Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus

trigonometrische Funktionen

Areasinus hyperbolicus (abgekürzt oder ) und Areakosinus hyperbolicus (abgekürzt oder ) gehören zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.

DefinitionenBearbeiten

Die Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrücken:

Areasinus hyperbolicus:

  mit  

Areakosinus hyperbolicus:

  für  

Hier steht   für den natürlichen Logarithmus.

UmrechnungBearbeiten

Zusammen mit der Signumfunktion   gilt der Zusammenhang:

 

Für   gilt:

 

EigenschaftenBearbeiten

 
Graph der Funktion arsinh(x)
 
Graph der Funktion arcosh(x)
  Areasinus hyperbolicus Areakosinus hyperbolicus
Definitionsbereich    
Wertebereich    
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung,
ungerade Funktion
keine
Asymptote   für     für  
Nullstellen    
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine keine
Wendepunkte   keine

ReihenentwicklungenBearbeiten

Wie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen. Dabei treten die Doppelfakultät und die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf.

Die Reihenentwicklungen lauten:

 

AbleitungenBearbeiten

Die Ableitung des Areasinus hyperbolicus lautet:

 

Die Ableitung des Areakosinus hyperbolicus lautet:

  für x > 1

StammfunktionenBearbeiten

Die Stammfunktionen des Areasinus hyperbolicus und des Areakosinus hyperbolicus lauten:

 
 

Andere IdentitätenBearbeiten

 


 
 
 

Numerische BerechnungBearbeiten

Grundsätzlich kann der Areasinus hyperbolicus über die bekannte Formel

 

berechnet werden, wenn die natürliche Logarithmusfunktion   zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:

  • Große, positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.
  • Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird.

Zunächst einmal soll der Operand   positiv gemacht werden:

  für   angewandt.

Für   können dann folgende Fälle unterschieden werden:

Fall 1:   ist eine große, positive Zahl mit  :

 
wobei   die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.
Diese Formel ergibt sich aus folgender Überlegung:
  ist die kleinste positive Zahl, ab der die letzte Vorkommastelle nicht mehr gespeichert ist, weshalb   gilt. Jetzt soll dasjenige   berechnet werden, ab dem gilt:  . Dies gilt für  , woraus   folgt. Somit kann man in der bekannten Formel für den Areasinus hyperbolicus   durch   ersetzen:
  

Fall 2:   ist nahe an 0, z. B. für  :

Verwendung der Taylorreihe:
 

Fall 3: Alle übrigen  :

 

Der Areacosinus hyperbolicus kann über die bekannte Formel

 

berechnet werden. Auch hier entsteht jedoch das numerische Problem, dass große positive Operanden einen Überlauf auslösen, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist.

Fall 1:   ist eine große positive Zahl mit  :

 
wobei   die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist.

Fall 2:  :

Das Ergebnis ist nicht definiert.

Fall 3: Alle übrigen  , d. h. für  :

 

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten