Jahre 1950 mit der Fields-Medaille geehrt. Ab diesem Punkt wurde daran gearbeitet, möglichst hohe Werte für   zu finden. Anfang der 1970er Jahre konnte Levinson zeigen, dass mindestens ein Drittel ( ) der nicht-trivialen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen muss, wobei jedoch   als hinreichend groß vorausgesetzt wird.[64] 1989 verbesserte Conrey diesen Wert auf  , wobei er Techniken von Levinson verfeinerte.[65]

Die Riemannsche VermutungBearbeiten

Riemann vermutete im Jahr 1859, dass alle nicht-trivialen Nullstellen auf der parallel zur imaginären Achse verlaufenden Geraden   liegen. Diese sogenannte Riemannsche Vermutung konnte bislang weder bewiesen noch widerlegt werden.

Die Lage der Nullstellen im kritischen Streifen hängt eng mit Aussagen über die Verteilung der Primzahlen zusammen. Beispielsweise ist die Aussage, dass auf dem Rand des kritischen Streifens keine Nullstellen liegen, ein möglicher Zwischenschritt beim Beweis des Primzahlsatzes. Mit anderen Worten: Die Nullstellen kodieren die Abweichung der Primzahlfunktion   von der durch den Primzahlsatz gegebenen Größenordnung  . Deren (durch das nicht mehr konvergente Euler-Produkt) gewährleistete Existenz ist also als natürliche Barriere zu verstehen, die eine gewisse Unschärfe bei der Identifikation   als Tribut fordert. Doch obwohl man weiß, dass diese Unschärfe natürlicherweise existiert, ist ihre Intensität nicht geklärt und hängt mit der Verteilung der Nullstellen zusammen. Je näher sich Nullstellen an der Geraden   befinden, desto größer werden die Abweichungen sein. Haben wir   für alle   mit  , so folgt für alle  

 

Liegen jedoch alle Nullstellen auf der mittleren Geraden  , so ist diese Unschärfe kleinst möglich (man beachte, dass mit   auch   nicht-triviale Nullstelle ist). Dies hätte eine erstaunliche Glattheit bei der Verteilung der Primzahlen zur Folge, zum Beispiel gölte dann ganz explizit[66]

 

Hierbei ist zu beachten, dass   zwar beliebig groß wird, jedoch asymptotisch betrachtet deutlich kleiner als   ist!

Numerische BerechnungenBearbeiten

Bereits früh gab es Anstrengungen, die Riemannsche Vermutung und andere Phänomene durch explizite numerische Berechnungen zu überprüfen. Die Methoden wurden, insbesondere im Zeitalter von leistungsstarken Computern, explosionsartig besser. Bisher liegen alle gefundenen nicht-trivialen Nullstellen auf der Geraden  . Da es unendlich viele nicht-triviale Nullstellen gibt, können Algorithmen jedoch höchstens für die Suche eines Gegenbeispiels und nicht für einen Beweis der Riemannschen Vermutung herangezogen werden.

