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Komplexe Zahl

Zahl umfasst einen Realteil und einen Imaginärteil
Der Buchstabe C mit Doppelstrich
steht für die Menge der komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenbereich der reellen Zahlen derart, dass die Gleichung lösbar wird. Dies gelingt durch Einführung einer neuen imaginären Zahl mit der Eigenschaft . Diese Zahl wird als imaginäre Einheit bezeichnet. In der Elektrotechnik wird stattdessen der Buchstabe verwendet, um einer Verwechslung mit einer (durch oder bezeichneten) von der Zeit abhängigen Stromstärke vorzubeugen.

Komplexe Zahlen können in der Form dargestellt werden, wobei und reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit ist. Auf die so dargestellten komplexen Zahlen lassen sich die üblichen Rechenregeln für reelle Zahlen anwenden, wobei stets durch ersetzt werden kann und umgekehrt. Für die Menge der komplexen Zahlen wird das Symbol (Unicode U+2102: ℂ, siehe Buchstabe mit Doppelstrich) verwendet.

Der so konstruierte Zahlenbereich der komplexen Zahlen bildet einen Erweiterungskörper der reellen Zahlen und hat eine Reihe vorteilhafter Eigenschaften, die sich in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften als äußerst nützlich erwiesen haben. Einer der Gründe für diese positiven Eigenschaften ist die algebraische Abgeschlossenheit der komplexen Zahlen. Dies bedeutet, dass jede algebraische Gleichung positiven Grades über den komplexen Zahlen eine Lösung besitzt, was für reelle Zahlen nicht gilt. Diese Eigenschaft ist der Inhalt des Fundamentalsatzes der Algebra. Ein weiterer Grund ist ein Zusammenhang zwischen trigonometrischen Funktionen und der Exponentialfunktion (Eulerformel), der über die komplexen Zahlen hergestellt werden kann. Ferner ist jede auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbare Funktion dort auch beliebig oft differenzierbar – anders als in der Analysis der reellen Zahlen. Die Eigenschaften von Funktionen mit komplexen Argumenten sind Gegenstand der Funktionentheorie, auch komplexe Analysis genannt.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Die komplexen Zahlen lassen sich als Zahlbereich im Sinne einer Menge von Zahlen, für die die Grundrechenarten Addition, Multiplikation, Subtraktion und Division erklärt sind, mit den folgenden Eigenschaften definieren:

  • Die reellen Zahlen sind in den komplexen Zahlen enthalten. Das heißt, dass jede reelle Zahl eine komplexe Zahl ist.
  • Das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz gelten für die Addition und die Multiplikation komplexer Zahlen.
  • Das Distributivgesetz gilt.
  • Für jede komplexe Zahl   existiert eine komplexe Zahl  , sodass  .
  • Für jede von null verschiedene komplexe Zahl   existiert eine komplexe Zahl   , sodass  .
  • Es existiert eine komplexe Zahl   mit der Eigenschaft  .
  • Unter allen Zahlbereichen mit den zuvor genannten Eigenschaften sind die komplexen Zahlen minimal.

Die letzte Forderung ist gleichbedeutend damit, dass sich jede komplexe Zahl in der Form   (bzw. in verkürzter Notation   oder auch  ) mit reellen Zahlen   und   darstellen lässt. Die imaginäre Einheit   ist dabei keine reelle Zahl. Die Existenz eines solchen Zahlbereichs wird im Abschnitt zur Konstruktion der komplexen Zahlen nachgewiesen.

Unter Verwendung der Begriffe Körper und Isomorphie lässt sich das so formulieren: Es gibt minimale Körper, die den Körper der reellen Zahlen und ein Element   mit der Eigenschaft   enthalten. In einem solchen Körper hat jedes Element   eine und nur eine Darstellung als   mit reellen   Die komplexen Zahlen sind isomorph zu jedem solchen Körper.

Die Koeffizienten   werden als Real- bzw. Imaginärteil von   bezeichnet. Dafür haben sich zwei Notationen etabliert:

  •   und  
  •   und  

NotationBearbeiten

Die Notation in der Form   wird auch als (nach René Descartes benannte) kartesische oder algebraische Form bezeichnet. Die Bezeichnung kartesisch erklärt sich aus der Darstellung in der komplexen bzw. gaußschen Zahlenebene (siehe weiter unten). Es findet sich auch die Darstellung  ;[1] in der Norm DIN 1302:1999 Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe kommt sie allerdings nicht vor.

In der Elektrotechnik wird das kleine i schon für zeitlich veränderliche Ströme verwendet (siehe Wechselstrom) und kann zu Verwechslungen mit der imaginären Einheit i führen. Daher kann in diesem Bereich gemäß DIN 1302 der Buchstabe j verwendet werden.

