Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus

Winkelfunktion

Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es ist .

DefinitionenBearbeiten

Areatangens hyperbolicus:

 

Areakotangens hyperbolicus:

 

Geometrische DefinitionenBearbeiten

Geometrisch lässt sich der Areatangens hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung   und der Hyperbel   überstreicht: Es seien   und   Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche   überstrichen.

EigenschaftenBearbeiten

 
Graph der Funktion artanh(x)
 
Graph der Funktion arcoth(x)
  Areatangens hyperbolicus Areakotangens hyperbolicus
Definitionsbereich    
 
Wertebereich    
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend keine
Symmetrien ungerade Funktion:   ungerade Funktion:  
Asymptoten  
 
 
Nullstellen   keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen    
Extrema keine keine
Wendepunkte   keine

ReihenentwicklungenBearbeiten

Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind

 

AbleitungenBearbeiten

 
 

IntegraleBearbeiten

Die Stammfunktionen lauten:

 
 

AdditionstheoremeBearbeiten

 
 

Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen FunktionenBearbeiten

 
 

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten