Hauptmenü öffnen

In der Funktionentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bilden die Thetafunktionen eine spezielle Klasse von Funktionen mehrerer komplexer Variablen. Systematisch untersucht wurden sie zuerst von Carl Gustav Jakob Jacobi.

Thetafunktionen spielen eine Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und der quadratischen Formen. Eingeführt wurden sie 1829 von Jacobi in seinem Buch Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. Jacobi verwendete für sie den griechischen Buchstaben und gab ihr den Namen Thetafunktion. Sie ist bei Jacobi die Grundlage seiner Behandlung elliptischer Funktionen, systematisch entwickelt in seinen Vorlesungen.[1] Die Bedeutung der Thetafunktion für die Theorie elliptischer Funktionen erkannte schon Carl Friedrich Gauß, veröffentlichte dies aber nicht. Die Thetafunktion selbst war in Spezialfällen schon Leonhard Euler und Johann I Bernoulli bekannt.[2] Weitere Beiträge zur Theorie der Thetafunktion stammten im 19. Jahrhundert insbesondere von Karl Weierstrass, Bernhard Riemann, Frobenius und Henri Poincaré.

Thetafunktionen tauchen zum Beispiel bei der Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf.

DefinitionBearbeiten

Klassische ThetafunktionBearbeiten

Die klassische jacobische Thetafunktion ist definiert durch

 

Die Reihe ist in   normal konvergent, dabei bedeutet   die obere Halbebene. Für festes   ist also   eine ganze Funktion, für festes   ist   eine auf   holomorphe Funktion.

Weitere ThetafunktionenBearbeiten

Neben der klassischen Thetafunktion findet man in der Literatur vor allem drei weitere Thetafunktionen, nämlich:

 
 
 

Die jacobische Thetafunktion wird in dieser Schreibweise als   bzw.   bezeichnet.

Etwas allgemeiner definiert man

 

Theta-NullwertBearbeiten

Unter dem Theta-Nullwert versteht man jeweils die Thetafunktion für den Wert  , also beispielsweise für die jacobische Thetafunktion die Reihe

 

EigenschaftenBearbeiten

NullstellenBearbeiten

Für festes   hat die Thetafunktion einfache Nullstellen an den Stellen

 .

TransformationsformelBearbeiten

Die Thetafunktion ist periodisch in beiden Variablen, es ist

 

Darüber hinaus gilt die wichtige Transformationsformel

 

Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf

 

Bei der Wurzel ist dabei jeweils der Hauptzweig zu nehmen.

ProduktdarstellungBearbeiten

Die Thetafunktion lässt sich mit Hilfe des jacobischen Tripelproduktes auch als unendliches Produkt darstellen, es gilt:

 

Speziell für den Theta-Nullwert reduziert sich dies auf

 

Aus dieser Darstellung folgt insbesondere, dass   keine Nullstellen in der oberen Halbebene   hat.

IntegraldarstellungBearbeiten

Die Thetafunktion besitzt eine Integraldarstellung:

 

DifferentialgleichungBearbeiten

Die Thetafunktion spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der Wärmeleitung, für reelle   und   ist sie eine Lösung der partiellen Differentialgleichung

 

wie man durch Einsetzen von

 

sieht. Dies entspricht einer Fourierentwicklung im Ortsraum mit Koeffizienten mit exponentiell abfallender Zeitabhängigkeit.

Jacobi-IdentitätBearbeiten

Die Theta-Nullwerte erfüllen die sogenannte Jacobi-Identität:

 

Zusammenhang mit der riemannschen ZetafunktionBearbeiten

Riemann benutzte in seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe die Transformationsformel der Thetafunktion für einen Beweis der Funktionalgleichung der Zetafunktion, es gilt nämlich:

 

Zusammenhang mit Modulformen und elliptischen FunktionenBearbeiten

Zusammenhang mit der dedekindschen Eta-FunktionBearbeiten

Die Thetafunktion hängt eng zusammen mit der dedekindschen Eta-Funktion, es gilt:

 

Die Thetafunktion als Modulform zu einer Untergruppe der ModulgruppeBearbeiten

Mittels der Thetafunktion lassen sich Modulformen definieren. Setzt man  , so gilt aufgrund des Transformationsverhaltens

 

Die Funktion   ist also eine Modulform vom Gewicht 4 zu der von den beiden Transformationen   und   erzeugten Untergruppe   der Modulgruppe  .

Quotienten von ThetafunktionenBearbeiten

Die Thetafunktion lässt sich zur Definition elliptischer Funktionen heranziehen. Setzt man etwa für festes  :

 ,

so ist   eine elliptische Funktion zum Gitter  .

Auf ähnliche Weise lässt sich auch die weierstraßsche ℘-Funktion konstruieren. Erfüllt nämlich eine holomorphe Funktion   die beiden Bedingungen   und   für ein festes  , so ist die zweite logarithmische Ableitung eine elliptische Funktion zum Gitter  . Beispielsweise gilt für die weierstraßsche ℘-Funktion:

 

mit einer passenden Konstanten  .

Zusammenhang mit zahlentheoretischen FunktionenBearbeiten

Mit Hilfe der Thetafunktion und deren Produktdarstellung lässt sich der Pentagonalzahlensatz beweisen.

Als weitere Anwendung erhält man eine Formel für die dritte Potenz des Euler-Produktes:

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Theorie der elliptischen Funktionen aus den Eigenschaften der Thetareihe abgeleitet, Vorlesungsausarbeitung von Karl Wilhelm Borchardt 1838. In: Jacobi: Werke, Band 1, 1881 (Herausgeber Borchardt, Karl Weierstrass), S. 497–538
  2. Carl Ludwig Siegel: Lectures on Complex Function Theory. Band 2. Wiley-Interscience, 1971, S. 163