In der Physik wird zwischen   für die Stromstärke bei Wechselstrom und   für die imaginäre Einheit unterschieden. Dies führt durch die recht klare Trennung beim aufmerksamen Leser nicht zu Verwechslungen und wird in dieser Form weitgehend sowohl in der physikalisch-experimentellen als auch in der physikalisch-theoretischen Literatur angewandt; handschriftlich ist diese Feinheit allerdings nicht zu halten. Siehe auch: Komplexe Wechselstromrechnung

Komplexe Zahlen können gemäß DIN 1304-1 und DIN 5483-3 unterstrichen dargestellt werden, um sie von reellen Zahlen zu unterscheiden.

Rechnen in der algebraischen FormBearbeiten

AdditionBearbeiten

 
Die Addition zweier komplexer Zahlen in der komplexen Ebene veranschaulicht

Für die Addition zweier komplexer Zahlen   mit   und   mit   gilt

 

SubtraktionBearbeiten

Für die Subtraktion zweier komplexer Zahlen   und   (siehe Addition) gilt

 

MultiplikationBearbeiten

Für die Multiplikation zweier komplexer Zahlen   und   (siehe Addition) gilt

 

DivisionBearbeiten

Für die Division der komplexen Zahl   durch die komplexe Zahl   (siehe Addition) mit   erweitert man den Bruch mit der zum Nenner   konjugiert komplexen Zahl  . Der Nenner wird dadurch reell (und ist gerade das Quadrat des Betrages von  ):

 

RechenbeispieleBearbeiten

Addition:

 

Subtraktion:

 

Multiplikation:

 

Division:

 

Weitere EigenschaftenBearbeiten

  • Der Körper   der komplexen Zahlen ist einerseits ein Oberkörper von  , andererseits ein zweidimensionaler  -Vektorraum. Der Isomorphismus   wird auch als natürliche Identifikation bezeichnet. In der Regel nutzt man dies auch, um   formell als   mit der entsprechenden komplexen Multiplikation zu definieren und dann   zu setzen, was die Frage klärt, welche der beiden Lösungen von   nun als   und welche als   zu bezeichnen ist.
  • Die Körpererweiterung   ist vom Grad  ; genauer ist   isomorph zum Faktorring  , wobei   das Minimalpolynom von   über   ist. Ferner bildet   bereits den algebraischen Abschluss von  .
  • Als  -Vektorraum besitzt   die Basis  . Daneben ist   wie jeder Körper auch ein Vektorraum über sich selbst, also ein eindimensionaler  -Vektorraum mit Basis  .
  •   und   sind genau die Lösungen der quadratischen Gleichung  . In diesem Sinne kann   (aber auch  ) als „Wurzel aus  “ aufgefasst werden.[2]
  •   ist im Gegensatz zu   kein geordneter Körper, d. h., es gibt keine mit der Körperstruktur verträgliche lineare Ordnungsrelation auf  . Von zwei unterschiedlichen komplexen Zahlen kann man daher nicht sinnvoll (bezogen auf die Addition und Multiplikation in  ) festlegen, welche von beiden die größere bzw. die kleinere Zahl ist.

Betrag und MetrikBearbeiten

BetragBearbeiten

Der Betrag   einer komplexen Zahl   ist die Länge ihres Vektors in der Gaußschen Zahlenebene und lässt sich z. B. zu

 

aus ihrem Realteil   und Imaginärteil   berechnen. Als eine Länge ist der Betrag reell und nicht negativ.

Beispiel:

 

MetrikBearbeiten

Die durch die Abstandsfunktion   induzierte Metrik versieht den komplexen Vektorraum   mit seiner Standardtopologie. Sie stimmt mit der Produkttopologie von   überein, wie die Einschränkung   von   auf   mit der Standardmetrik auf   übereinstimmt.

Beide Räume   wie   sind vollständig unter diesen Metriken. Auf beiden Räumen lässt sich der topologische Begriff der Stetigkeit zu analytischen Begriffen wie Differentiation und Integration erweitern.

Komplexe ZahlenebeneBearbeiten

 
Gaußsche Ebene mit einer komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten (a,b) und in Polarkoordinaten (r,φ)

Während sich die Menge   der reellen Zahlen durch Punkte auf einer Zahlengeraden veranschaulichen lässt, kann man die Menge   der komplexen Zahlen als Punkte in einer Ebene (komplexe Ebene, gaußsche Zahlenebene) darstellen. Dies entspricht der „doppelten Natur“ von   als zweidimensionalem reellem Vektorraum. Die Teilmenge der reellen Zahlen bildet darin die waagerechte Achse, die Teilmenge der rein imaginären Zahlen (d. h. mit Realteil 0) bildet die senkrechte Achse. Eine komplexe Zahl   mit   besitzt dann die horizontale Koordinate   und die vertikale Koordinate  , wird also mit dem Zahlenpaar   identifiziert.

Gemäß Definition entspricht die Addition komplexer Zahlen der Vektoraddition, wobei man die Punkte in der Zahlenebene mit ihren Ortsvektoren identifiziert. Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung, was nach Einführung der Polarform weiter unten klarer werden wird.

