arctan2

Erweiterung der Umkehrfunktion des Tangens mit einem Wertebereich von 0 bis 2π

Die mathematische Funktion arctan2, auch atan2, ist eine Erweiterung der inversen Winkelfunktion Arkustangens und wie diese eine Umkehrfunktion der Winkelfunktion Tangens.

Sie nimmt zwei reelle Zahlen als Argumente, im Gegensatz zum normalen Arkustangens, welcher nur eine reelle Zahl zum Argument hat. Damit hat sie genügend Information, um den Funktionswert in einem Wertebereich von (also allen vier Quadranten) ausgeben zu können, und muss sich nicht (wie der normale Arkustangens) auf zwei Quadranten beschränken. Der volle Wertebereich wird häufig benötigt, beispielsweise bei der Umrechnung ebener kartesischer Koordinaten in Polarkoordinaten: wenn der Funktion [1] die beiden kartesischen Koordinaten als Argumente gegeben werden, erhält man den Polarwinkel , der sich im richtigen Quadranten befindet, d. h. der die Beziehungen

 und
 mit

erfüllt. Ein mathematisch nützlicher Zusatzeffekt ist, dass Winkel, bei denen der Tangens eine Polstelle hat, nämlich die Winkel durch ganz normale reelle Koordinaten spezifiziert werden können, nämlich durch anstatt

Das kommt von der Definitionsmenge der Funktion der „gelochten“ Ebene, welche mit einer Gruppenstruktur versehen werden kann, die isomorph ist zur multiplikativen Gruppe der komplexen Zahlen ohne die Null. Diese Gruppen sind direktes Produkt der Kreisgruppe der Drehungen und der Gruppe der Streckungen um einen Faktor größer Null, der multiplikativen Gruppe Erstere Gruppe lässt sich durch den Polarwinkel parametrisieren, zweitere durch den (positiven) Betrag

Lösung: Zwei ArgumenteBearbeiten

Zwei vom Ursprung   verschiedene Punkte   und   spezifizieren denselben Polarwinkel, wenn sie auf demselben Strahl durch   liegen. Dann sind sie bezüglich der durch

 
   

definierten Relation äquivalent.[2] Dagegen ist der Tangenswert von Polarwinkeln auch dann derselbe, wenn der Strahl um   oder  , also genau in den Gegenstrahl, weitergedreht ist. Informationstheoretisch betrachtet lässt der Tangens die Vorzeicheninformation von   (rot in den Formeln) unter den Tisch fallen:

 
     

man nehme nur  .

 
Abb. 1: Graph der Arkustangensfunktion

Da der Tangens mit   periodisch ist und der Funktionsbegriff Rechtseindeutigkeit verlangt, muss für seine Umkehrung (Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden) sein Definitionsbereich mindestens auf die Periodenlänge eingeschränkt werden – in diesem Artikel auf das Intervall   (s. Abb. 1). Das hat zur Folge, dass die Umkehrfunktion Arkustangens kein größeres Bild als   haben kann. Dabei ist die ganze reelle Achse   als Definitionsbereich des Arkustangens zulässig, weil das Bild des Tangens unter   gerade   ist.

Um zu einem vollwertigen Polarwinkel zu kommen, gibt es in vielen Programmiersprachen und Tabellenkalkulationen eine erweiterte Funktion, die mit den beiden kartesischen Koordinaten beschickt wird und damit genügend Information hat, um den Polarwinkel modulo   (bspw. im Intervall   wie der Abb. 3) und in allen vier Quadranten zurückgeben zu können.

ImplementierungenBearbeiten

Die erste Implementierung war nicht später als im Jahr 1966 in der Programmiersprache Fortran.[3] Heute ist die Funktion auch in anderen Programmiersprachen vorhanden.

Die Funktion hat häufig den Namen  , so bei den Programmiersprachen Fortran 77[4], C, C++, Java, Python, Matlab, R, iWork Numbers[5], LibreOffice Calc[6]. In vielen dieser Programmiersprachen (nicht bspw. bei LibreOffice Calc) ist die Reihenfolge der Argumente umgekehrt, also die  -Koordinate das erste Argument. In Common Lisp, wo optionale Argumente existieren, erlaubt die  -Funktion, die  -Koordinate als optionales zweites Argument zu übergeben,[7] wobei die Standardannahme   ist.

Ein anderer Name ist  , so bei den Tabellenkalkulationen Excel[8] und OpenOffice Calc.

In Mathematica ist eine Funktion   definiert, bei der das erste Argument   weggelassen werden kann.

Zur Beachtung
In diesem Artikel wird die Reihenfolge   und der Name   verwendet.