Jahr Anzahl der Nullstellen Autor
1859? 3 B. Riemann benutzte die Riemann-Siegel-Formel (unveröffentlicht, aber aufgezeichnet[67]).
1903 15 J. P. Gram benutzte die Euler–Maclaurin Summenformel und entdeckte das Gramsche Gesetz.[68] Er zeigte, dass alle 10 Nullstellen (mit Imaginärteil von maximal 50) auf der kritischen Linie mit Realteil 1/2 liegen, indem er die Summe der inversen zehnten Potenzen der gefundenen Wurzeln berechnete.
1914 79 (γn ≤ 200) R. J. Backlund verbesserte die bisherige Methodik, um festzustellen, dass alle bisher gefundenen Nullstellen auf der kritischen Geraden liegen.[69]
1925 138 (γn ≤ 300) J. I. Hutchinson deckte das Scheitern des Gramschen Gesetzes am Punkt g126 auf.[70]
1935 195 E. C. Titchmarsh machte sich die kürzlich wiederentdeckt Riemann–Siegel-Formel zu Nutze. Diese ist schneller als die Euler-Maclaurin Summenformel: Sie benötigt in etwa O(T3/2+ε) um Nullstellen mit Imiginärteil kleiner als T aufzuspüren, während letztere in etwa O(T2+ε) Schritte braucht.[71]
1936 1041 E. C. Titchmarsh und L. J. Comrie gelten als die Letzten, die Nullstellen per Hand berechneten.[72]
1953 1104 A. M. Turing fand einen effizienteren Weg, um zu überprüfen, ob bis zu einem gewissen Punkt alle gefundenen Nullstellen auch wirklich auf der Geraden liegen, indem er überprüfte, dass die Funktion Z(t) das richtige Vorzeichen an aufeinanderfolgenden Gramschen Punkten hat (und dass S(T) den Durchschnittswert 0 hat). Dies benötigte quasi keine neue Arbeit, da die Vorzeichen von Z(t) bereits an den Gramschen Punkten aus vergangenen Nullstellensuchen bekannt waren. Diese Methode wird bis heute benutzt. Erstmals kam ein Computer zum Einsatz.[73]
1956 15.000 D. H. Lehmer entdeckte ein paar Fälle, in welchen Nullstellen „gerade so“ auf der Geraden liegen: zwei Nullstellen liegen dabei so nahe beieinander, dass es ungewöhnlich schwer ist den Vorzeichenwechsel zu erkennen. Dies nennt man heute "Lehmersches Phänomen", und tritt das erste Mal bei den Nullstellen mit Imaginärteilen 7005.063 und 7005.101 auf, die sich lediglich um .04 unterscheiden, während in dieser Region ein durchschnittlicher Abstand von 1 erwartet wird.[74]
1956 25.000 D. H. Lehmer
1958 35.337 N. A. Meller
1966 250.000 R. S. Lehman
1968 3.500.000 Rosser, Yohe und Schoenfeld formulierten die Rossersche Regel.[75]
1977 40.000.000 R. P. Brent
1979 81.000.001 R. P. Brent
1982 200.000.001 R. P. Brent, J. van de Lune, H. J. J. te Riele, D. T. Winter
1983 300.000.001 J. van de Lune, H. J. J. te Riele
1986 500.000.001 van de Lune, te Riele und Winter gaben statistische Daten über die Nullstellen und verschiedene Graphen der Funktion Z(t) an Stellen mit ungewöhnlichem Verhalten.[76]
1987 Einige mit Höhe der Größenordnung (~1012) A. M. Odlyzko berechnete einige wenige Nullstellen mit Imaginärteilen um 1012 um Montgomery's pair correlation conjecture numerisch zu prüfen.[77]
1992 Einige mit Höhe der Größenordnung (~1020) A. M. Odlyzko berechnete ca. 175 Millionen Nullstellen mit Imaginärteilen um 1020 und diskutierte die Ergebnisse eingehend.[78]
1998 10.000 mit Höhe der Größenordnung (~1021) A. M. Odlyzko berechnete einige Nullstellen mit Imaginärteilen um 1021[79]
2001 10.000.000.000 J. van de Lune (unveröffentlicht)
2004 900.000.000.000 S. Wedeniwski (ZetaGrid Projekt)
2004 10.000.000.000.000 und ein paar weitere im Höhenbereich (bis zu ~1024) X. Gourdon and Patrick Demichel verwenden das Verfahren von Odlyzko und Schönhage. Sie überprüfen auch zwei Milliarden Nullstellen in den Bereichen 1013, 1014, ..., 1024.[80]

Numerische Werte der frühen NullstellenBearbeiten

Die Imaginärteile der „ersten“ Nullstellen sind beispielsweise[81]

±k ±Im(ρk) ±k ±Im(ρk)
1 14,134725141734693790… 11 52,970321477714460644…
2 21,022039638771554993… 12 56,446247697063394804…
3 25,010857580145688763… 13 59,347044002602353079…
4 30,424876125859513210… 14 60,831778524609809844…
5 32,935061587739189690… 15 65,112544048081606660…
6 37,586178158825671257… 16 67,079810529494173714…
7 40,918719012147495187… 17 69,546401711173979252…
8 43,327073280914999519… 18 72,067157674481907582…
9 48,005150881167159727… 19 75,704690699083933168…
10 49,773832477672302181… 20 77,144840068874805372…