PolarformBearbeiten

 
Die Farbdarstellung der komplexen Zahlenebene wird häufig zur Veran­schaulichung komplexer Funktionen (hier: der Identität) angewendet. Die Farbe kodiert das Argument   und die Helligkeit gibt den Betrag   an.

Verwendet man anstelle der kartesischen Koordinaten   und   Polarkoordinaten   und   mit   als der Argument-Funktion, kann man die komplexe Zahl   auch in der folgenden, auf der eulerschen Relation beruhenden sogenannten Polarform

 

darstellen, die sich aus   und   ergibt. Die Darstellung mit Hilfe der komplexen e-Funktion   heißt dabei auch Exponentialdarstellung (der Polarform), die Darstellung mittels des Ausdrucks   trigonometrische Darstellung (der Polarform). Aufgrund der eulerschen Relation sind beide Darstellungen gleichwertig. Des Weiteren gibt es für sie, namentlich in der Praxis, die verkürzten Schreibweisen

 

in denen   für die Summe   steht und die Darstellung mit dem Winkeloperator   als Versordarstellung bezeichnet wird.

In der komplexen Zahlenebene entspricht dabei   der euklidischen Vektorlänge (d. h. dem Abstand zum Ursprung 0) und   dem mit der reellen Achse eingeschlossenen Winkel der Zahl  . Üblicherweise jedoch nennt man   hier den Betrag von   (oder auch sein Modul) (Schreibweise  ) und den Winkel   das Argument (oder auch die Phase) von   (Schreibweise  ).

Da   und   dabei derselben Zahl   zugeordnet werden können, ist die Polardarstellung zunächst nicht eindeutig. Deshalb schränkt man   meist auf das Intervall  , also   ein, um anschließend statt vom Argument selbst von seinem Hauptwert für   zu sprechen. Der Zahl   indes ließe sich jedes beliebige Argument zuordnen, und zum Zweck einer eindeutigen Darstellung kann man es in diesem Fall tatsächlich auf 0 festlegen.

Das Argument von   ist auch der Imaginärteil des komplexen natürlichen Logarithmus

 

Mit der Wahl eines auf ganz   definierten Zweiges des Logarithmus ist also auch eine Argumentfunktion bestimmt (und umgekehrt).

Alle Werte   bilden den Einheitskreis der komplexen Zahlen mit dem Betrag  , diese Zahlen werden auch unimodular genannt und bilden die Kreisgruppe.

Dass die Multiplikation von komplexen Zahlen (außer der Null) Drehstreckungen entspricht, lässt sich mathematisch wie folgt ausdrücken: Die multiplikative Gruppe   der komplexen Zahlen ohne die Null lässt sich als direktes Produkt der Gruppe der Drehungen, der Kreisgruppe, und der Streckungen um einen Faktor ungleich Null, der multiplikativen Gruppe   auffassen. Erstere Gruppe lässt sich durch das Argument   parametrisieren, zweitere entspricht gerade den Beträgen.

Komplexe KonjugationBearbeiten

 
Eine komplexe Zahl   und die zu ihr konjugiert komplexe Zahl  

Ändert man das Vorzeichen des Imaginärteils   einer komplexen Zahl   so erhält man die zu   konjugiert komplexe Zahl   (manchmal auch   geschrieben).

Die Konjugation   ist ein (involutorischer) Körperautomorphismus, da sie mit Addition und Multiplikation verträglich ist, d. h., für alle   gilt

 

In der Polardarstellung hat die konjugiert komplexe Zahl   bei unverändertem Betrag gerade den negativen Winkel von   Man kann die Konjugation in der komplexen Zahlenebene also als die Spiegelung an der reellen Achse interpretieren. Insbesondere werden unter der Konjugation genau die reellen Zahlen auf sich selbst abgebildet.

Das Produkt aus einer komplexen Zahl   und ihrer komplex Konjugierten   ergibt das Quadrat ihres Betrages:

 

Die komplexen Zahlen bilden damit ein triviales Beispiel einer C*-Algebra.

Die Summe aus einer komplexen Zahl   und ihrer komplex Konjugierten   ergibt das 2-fache ihres Realteils:

 

Die Differenz aus einer komplexen Zahl   und ihrer komplex Konjugierten   ergibt das 2i-fache ihres Imaginärteils:

 

UmrechnungsformelnBearbeiten

Von der algebraischen Form in die PolarformBearbeiten

Für   in algebraischer Form ist

 

Für   kann das Argument mit 0 definiert werden, bleibt aber meist undefiniert. Für   kann das Argument   im Intervall   mit Hilfe einer trigonometrische Umkehrfunktion, bspw. mit Hilfe des Arkuskosinus

 

ermittelt werden. Verfahren, die den Arkustangens verwenden, sind im Artikel Arkustangens und Arkuskotangens#Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in polare aufgeführt.

Dazu gehört auch die in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen zur Verfügung gestellte (häufig mit dem Namen atan2 bezeichnete) Variante der Arkustangensfunktion, die beide Werte übergeben bekommt und das Ergebnis je nach Vorzeichen von   und   dem passenden Quadranten zuordnet – aus historischen Gründen wird bei der atan2-Funktion der Imaginärteil   als erstes Argument übergeben.

Die Berechnung des Winkels   im Intervall   kann im Prinzip so durchgeführt werden, dass der Winkel zunächst wie vorstehend beschrieben im Intervall   berechnet wird und dann um   vergrößert wird, falls er negativ ist:

 

(siehe Polarkoordinaten).

Von der Polarform in die algebraische FormBearbeiten

 
 

Wie weiter oben stellt a den Realteil und b den Imaginärteil jener komplexen Zahl dar.

Arithmetische Operationen in der PolarformBearbeiten

Durch arithmetische Operationen sind folgende Operanden miteinander zu verknüpfen:

 
 

Bei der Multiplikation werden die Beträge   und   miteinander multipliziert und die zugehörigen Phasen   bzw.   addiert. Bei der Division wird der Betrag des Dividenden durch den Betrag des Divisors geteilt und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert. Für die Addition und die Subtraktion existiert auch eine, etwas kompliziertere, Formel:

Trigonometrische FormBearbeiten

 
Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Addieren der Winkel und dem Multiplizieren der Beträge.
  •  
 
Die Division von zwei komplexen Zahlen entspricht dem Subtrahieren der Winkel und dem Dividieren der Beträge.
  •  
  •   wobei
  und
  mit der atan2-Funktion gesetzt ist.

ExponentialformBearbeiten

  •  
  •  
  •   mit   und   wie oben.

Rechenoperationen 3. StufeBearbeiten

Zu den Rechenoperationen der dritten Stufe gehören Potenzieren, Wurzelziehen (Radizieren) und Logarithmieren.

PotenzenBearbeiten

Natürliche ExponentenBearbeiten

Für natürliche Zahlen   berechnet sich die  -te Potenz in der polaren Form   zu

 

(siehe den Satz von de Moivre) oder für die algebraische Form   mit Hilfe des binomischen Satzes zu

 

Beliebige komplexe ExponentenBearbeiten

Die allgemeine Definition einer Potenz mit komplexer Basis   und komplexem Exponenten   lautet

 

wobei   für den Hauptwert des komplexen Logarithmus steht (siehe unten), damit liefert die Formel ebenfalls einen Hauptwert. Im Fall   allerdings stimmen alle in Frage kommenden Ergebnisse mit diesem Hauptwert überein und die Funktion wird eindeutig.

WurzelnBearbeiten

LogarithmenBearbeiten

Der komplexe natürliche Logarithmus ist (anders als der reelle) nicht eindeutig. Eine komplexe Zahl   heißt Logarithmus der komplexen Zahl  , wenn

 

Mit   ist auch jede Zahl   mit beliebigem   ein Logarithmus von  . Man arbeitet daher mit Hauptwerten, d. h. Werten eines bestimmten Streifens der komplexen Ebene.

Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl

 

mit   und   ist

 

Anders formuliert: Der Hauptwert des natürlichen Logarithmus der komplexen Zahl z ist

 

wobei   der Hauptwert des Arguments von z ist.

Die endlichen UntergruppenBearbeiten

Alle Elemente einer endlichen Untergruppe der multiplikativen Einheitengruppe   sind Einheitswurzeln. Unter allen Ordnungen von Gruppenelementen gibt es eine maximale, etwa  . Da   kommutativ ist, erzeugt ein Element mit dieser maximalen Ordnung dann auch die Gruppe, so dass die Gruppe zyklisch ist und genau aus den Elementen

 

besteht. Alle Elemente liegen auf dem Einheitskreis.

Die Vereinigung aller endlichen Untergruppen ist eine Gruppe, die zur Torsionsgruppe   isomorph ist. Sie liegt dicht in ihrer Vervollständigung, der schon erwähnten Kreisgruppe, die auch als 1-Sphäre aufgefasst werden kann und zu   isomorph ist.

Pragmatische RechenregelnBearbeiten

Am einfachsten lassen sich die Berechnungen folgendermaßen durchführen:

  • Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden (in der algebraischen Form) komponentenweise durchgeführt.
  • Die Multiplikation komplexer Zahlen kann je nach Vorgabe vorteilhaft in algebraischer Form oder in Exponentialform (Multiplikation der Beträge und Addition der Argumente (Winkel)) durchgeführt werden.
  • Bei der Division komplexer Zahlen werden in Exponentialform ihre Beträge dividiert und ihre Argumente (Winkel) subtrahiert, oder in algebraischer Form der Quotient mit dem konjugierten Nenner erweitert.
  • Beim Potenzieren einer komplexen Zahl mit einem reellen Exponenten wird ihr Betrag potenziert und ihr Argument (Winkel) mit dem Exponenten multipliziert; die Benutzung der algebraischen Form (mit Newtons Binomialsatz) ist in den meisten Fällen umständlicher (insbesondere für höhere Potenzen).
  • Beim Radizieren (Wurzelziehen) einer komplexen Zahl mit einem reellen Exponenten wird ihr Betrag radiziert und ihr Argument (Winkel) durch den Exponenten dividiert. Hierdurch entsteht die erste Lösung. Bei einer  -ten Wurzel entstehen   Lösungen, die im Winkel von   um den Ursprung der gaußschen Ebene verteilt sind. Siehe Wurzel (Mathematik). Eine Quadratwurzel kann auch recht einfach in kartesischer Form berechnet werden.
  • Beim Multiplizieren in algebraischer Form lässt sich durch folgendes Verfahren eine der vier Multiplikation einsparen. Allerdings sind drei zusätzliche Additionen bzw. Subtraktionen notwendig und die Berechnung lässt sich schlechter parallelisieren.
 