FormelBearbeiten

Die sechs Fälle der Funktionsdefinition

              oder      
 [1]       für   (Quadranten   und  )
    für   (Quadrant  )
  für   (obererunterer Rand der Bildmenge)
  für   (Quadrant  )
  für  
  für  
 
Abb. 2: Punkte ● in der (x|y)-
Ebene und ihr arctan2-Wert

mit   als der „gelochten“ Ebene lassen sich zur Formel

 

vereinigen. Die Funktion ist bis auf den Fall   (die Sprungstelle, s. u.) punktsymmetrisch am Ursprung, in Formeln:

 .

Dem Argument   wird manchmal der Funktionswert   zugeordnet, wie auch andere Sonderfälle, bspw. Not a Number, unterschiedlich behandelt werden.

Der Genauigkeitsverlust der Division   wegen lässt sich für   bspw. durch die Umformung

 

verringern (s. jedoch auch den Abschnitt #Genauigkeitskontrolle).

Sprungstelle und kontinuierliche Drehung des PolarwinkelsBearbeiten

 
Abb. 3: Graph von   über   für  .
 -Ziel- =  -Quell-Quadrant mit blauer römischer Ziffer.

Bei zunehmendem Polarwinkel  , das heißt bei einer Drehung im mathematischen Sinn (und entgegen dem Uhrzeigersinn), also der Wanderung vom Quadranten   über die Quadranten  [9] und   zum Quadranten  , beginnt eine Periode in der Abb. 3 unten am (Strahl durch den) Punkt[10]

       
          ,

von wo es auf dem roten Graphen von links unten nach rechts oben (immer in „ONO-Richtung“) weitergeht. Wie üblich soll in der Nähe der Null   infinitesimal unterhalb und   infinitesimal oberhalb bedeuten. Die Drehung führt weiter in den Quadranten   über den (auf der 1. Winkelhalbierenden liegenden und in der Abb. durch eine kleine rote Kreisfläche markierten) Punkt

          ,

zum Punkt

             
                  ,
 

der einer der Polstellen   des Tangens entspricht und deshalb für den Arkustangens   ein unendlich ferner Punkt ist. Der  -Wert wechselt von   nach  . Diesen Sachverhalt symbolisiert die Abb. 3 mit dem roten Kringel rechts im Quadranten   als Senke und dem roten Knubbel links im Quadranten   als Quelle. Aus Sicht der Funktion   geschieht aber nichts weiter, als dass der  -Wert sich von   zu   ändert.

Die weitere Drehung führt durch den Quadranten   über den markierten Punkt

         

zum Punkt

                  ,
 

der im Koordinatenursprung liegt, und von dort durch den Quadranten   über den markierten Punkt

          ,

zum Punkt

                  .
 

Dieser Punkt entspricht der anderen Polstelle   des Tangens. Bei ihm findet dasselbe Zusammenfallen der Senke im Quadranten   mit der Quelle im Quadranten   statt wie oben beim Argument  . Die weitere Drehung durch den Quadranten   führt über den markierten Punkt

         

schließlich zur Sprungstelle

          .

Dieser Fall kann durch leichte Abwandlung der Bedingungen in der Formel   entweder dem Fall in der Zeile darüber oder dem darunter zugeschlagen werden, wonach das Intervall der Bildmenge an seinem oberen Ende abgeschlossen und am unteren Ende offen ist, also  , oder eben umgekehrt  .

Hat die Berechnung des Polarwinkels eine kontinuierliche Drehung zu begleiten, dann kann die Funktion so angepasst oder erweitert werden, dass

  • die Sprungstelle an einem beliebigen Punkt (einem beliebigen Strahl) des Definitionsbereichs   liegt;
  • auch bei einer Drehung über die Periodenlänge   hinaus der Polarwinkel kontinuierlich zu- bzw. abnimmt. Hier kommt die Umlaufzahl ins Spiel.

Beispielsweise können in Anwendungen, bei denen es auf die Stetigkeit innerhalb einer Halbebene ankommt, folgende Formeln nützlich sein:

            für   (Quadranten   und  )
            für   (Quadranten   und  )
      für   (Quadranten   und  )
    für   (Quadranten   und  )
    für   (Quadranten   und  )
            für   (Quadranten   und  )
            für   (Quadranten   und  )

Die 7 Zeilen sind so angeordnet, dass die Werte zweier über einander stehender Funktionen im gemeinsamen Definitionsgebiet übereinstimmen. Wegen der Sprungstelle von   beim Strahl   ist Gleichheit mit einer der stetigen Funktionen   nicht möglich.