Über die Eigenschaften dieser Imaginärteile (Irrationalität, Transzendenz, …) ist bis heute nichts bekannt.[82]

Hadamard-ProduktentwicklungBearbeiten

 
Jacques Salomon Hadamard

Neben dem Euler-Produkt gibt es eine weitere Produktdarstellung der Zeta-Funktion, die erstmals ihre Nullstellen in eine mögliche Definition direkt mit einschließt. Diese ist so bedeutend, weil sie der Schlüssel für den Zusammenhang zwischen Primzahlen und Nullstellen ist. Der entscheidende Schritt in Bernhard Riemanns Arbeit war nämlich der „Vergleich“ dieser beiden Produkte, was schließlich ein enges Verhältnis zwischen den Produktelementen (in diesem Falle Primzahlen und Nullstellen) impliziert. Wegen ihrer niedrigen Konvergenzgeschwindigkeit ist die Produktdarstellung jedoch in der Praxis nicht als Grundlage für einen numerischen Berechnungsalgorithmus für die Zeta-Funktion geeignet.

Über den Produktsatz von Weierstraß für holomorphe Funktionen ist es möglich, die Zeta-Funktion anhand ihrer Nullstellen über ein Produkt zu rekonstruieren:

 

Sowohl die linke Seite als auch   sind ganze Funktionen. Unter Zuhilfenahme der Produktentwicklung der Gammafunktion erhält man (mittels der Jensenschen Formel) das Hadamard-Produkt,[83] benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard, das global in   konvergiert:

 

Eine etwas einfachere (jedoch nur bedingt konvergente) Form des Hadamard-Produktes ist

 

Absolute Konvergenz ergibt sich, wenn man die Nullstellen „paarweise“ ordnet.   und   sind ein solches Paar. Also:

 

Weitere Eigenschaften im kritischen StreifenBearbeiten

 
Jede auf dem kritischen Streifen   definierte und in einem Gebiet   nullstellenfreie holomorphe Funktion wird beliebig genau approximiert
 
Die Zeta-Funktion verhält sich im kritischen Streifen sehr chaotisch. Hier ein Ausschnitt für
 
 

Universalitätssatz von WoroninBearbeiten

Nach dem Universalitätssatz von Woronin ist die Riemannsche  -Funktion imstande, jede beliebige (holomorphe) Funktion in einer nullstellenfreien Kreisscheibe mit Radius 1/4 beliebig genau zu approximieren.

Als anschaulichen Vergleich stelle man sich dafür vor, dass es für jede (holomorphe) Funktion eine Art „Landkarte“ gibt, die Höhen und Tiefen sowie Himmelsrichtung der Funktionswerte in der komplexen Ebene darstellt. Der Universalitätssatz besagt nun, dass man, wenn man die Landkarte der Zeta-Funktion in einem bestimmten unendlichen Bereich scannen würde, früher oder später auf Gebiete stieße, die Ausschnitten der Landkarten anderer Funktionen, also mitsamt allen darin eingetragenen „Bergen“ und „Tälern“, sehr ähneln – ja, sogar beliebig genau ähneln. Als einzige Voraussetzung gelte hierbei jedoch, dass auf dem Kartenausschnitt der fremden Funktion nie der Wert 0 eingetragen sei.

Formal ausgedrückt: Sei   eine kompakte Teilmenge des Streifens   mit zusammenhängendem Komplement.

Sei nun   eine stetige Funktion, die holomorph im Innern von   sei und für kein   verschwinde. Es existiert dann für jedes   ein  , sodass

 

für alle  . Zu beachten ist hierbei, dass es sich im Allgemeinen nur um eine Approximation handelt, also   gewährleistet werden muss. Hätte man   für eine Teilmenge   mit Häufungspunkt im Inneren von  , so folgte mit dem Identitätssatz für holomorphe Funktionen (wegen Eindeutigkeit der stetigen Fortsetzung) bereits   auf ganz  .