 
 
 
 

Konstruktion der komplexen ZahlenBearbeiten

In diesem Abschnitt wird nachgewiesen, dass tatsächlich ein Körper   der komplexen Zahlen existiert, der den in der obigen Definition geforderten Eigenschaften genügt. Es sind dabei verschiedene Konstruktionen möglich, die jedoch bis auf Isomorphie zum selben Körper führen.

Paare reeller ZahlenBearbeiten

Die Konstruktion nimmt zunächst keinerlei Bezug auf die imaginäre Einheit  : Im 2-dimensionalen reellen Vektorraum   der geordneten reellen Zahlenpaare   wird neben der Addition

 

(das ist die gewöhnliche Vektoraddition) eine Multiplikation durch

 

definiert.

Nach dieser Festlegung schreibt man  , und   wird zu einem Körper, dem Körper der komplexen Zahlen.

Erste EigenschaftenBearbeiten

  • Die Abbildung   ist eine Körpereinbettung von   in  , aufgrund derer wir die reelle Zahl   mit der komplexen Zahl   identifizieren.

Bezüglich der Addition ist:

  • die Zahl   das neutrale Element (das Nullelement) in   und
  • die Zahl   das inverse Element in  .

Bezüglich der Multiplikation ist:

  • die Zahl   das neutrale Element (das Einselement) von   und
  • das Inverse (Reziproke) zu   ist  .

Bezug zur Darstellung in der Form a + biBearbeiten

Durch   wird die imaginäre Einheit festgelegt; für diese gilt  , was nach obiger Einbettung gleich   entspricht.

Jede komplexe Zahl   besitzt die eindeutige Darstellung der Form

 

mit  ; dies ist die übliche Schreibweise für die komplexen Zahlen.

Polynome: AdjunktionBearbeiten

Eine weitere Konstruktion der komplexen Zahlen ist der Faktorring

 

des Polynomringes in einer Unbestimmten über den reellen Zahlen. Die Zahl   entspricht dabei dem Bild der Unbestimmten  , die reellen Zahlen werden mit den konstanten Polynomen identifiziert.

Dieses Konstruktionsprinzip ist auch in anderem Kontext anwendbar, man spricht von Adjunktion.

MatrizenBearbeiten

Die Menge der  -Matrizen der Form

  mit  

bildet ebenfalls ein Modell der komplexen Zahlen. Dabei werden die reelle Einheit   bzw. die imaginäre Einheit   durch die Einheitsmatrix   bzw. die Matrix   dargestellt. Daher gilt:

 
 
 
 

Diese Menge ist ein Unterraum des Vektorraums der reellen  -Matrizen.

Reelle Zahlen entsprechen Diagonalmatrizen  

Die zu den Matrizen gehörenden linearen Abbildungen sind, sofern   und   nicht beide null sind, Drehstreckungen im Raum  . Es handelt sich um genau dieselben Drehstreckungen wie bei der Interpretation der Multiplikation mit einer komplexen Zahl   in der gaußschen Zahlenebene.

GeschichteBearbeiten

Der Begriff „komplexe Zahlen“ wurde von Carl Friedrich Gauß (Theoria residuorum biquadraticorum, 1831) eingeführt, der Ursprung der Theorie der komplexen Zahlen geht auf die italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano (Ars magna, Nürnberg 1545) und Rafael Bombelli (L’Algebra, Bologna 1572; wahrscheinlich zwischen 1557 und 1560 geschrieben) zurück.[3]

Die Unmöglichkeit eines naiven Radizierens der Art   ist bei der Behandlung quadratischer Gleichungen schon sehr früh bemerkt und hervorgehoben worden, z. B. schon in der um 820 n. Chr. verfassten Algebra des Muhammed ibn Mûsâ Alchwârizmî. Aber bei dem nächstliegenden und unanfechtbaren Schluss, dass diese Art von Gleichung nicht lösbar sei, blieb die mathematische Forschung nicht stehen.

