Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus

trigonometrische Funktionen

Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens bzw. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.

Graph des Tangens hyperbolicus
Graph des Kotangens hyperbolicus

SchreibweisenBearbeiten

Tangens hyperbolicus:  
Kotangens hyperbolicus:  

DefinitionenBearbeiten

 
 

Hierbei bezeichnen   und   den Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus.

EigenschaftenBearbeiten

  Tangens hyperbolicus Kotangens hyperbolicus
Definitionsbereich     ;  
Wertebereich     ;  
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend   streng monoton fallend
  streng monoton fallend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten  
 
 
 
Nullstellen   keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine  
Extrema keine keine
Wendepunkte   keine

Spezielle WerteBearbeiten

Der Kotangens hyperbolicus hat zwei Fixpunkte, d. h., es gibt zwei  , sodass

 .

Sie liegen bei   (Folge A085984 in OEIS)

UmkehrfunktionenBearbeiten

Der Tangens hyperbolicus ist eine Bijektion  . Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens hyperbolicus. Sie ist für Zahlen x aus dem Intervall   definiert und nimmt als Wert alle reellen Zahlen an. Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

 

Für die Umkehrung des Kotangens hyperbolicus gilt:

 

AbleitungenBearbeiten

 
 

Die  -te Ableitung ist gegeben durch

 

mit den Euler-Zahlen An,k.

AdditionstheoremBearbeiten

Es gilt das Additionstheorem

 

analog dazu:

 

IntegraleBearbeiten

 
 

Weitere DarstellungenBearbeiten

ReihenentwicklungenBearbeiten

 
 

Der Anfang der Taylorreihe des Tangens hyperbolicus lautet:

 

Die   sind die Bernoulli-Zahlen. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist  .

KettenbruchdarstellungBearbeiten

Johann Heinrich Lambert zeigte folgende Formel:

 

Numerische BerechnungBearbeiten

Grundsätzlich kann der Tangens hyperbolicus über die bekannte Formel

 

berechnet werden, wenn die Exponentialfunktion   zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:

  • Große positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist
  • Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird

Fall 1:   ist eine große positive Zahl mit  :

 ,
wobei   die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.

Fall 2:   ist eine kleine negative Zahl mit  :

 

Fall 3:   ist nahe an 0, z. B. für  :

 
  lässt sich hier über die Taylorreihe   sehr genau berechnen.

Fall 4: Alle übrigen  :

 

DifferentialgleichungBearbeiten

  löst folgende Differentialgleichungen:

  oder
 

mit   und  

Komplexe ArgumenteBearbeiten

 
 
 
 

Anwendungen in der PhysikBearbeiten

  • Tangens und Kotangens hyperbolicus können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Fall mit Luftwiderstand oder auch beim Wurf nach unten zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form   mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0 mit der Einheit 1/m. Es gibt dann immer eine Grenzgeschwindigkeit  , die für   erreicht wird, und es gilt:
    • beim Fall oder Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit kleiner der Grenzgeschwindigkeit:   mit  
    • beim Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer der Grenzgeschwindigkeit:   mit  
  • Der Tangens hyperbolicus beschreibt ferner die thermische Besetzung eines Zwei-Zustands-Systems in der Quantenmechanik: Ist n die gesamte Besetzung der beiden Zustände und E ihr Energie-Unterschied, so ergibt sich für die Differenz der Besetzungszahlen  , wobei   die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist.
 
  • Der Kotangens hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: Die zeitliche Entwicklung des Hubble-Parameters in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch  , wobei   eine charakteristische Zeitskala ist und   der Grenzwert des Hubble-Parameters für   ist (  ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters,   der Dichteparameter für die Dunkle Energie). (Dieses Ergebnis ergibt sich leicht aus dem zeitlichen Verhalten des Skalenparameters, das aus den Friedmann-Gleichungen abgeleitet werden kann.) Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Dunklen Energie tritt dagegen der Tangens hyperbolicus auf:  .

WeblinksBearbeiten