Es gilt sogar noch mehr: Die untere asymptotische Dichte aller  , die eine Approximation erfüllen, ist positiv, wie die Ungleichung

 

beweist. Hier ist   das Standard-Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen.[84] Für sehr kleine Kreisscheiben können sogar effektive Schranken angegeben werden, falls   bestimmte Voraussetzungen erfüllt. So existiert für alle in   analytischen   mit   und   eine Zahl  , sodass

 

Ein ähnliches Resultat findet sich auch für die untere asymptotische Dichte.[85] Es ist zu beachten, dass in dieser Version die modifizierte Funktion   universell ist.

Diese erstaunliche Eigenschaft zieht einige Konsequenzen nach sich. Zum Beispiel lässt sich zeigen, dass die Riemannsche Zeta-Funktion keiner algebraischen Differentialgleichung gehorcht. Genauer gesagt kann man zeigen: Sind   eine stetige Funktion,   Konstanten,   natürliche Zahlen mit  , sodass

 

so folgt bereits  .[86] Ist zudem   mit   beliebig gewählt, folgt, dass die Menge

 

stets dicht in   liegt.[87]

Approximate functional equationBearbeiten

Obwohl die Dirichlet-Reihe im kritischen Streifen nicht mehr konvergiert, können ihre Partialsummen zu einer guten Approximation der Zeta-Funktionen führen. Eine sehr einfache Formel dieses Typs, gültig für  , ist beispielsweise

 

Für feste Werte   wird der Fehler für hinreichend große Werte   klein. Jedoch ist   ein schwerer Nachteil für große Imaginärteile. Um dem entgegenzuwirken, sei nun   fest. Unter Zuhilfenahme der van der Corputschen Summenformel kann für   das Restglied weiter verbessert werden zu

 

indem der Summationsbereich an das Argument angepasst wird. Damit lässt sich die Zeta-Funktion in   durch die ersten   Glieder der Dirichlet-Reihe annähern. Im Bereich   folgt mittels der Funktionalgleichung die folgende Darstellung durch eine Dirichlet-Reihe:

 

Auch hier ist eine entsprechende Annäherung im kritischen Streifen zu erwarten und kombiniert man beide Ergebnisse, so ergibt sich mit   und  ,   die Formel

 

die auch Approximate functional equation genannt wird.[88] Diese wurde 1921 von Hardy und Littlewood entdeckt, jedoch war sie, wie sich später herausstellte, bereits Bernhard Riemann bekannt.[89] Sie ist ein mächtiges Werkzeug zur Untersuchung der Zeta-Funktion im kritischen Streifen. Unter anderem folgt über   relativ mühelos

 

Vertikales Wachstum und die Lindelöfsche VermutungBearbeiten

 
Ernst Lindelöf

Für alle reellen   ist die Größe

 

endlich. Sie ist ein Maß dafür, wie schnell die Riemannsche Zeta-Funktion entlang vertikaler Geraden anwächst. Für reelle Zahlen außerhalb des kritischen Streifens   lässt sich   sehr leicht berechnen. Für   gilt offensichtlich  : Da für alle Werte   mit   nach trivialer Abschätzung der Summe mittels absoluter Konvergenz   folgt, haben wir  . Über die Möbius-Funktion folgt andererseits die untere Schranke  , weshalb gleichzeitig   und damit   bewiesen ist. Tatsächlich lässt sich mit dem Euler-Produkt und Kroneckers Approximationssatz sogar die stärkere Aussage

 

beweisen.[90] Zusammen mit diesem einfachen Resultat folgt über die Stirlingsche Formel und die Funktionalgleichung der Zeta-Funktion ziemlich direkt   für alle  . Ebenfalls gesichert sind die Randwerte   sowie  .