In gewissem Sinne ist bereits der Italiener Gerolamo Cardano (1501–1576) in seinem 1545 erschienenen Buch Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus darüber hinausgegangen. Er behandelt dort die Aufgabe, zwei Zahlen zu finden, deren Produkt 40 und deren Summe 10 ist. Er hebt hervor, dass die dafür anzusetzende Gleichung

 
 

keine Lösung hat, fügt aber einige Bemerkungen hinzu, indem er in die Lösung

 

der allgemeinen normierten quadratischen Gleichung

 

für   und   die Werte −10 bzw. 40 einsetzt. Wenn es also möglich wäre, dem sich ergebenden Ausdruck

 

einen Sinn zu geben, und zwar so, dass man mit diesem Zeichen nach denselben Regeln rechnen dürfte wie mit einer reellen Zahl, so würden die Ausdrücke

 
 

in der Tat je eine Lösung darstellen.

Für die Quadratwurzel aus negativen Zahlen und allgemeiner für alle aus einer beliebigen reellen Zahl   und einer positiven reellen Zahl   zusammengesetzten Zahlen

  oder  

hat sich seit der Mitte des 17. Jahrhunderts die Bezeichnung imaginäre Zahl eingebürgert, die ursprünglich von René Descartes stammt, der in seiner La Géométrie (1637) damit die Schwierigkeit des Verständnisses komplexer Zahlen als nichtreeller Lösungen algebraischer Gleichungen ausdrückte. John Wallis erzielte im 17. Jahrhundert erste Fortschritte in Hinblick auf eine geometrische Interpretation komplexer Zahlen. Gottfried Wilhelm Leibniz nannte sie 1702 eine feine und wunderbare Zuflucht des menschlichen Geistes, beinahe ein Zwitterwesen zwischen Sein und Nichtsein.[4] Die Einführung der imaginären Einheit   als neue Zahl wird Leonhard Euler zugeschrieben. Er erzielte durch Rechnen mit imaginären Zahlen wertvolle neue Erkenntnisse, zum Beispiel veröffentlichte er die Eulersche Formel 1748 in seiner Einführung in die Analysis und veröffentlichte erstmals explizit die Formel von Abraham de Moivre (Ende des 17. Jahrhunderts, dieser wiederum hatte sie von Isaac Newton[5]), aber auch Euler hatte noch große Schwierigkeiten beim Verständnis und der Einordnung komplexer Zahlen, obwohl er routinemäßig damit rechnete.

Die geometrische Interpretation wurde zuerst vom dänischen Landvermesser Caspar Wessel (1799 veröffentlicht, aber lange unbeachtet geblieben und lange vergessen), Jean-Robert Argand (in einem obskuren Privatdruck 1806, der aber Legendre zur Kenntnis kam und 1813 breiteren Kreisen bekannt wurde) und Gauß (unveröffentlicht) entdeckt.

Als Begründer der komplexen Analysis gilt Augustin-Louis Cauchy in einer 1814 bei der französischen Akademie eingereichten Arbeit über Integration im Komplexen, die aber erst 1825 veröffentlicht wurde. 1821 definierte er in seinem Lehrbuch Cours d’analyse eine Funktion einer komplexen Variablen in die komplexe Zahlenebene und bewies viele grundlegende Sätze der Funktionentheorie.

Ausgehend von philosophischen Ideen Immanuel Kants fand William Rowan Hamilton 1833 eine logisch einwandfreie Begründung der komplexen Zahlen als geordnetes Paar reeller Zahlen. Er deutete die komplexe Zahl   als Zahlenpaar   und definierte Addition beziehungsweise die Multiplikation durch:[6]

 

Heute machen diese Dinge keinerlei begriffliche oder tatsächliche Schwierigkeiten. Durch die Einfachheit der Definition, der bereits erläuterten Bedeutung und Anwendungen in vielen Wissenschaftsgebieten stehen die komplexen Zahlen den reellen Zahlen in nichts nach. Der Begriff der „imaginären“ Zahlen, im Sinne von eingebildeten bzw. unwirklichen Zahlen, hat sich also im Laufe der Jahrhunderte zu einer schiefen, aber beibehaltenen Bezeichnung entwickelt.

BedeutungBearbeiten

Komplexe Zahlen in der PhysikBearbeiten

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems als Element eines (projektiven) Hilbertraums über den komplexen Zahlen aufgefasst. Komplexe Zahlen finden Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödingergleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.

Komplexe Zahlen haben in der Physik und Technik eine wichtige Rolle als Rechenhilfe. So lässt sich insbesondere die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen vereinfachen, da sich damit die komplizierten Beziehungen in Zusammenhang mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen durch Produkte von Exponentialfunktionen ersetzen lassen, wobei lediglich die Exponenten addiert werden müssen. So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung geeignete Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechenergebnisse dann wieder ignoriert. Dadurch werden in der Zwischenrechnung harmonische Schwingungen (reell) zu Kreisbewegungen in der komplexen Ebene ergänzt, die mehr Symmetrie aufweisen und deswegen einfacher zu behandeln sind.

In der Optik werden die brechenden und absorbierenden Effekte einer Substanz in einer komplexen, wellenlängenabhängigen Permittivität (Dielektrizitätskonstante) oder dem komplexen Brechungsindex zusammengefasst, die wiederum auf die elektrische Suszeptibilität zurückgeführt wird.