Isomorphie zur KreisgruppeBearbeiten

Die präzise mathematische Darstellung der folgenden wohlbekannten Abbildung bedarf sowohl auf der Urbild- wie auf der Bild-Seite zusätzlicher Hilfsabbildungen.

Auf der Definitionsmenge   von   kann man (in Analogie zur Definition der Addition in den rationalen Zahlen) die Verknüpfung

 

definieren.[11] Sie bleibt wohldefiniert unter der obigen Äquivalenzrelation  , und die Faktormenge

 

erweist sich als kommutative Gruppe mit dem neutralen Element   und der Inversenbildung

 .[12]

Genauso wohldefiniert ist die induzierte Abbildung

 

weil äquivalente Repräsentanten denselben  -Wert liefern. Aus der Summenformel des Arkustangens folgt

 

Wendet man auf die Funktion   die Funktion

 

an, dann ergibt sich ein Homomorphismus   mit

 

auf die Kreisgruppe  , dessen Kern das neutrale Element   mit   ist. Sind   und   mit der natürlichen Topologie ausgestattet, dann ist   in beiden Richtungen stetig, mithin ein Homöomorphismus.

GenauigkeitskontrolleBearbeiten

Mit einer kleinen Vorbereitung und mit nur einem Vergleich mehr als in den Fallunterscheidungen der Formel   lässt sich das Konvergenzverhalten der Taylorreihe (des Arkustangens) kontrollieren und ggf. verbessern.

Der Winkel von   zeichnet sich dadurch aus, dass er ein ganzzahliger Bruchteil, nämlich ein Achtel, des vollen Winkels von   ist und gleichzeitig sein Strahl durch ganzzahlige Koordinaten geht. Quadranten lassen sich in der Koordinatenebene so ausrichten, dass ihre Begrenzungen (die definitionsgemäß stets Strahlen sind) parallel zu den Koordinatenachsen zu liegen kommen. Bei Oktanten[13] kommen noch die Winkelhalbierenden als Begrenzungen hinzu. Die Feststellung, zu welchem der acht Oktanten ein Punkt   gehört, ist bei einer derartigen Ausrichtung besonders einfach.

Schreibweise
In diesem § werden in den Beziehungen zwischen Strahlen und Winkeln die gewohnten Operatoren   mit der darübergeschriebenen Tilde   verwendet, um auszudrücken, dass ein Strahl eine Äquivalenzklasse   ist. Und bei den Vergleichsoperatoren   wird der Strahl stets mit dem ihm   am nächsten liegenden Winkel verglichen.
Um Verwechslungen mit Koordinaten   zu vermeiden, wird in den Dezimaldarstellungen statt des Kommas der Dezimalpunkt verwendet.

Im Folgenden wird versucht, einen beliebigen Strahl   resp. Winkel   mit einfachen und umkehrbaren Drehungen in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall   zu drehen. Dann ist nämlich der Absolutbetrag des Arguments   in der Taylorreihe des Arkustangens    .

In einer ersten Drehung wird der Strahl   um   gedreht, d. h. der Strahl

 

gebildet. Der Oktant, in den dieser Strahl fällt, sei der  -te, und die Nummerierung der Oktanten sei so gewählt, dass der erste das Winkelintervall   abdeckt:

Nummer   des Oktanten
seine untere und obere Begrenzung
 
 
 
die obere als Strahl                        
die obere als Polarwinkel                    

Vom derart bestimmten Oktanten wird der obere begrenzende Strahl genommen, der durch einen Punkt   aus der in der Tabelle gezeigten Menge von Strahlen charakterisiert werden kann. (Alle diese Punkte haben ganzzahlige Koordinaten, und beim ersten Oktanten ist bspw.  .) Dann ist   oder

 .

Es folgt eine Drehung von  , die zweite, jetzt um  , so dass

 

im gewünschten Winkelintervall ist. Um diese zweite Drehung von     mit ganzzahligem   muss das Ergebnis, wenn der Arkustangens berechnet ist, korrigiert werden.

Die erste Drehung muss nur ungefähr   betragen. Wenn sie davon etwas abweicht, etwa   oder auch   beträgt, dann wird der Strahl   möglicherweise nicht so gut in das an der Polarachse symmetrische Winkelintervall eingepasst. Das Konvergenzverhalten verschlechtert sich aber wegen   nur geringfügig auf  .

Nach der zweiten Drehung kann die Taylorreihe (an der Entwicklungsstelle  )

 

entwickelt und die abschließende Korrektur

 

vorgenommen werden.