Die genauen Werte von   für kritische Werte   sind bis heute mysteriös. Schuld daran ist, dass Größencharakterisierungen dieser Genauigkeit ohne absolute Konvergenz sehr schwierig und mitunter unmöglich sind. Es wird vermutet, dass die Zeta-Funktion in den vertikalen Bereichen zu   weiterhin langsam anwächst, also   gilt, jedoch nicht mehr zwangsläufig durch eine Konstante beschränkt ist. Dies ist äquivalent zu   für alle  . Diese Aussage wird auch als Lindelöfsche Vermutung (nach Ernst Leonard Lindelöf) bezeichnet und ist bis heute unbewiesen.

Nichtsdestotrotz kann man Abschätzungen für das Verhalten von   angeben. Über die Approximate functional equation folgert man beispielsweise

 

Man kann außerdem zeigen, dass   konvex ist und dass die folgende Abschätzung nach unten gilt:

 

Die Lindelöfsche Vermutung ist äquivalent dazu, dass in der letzten Ungleichung stets Gleichheit gilt. Wegen der Konvexität von   und der Funktionalgleichung der Zeta-Funktion ist dies bereits gleichbedeutend mit  .

Die zahlentheoretische Bedeutung der Lindelöfschen Vermutung wird durch einen Zusammenhang zu den Potenzmomenten der Zeta-Funktion entlang der kritischen Geraden ersichtlich. Definiert man

 

so ist sie äquivalent zu der Aussage   für alle Werte   Die Potenzmomente tauchen unter anderem bei Fehlerabschätzungen im Dirichletschen Teilerproblem und in der Statistik auf. Im Zusammenhang mit der Theorie der Zufallsmatrizen haben Keating und Snaith eine Vermutung über das genaue asymptotische Verhalten der Potenzmomente formuliert.

Zusammenhang mit der Riemannschen VermutungBearbeiten

Zwischen dem Wachstum einer analytischen Funktion und der Anzahl ihrer Nullstellen besteht wegen der Jensenschen Formel ein Zusammenhang. Tatsächlich gilt die Lindelöfsche Vermutung genau dann, wenn für alle   gilt:[91]

 

Ist die Riemannsche Vermutung richtig, so wäre der Nenner stets 0, womit die Lindelöfsche Vermutung direkt folgt. Jedoch kann aus der Gültigkeit der Lindelöfschen Vermutung nicht die der Riemannschen Vermutung gefolgert werden, da schon eine einzige nicht-triviale Nullstelle mit Realteil ungleich   genügt, um letztere zu widerlegen.

Studium über quantenphysikalische MethodenBearbeiten

Der Verlauf der Zeta-Funktion in der komplexen Ebene, besonders entlang parallel zur imaginären Achse verlaufender Streifen, wird wegen des Zusammenhangs mit der Primzahlverteilung und des davon unmittelbar betroffenen sogenannten Faktorisierungsproblems seit Kurzem auch gezielt mit physikalischen Methoden untersucht, und zwar mit Interferenzmethoden analog zur Holographie. Man teilt dazu die definierende Summe in zwei Teile mit positiver bzw. negativer Phase auf,   bzw.  , die man anschließend zur Interferenz bringt.[92]

Anwendung in der analytischen ZahlentheorieBearbeiten

Die Selberg-Delange-MethodeBearbeiten

Bei der Selberg-Delange-Methode handelt es sich um eine Technik, die mittlere Ordnung einer zahlentheoretischen Funktion zu bestimmen, solange ihre erzeugte Dirichlet-Reihe hinreichend gute Eigenschaften besitzt. Hierbei macht man sich komplexe Potenzen der Zeta-Funktion zunutze. Für   betrachtet man   und findet mit dem Euler-Produkt für alle  :

 

Seien   Ist nun   eine Dirichlet-Reihe mit Konvergenzhalbebene  , so sagen wir, diese gehöre zur Klasse  , falls die Dirichlet-Reihe

 

eine auf dem ganzen Gebiet   holomorphe Funktion darstellt und dort außerdem der Ungleichung

 

genügt. Existiert nun eine Folge   mit   und die Reihe   gehört zur Klasse  , so liegt   per Definition sogar in der Klasse