In der Fluiddynamik werden komplexe Zahlen eingesetzt, um ebene Potentialströmungen zu erklären und zu verstehen. Jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments stellt immer eine ebene Potentialströmung dar – der geometrische Ort entspricht dem komplexen Argument in der gaußschen Zahlenebene, das Strömungspotenzial dem Realteil der Funktion, und die Stromlinien den Isolinien des Imaginärteils der Funktion mit umgekehrtem Vorzeichen. Das Vektorfeld der Strömungsgeschwindigkeit entspricht der konjugiert komplexen ersten Ableitung der Funktion. Durch das Experimentieren mit verschiedenen Überlagerungen von Parallelströmung, Quellen, Senken, Dipolen und Wirbeln kann man die Umströmung unterschiedlicher Konturen darstellen. Verzerren lassen sich diese Strömungsbilder durch konforme Abbildung – das komplexe Argument wird durch eine Funktion des komplexen Arguments ersetzt. Beispielsweise lässt sich die Umströmung eines Kreiszylinders (Parallelströmung + Dipol) in die Umströmung eines tragflügel-ähnlichen Profils (Joukowski-Profil) verzerren und die Rolle des tragenden Wirbels an einer Flugzeug-Tragfläche studieren. So nützlich diese Methode zum Lernen und Verstehen ist, zur genauen Berechnung reicht sie im Allgemeinen nicht aus.

Komplexe Zahlen in der ElektrotechnikBearbeiten

In der Elektrotechnik besitzt die Darstellung elektrischer Größen mit Hilfe komplexer Zahlen weite Verbreitung. Sie wird bei der Berechnung von zeitlich sinusförmig veränderlichen Größen wie elektrischen und magnetischen Feldern verwendet. Bei der Darstellung einer sinusförmigen Wechselspannung als komplexe Größe und entsprechenden Darstellungen für Widerstände, Kondensatoren und Spulen vereinfachen sich die Berechnungen des elektrischen Stromes, der Wirk- und der Blindleistung in einer Schaltung. Die durch Differentialquotienten oder Integrale gegebene Verkopplung geht über in eine Verkopplung durch trigonometrische Funktionen; die Berechnung der Zusammenhänge lässt sich damit wesentlich erleichtern. Auch das Zusammenwirken mehrerer verschiedener sinusförmiger Spannungen und Ströme, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten ihre Nulldurchgänge haben können, lässt sich in komplexer Rechnung leicht darstellen. Genaueres über dieses Thema steht im Artikel über die komplexe Wechselstromrechnung.

In den letzten Jahren hat die digitale Signalverarbeitung außerordentlich an Bedeutung gewonnen, deren Fundament die Rechnung mit komplexen Zahlen bildet.

Körpertheorie und algebraische GeometrieBearbeiten

Der Körper der komplexen Zahlen ist der algebraische Abschluss des Körpers der reellen Zahlen.

Je zwei algebraisch abgeschlossene Körper mit derselben Charakteristik und demselben Transzendenzgrad über ihrem Primkörper (der durch die Charakteristik festgelegt ist) sind (ringtheoretisch) isomorph.[7] Bei einem Körper von Charakteristik 0 mit überabzählbarem Transzendenzgrad ist dieser gleich der Kardinalität des Körpers. Körpertheoretisch bilden die komplexen Zahlen also den einzigen algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 und der Kardinalität   des Kontinuums. Eine Konstruktion des Körpers der komplexen Zahlen ist mithilfe dieser Feststellung auch rein algebraisch etwa als Erweiterung des algebraischen Abschlusses der rationalen Zahlen um   viele transzendente Elemente möglich. Eine weitere Konstruktion liefert ein Ultraprodukt: Hierzu bilde man zu jedem endlichen Körper seinen algebraischen Abschluss und bilde von ihnen das Ultraprodukt bezüglich eines beliebigen freien Ultrafilters. Aus dem Satz von Łoś folgt, dass dieses Ultraprodukt ein algebraisch abgeschlossener Körper mit Charakteristik 0 ist, die Kardinalität des Kontinuums folgt aus mengentheoretischen Überlegungen.[8]

Unter dem Schlagwort Lefschetz-Prinzip werden verschiedene Sätze zusammengefasst, die es erlauben, Ergebnisse der algebraischen Geometrie, die über den komplexen Zahlen bewiesen werden, auf andere algebraisch abgeschlossene Körper mit Charakteristik 0 zu übertragen (was maßgeblich auf der Vollständigkeit der Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper mit Charakteristik 0 aufbaut). Die Betrachtung des komplexen Falls bietet den Vorteil, dass dort topologische und analytische Methoden eingesetzt werden können, um algebraische Ergebnisse zu erhalten.[9] Obige Ultraproduktkonstruktion erlaubt die Übertragung von Ergebnissen im Fall einer Charakteristik ungleich 0 auf die komplexen Zahlen.[10]