Beispiele
  1. Der Ausgangsstrahl sei  , was einem Winkel von ca.   entspricht. Durch die  -Addition von   kommen wir auf  , also in den  -ten Oktanten. Dessen obere Begrenzung liegt bei  . Wir bilden die Differenz   und berechnen   mit   und korrigieren mit   zum Endergebnis  .
  2. Der Ausgangsstrahl sei  , was einem Winkel von ca.   entspricht. Durch die  -Addition von   kommen wir auf  , also in den  -ten Oktanten. Das obere Ende des Oktanten liegt bei  . Da dieser Oktant die Sprungstelle   enthält, setzen wir bei diesem  -ten Oktanten im Fall   den Korrekturwinkel auf  . Wir bilden die Differenz   und berechnen   mit   und korrigieren mit  .

Verbindung zum komplexen LogarithmusBearbeiten

Man kann die Funktion   für   auch über den Hauptwert   des komplexen Logarithmus definieren als

 

mit der Argument-Funktion  . Diese Funktion wird zum Beispiel in der inversen Kinematik benutzt, um Gelenkeinstellungen korrekt zu beschreiben. Dies ist allerdings nur eine andere formale Darstellung, denn zur Berechnung muss man   mit   bestimmen und dazu die gegebene kartesische Darstellung von   in die Polarform überführen, wobei man im Endeffekt wieder auf die oben definierte  -Funktion mit reellen Argumenten zurückgreift.

AbleitungenBearbeiten

Die Funktion   hängt von zwei Variablen ab und ist (außer im Ursprung) stetig differenzierbar, hat also zwei partielle Ableitungen. Für die Bedingung des ersten Falls (Quadranten   und  ) und dessen Zuordnung ergibt sich

 [1]  ,
 [1]  

Die Einschränkung auf den ersten Fall kann nachträglich fallen gelassen werden, so dass die Gleichungen für alle   gelten.[14]

Damit ist

 

der Gradient der Funktion  , und seine Richtung ist an jedem Punkt   senkrecht zum Radiusvektor in mathematisch positiver Drehrichtung. Das passt zu der Tatsache, dass der Funktionswert von  , der Polarwinkel, in dieser Richtung zunimmt.

Des Weiteren folgt für das totale Differential

 

Eine Integration dieses Differentials entlang eines Weges ergibt die Änderung des (Polar)winkels über den Weg. Ist der Weg geschlossen, so erhält man die Umlaufzahl (in Bezug auf den Ursprung  ).

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Arkustangens und Arkuskotangens – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. a b c d In diesem Artikel wurde die Argumentreihenfolge   gewählt, weil allermeistens von der  -Ebene und praktisch nie von der  -Ebene gesprochen wird. Mehr zu Funktionsname und Argumentreihenfolge findet sich im § Implementierungen.
  2. Die Begriffsbildung gestattet u. a. eine einfachere und präzisere Spezifikation der Werte   und   die der auf zwei Tangens-Perioden aufgeteilten Polstelle des Tangens entsprechen.
  3. Elliott I. Organick: A FORTRAN IV Primer. Addison-Wesley, 1966, S. 42: „Some processors also offer the library function called ATAN2, a function of two arguments (opposite and adjacent).“
  4. Fortran Wiki atan2. GNU Free Documentation License (GFDL). Archiviert vom Original am 12. Juni 2017.  Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/fortranwiki.org Abgerufen am 8. April 2017.
  5. Numbers’ Trigonometric Function List. Apple.
  6. LibreOffice Calc ATAN2. Libreoffice.org.
  7. CLHS: Function ASIN, ACOS, ATAN. LispWorks.
  8. Microsoft Excel Atan2 Method. Microsoft.
  9. Die Platzierung der Quadranten   und   ist in der Abb. 3 wegen   “vertauscht” gegenüber der Abb. im Artikel Quadrant.
  10. Entsprechend den 2 Argumenten der  -Funktion werden zwei Koordinaten   als unabhängige Variable und nicht nur der Quotient   aufgeführt.
  11. Diese Definition stimmt überein mit den Regeln der komplexen Multiplikation, welche auch dem Additionstheorem des Tangens zugrunde liegen.
    In diesem Artikel kommt es besonders auf ihre Eignung für ganzzahlige Koordinaten an.
  12. Von den komplexen Zahlen her weiß man, dass das  -Inverse von   auf ganz   (und nicht nur auf  )
     
    ist und dass   eine abelsche Gruppe ist, was aber im Text so nicht gebraucht wird.
  13. Gemeint ist der Halbquadrant, der dem nautischen Gerät Oktant und der Windrose mit den vier Nebenhimmelsrichtungen entspricht, und nicht der dreidimensionale Oktant (Geometrie).
  14. Die Ableitungen sind gebrochen rationale Funktionen und enthalten keine transzendente Funktion. Dieses Phänomen ist aber schon vom Arkustangens her bekannt.