Spektraltheorie und FunktionalanalysisBearbeiten

Viele Ergebnisse der Spektraltheorie gelten für komplexe Vektorräume in größerem Umfang als für reelle. So treten z. B. komplexe Zahlen als Eigenwerte reeller Matrizen auf (dann jeweils zusammen mit dem konjugiert-komplexen Eigenwert). Das erklärt sich dadurch, dass das charakteristische Polynom der Matrix aufgrund der algebraischen Abgeschlossenheit von   über den komplexen Zahlen stets in Linearfaktoren zerfällt. Dagegen gibt es reelle Matrizen ohne reelle Eigenwerte, während das Spektrum eines beliebigen beschränkten Operators auf einem komplexen (mindestens eindimensionalen) Banachraum nie leer ist.[11] In der Spektraltheorie auf Hilberträumen lassen sich Sätze, die im reellen Fall nur für selbstadjungierte Operatoren gelten, im komplexen Fall oft auf normale Operatoren übertragen.

Auch in weiteren Teilen der Funktionalanalysis spielen die komplexen Zahlen eine besondere Rolle. So wird etwa die Theorie der C*-Algebren meist im Komplexen betrieben, die harmonische Analyse befasst sich mit Darstellungen von Gruppen auf komplexen Hilberträumen.

Funktionentheorie und komplexe GeometrieBearbeiten

Das Studium differenzierbarer Funktionen auf Teilmengen der komplexen Zahlen ist Gegenstand der Funktionentheorie. Sie ist in vieler Hinsicht starrer als die reelle Analysis und lässt weniger Pathologien zu. Beispiele sind die Aussage, dass jede in einem Gebiet differenzierbare Funktion bereits beliebig oft differenzierbar ist, oder der Identitätssatz für holomorphe Funktionen.

Die Funktionentheorie ermöglicht oft auch Rückschlüsse auf rein reelle Aussagen, beispielsweise lassen sich manche Integrale mit dem Residuensatz berechnen. Ein wichtiges Einsatzgebiet dieser Methoden ist die analytische Zahlentheorie, die Aussagen über ganze Zahlen auf Aussagen über komplexe Funktionen zurückführt, häufig in der Form von Dirichletreihen. Ein prominentes Beispiel ist die Verbindung zwischen Primzahlsatz und riemannscher ζ-Funktion. In diesem Zusammenhang spielt die riemannsche Vermutung eine zentrale Rolle.

Die oben erwähnte Starrheit holomorpher Funktionen tritt noch stärker bei globalen Fragen in Erscheinung, d. h. beim Studium komplexer Mannigfaltigkeiten. So gibt es auf einer kompakten komplexen Mannigfaltigkeit keine nichtkonstanten globalen holomorphen Funktionen; Aussagen wie der Einbettungssatz von Whitney sind im Komplexen also falsch. Diese so genannte „analytische Geometrie“ (nicht mit der klassischen analytischen Geometrie von René Descartes zu verwechseln!) ist auch eng mit der algebraischen Geometrie verknüpft, viele Ergebnisse lassen sich übertragen. Die komplexen Zahlen sind auch in einem geeigneten Sinne ausreichend groß, um die Komplexität algebraischer Varietäten über beliebigen Körpern der Charakteristik 0 zu erfassen (Lefschetz-Prinzip).

LiteraturBearbeiten

  • Paul Nahin: An imaginary tale. The story of  . Princeton University Press, 1998.
  • Reinhold Remmert: Komplexe Zahlen. In D. Ebbinghaus u. a. (Hrsg.): Zahlen. Springer, 1983.

Verwandte ThemenBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Komplexe Zahlen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Wikibooks: Imaginäre und komplexe Zahlen – eine kompakte Einführung
  Wikibooks: Komplexe Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1: Mit Lösungshinweisen zu 420 Übungsaufgaben. 4. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-31764-7.
  2. Bei Verwendung des Zeichens   ist noch deutlicher gemacht, als es vielleicht bei Verwendung von   wäre, dass bei jedem Vorkommen dieselbe Lösung von   (dasselbe „Vorzeichen“) genommen werden muss. Dennoch bleiben alle algebraischen Aussagen gültig, wenn überall   durch   ersetzt wird.
  3. Helmuth Gericke: Geschichte des Zahlbegriffs. Bibliographisches Institut, Mannheim 1970, S. 57–67.
  4. Remmert: Komplexe Zahlen. In: Ebbinghaus u. a.: Zahlen. Springer 1983, S. 48.
  5. Nahin: An imaginary tale. S. 56.
  6. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 310.
  7. Daher kommt auch, dass es überabzählbar viele „wilde“ Automorphismen von   gibt; siehe Paul B. Yale: Automorphisms of the Complex Numbers. (PDF; 217 kB).
  8. H. Schoutens: The Use of Ultraproducts in Commutative Algebra. Springer, 2010, S. 16.
  9. Gerhard Frey, Hans-Georg Rück: The Strong Lefschetz Principle in Algebraic Geometry. In: manuscripta mathematica. Band 55, 1986, S. 385 (online).
  10. Frey, Rück, S. 389.
  11. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 7. Auflage. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-21016-7, S. 261.