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Tangens und Kotangens

trigonometrische Funktionen
(Weitergeleitet von Tangens)
Schaubild der Tangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)
Schaubild der Kotangensfunktion (Argument x im Bogenmaß)

Tangens und Kotangens sind trigonometrische Funktionen und spielen in der Mathematik und ihren Anwendungsgebieten eine herausragende Rolle. Der Tangens des Winkels wird mit bezeichnet, der Kotangens des Winkels mit . In älterer Literatur findet man auch die Schreibweisen für den Tangens und für den Kotangens.

DefinitionBearbeiten

Historisch/geometrischBearbeiten

 
Definition am Einheitskreis:
 

Die Bezeichnung „Tangens“ stammt von dem Mathematiker Thomas Finck (1561–1656), der sie 1583 einführte. Die Bezeichnung „Kotangens“ entwickelte sich aus complementi tangens, also Tangens des Komplementärwinkels.[1]

Die Wahl des Namens Tangens erklärt sich unmittelbar durch die Definition im Einheitskreis. Die Funktionswerte entsprechen der Länge eines Tangentenabschnitts:

 
 
Ein rechtwinkliges Dreieck, mit Bezeichnungen der drei Seiten bezogen auf einen variablen Winkel α am Punkt A und einen rechten Winkel am Punkt C.

In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangens eines Winkels   das Längenverhältnis von Gegenkathete zu Ankathete und der Kotangens das Längenverhältnis von Ankathete zu Gegenkathete:

 

Daraus folgt unmittelbar:

 

sowie

 

Formal – mit Definitions- und WertebereichBearbeiten

Formal kann die Tangensfunktion mittels der Sinus- und Kosinusfunktionen durch

  mit  

definiert werden,[2] wobei der Wertebereich   je nach Anwendung die reellen   oder die komplexen Zahlen   sind. Um zu verhindern, dass der Nenner   Null wird, werden beim Definitionsbereich   die Nullstellen der Cosinus-Funktion weggelassen:

 

im Reellen bzw.

 

im Komplexen.

Der Kotangens kann analog dazu durch

  mit  

definiert werden, wobei sich für dessen Definitionsbereich

 

im Reellen bzw.

 

im Komplexen ergibt, wenn gewährleistet werden soll, dass der Nenner   ungleich Null ist.

Für den gemeinsamen Definitionsbereich von   und  

 

gilt

 

EigenschaftenBearbeiten

 
Entstehung der Tangensfunktion aus der Winkelbewegung im Einheitskreis

PeriodizitätBearbeiten

Periodenlänge   (halbe Drehung):  

MonotonieBearbeiten

Tangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton steigend.

Kotangens: Im jeweiligen Intervall streng monoton fallend.

SymmetrienBearbeiten

Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung:

 

NullstellenBearbeiten

Tangens:  
Kotangens:     

PolstellenBearbeiten

Tangens:  
Kotangens:     

WendestellenBearbeiten

Tangens:  
Kotangens:     

Sowohl die Tangensfunktion als auch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, aber keine Sprungstellen oder Extrema.

Wichtige FunktionswerteBearbeiten

Tangens Kotangens Ausdruck num. Wert
      0
      0,2679491…
      0,3249196…
      0,4142135…
      0,5773502…
      0,7265425…
      1
      1,7320508…
      2,4142135…
      3,7320508…
      Polstelle

[3]

UmkehrfunktionBearbeiten

Durch passende Einschränkung der Definitionsbereiche erhält man eine Bijektion

Tangens
 .

Ihre Umkehrfunktion

 

heißt Arkustangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

Kotangens
 .

Ihre Umkehrfunktion

 

heißt Arkuskotangens und ist folglich ebenfalls bijektiv.

ReihenentwicklungBearbeiten

 
Tangens für |x| < ½π (im Bogenmaß)
Tangens
Die Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt   (Maclaurinsche Reihe) lautet für  [4]
 

Dabei sind mit   die Bernoulli-Zahlen bezeichnet.

Kotangens
Die Laurent-Reihe lautet für  [5]
 

Die Partialbruchzerlegung des Kotangens lautet für  

 

AbleitungBearbeiten

Bei der Ableitung von Tangens und Kotangens tauchen die ansonsten eher wenig gebräuchlichen trigonometrischen Funktionen Sekans und Kosekans auf:

 
 

Die  -ten Ableitungen lassen sich mit der Polygammafunktion ausdrücken:

 
 

StammfunktionenBearbeiten

Tangens
     mit        .
Kotangens
     mit        .

Komplexes ArgumentBearbeiten

    mit  
    mit  

AdditionstheoremeBearbeiten

Die Additionstheoreme für Tangens und Kotangens lauten

 

Aus den Additionstheoremen folgt insbesondere für doppelte Winkel

 

Darstellung des Sinus und Kosinus mithilfe des (Ko-)TangensBearbeiten

Die Auflösung der bereits aus dem obigen Abschnitt Ableitung bekannten Identitäten

 
 

nach   bzw.   ergibt bei Beschränkung auf den ersten Quadranten zunächst einmal Einfaches:

  für  
  für  

Die etwas komplizierteren Erweiterungen auf ganz   lassen sich entweder kompakt als Grenzwert mit Hilfe der Floor-Funktion   oder elementarer mittels abschnittsweise definierter Funktionen darstellen:

 


 

Rationale ParametrisierungBearbeiten

Der Tangens des halben Winkels kann dazu verwendet werden, verschiedene trigonometrische Funktionen durch rationale Ausdrücke zu beschreiben: Ist  , so ist

 

Insbesondere ist

 

eine Parametrisierung des Einheitskreises mit Ausnahme des Punktes   (der dem Parameter   entspricht). Einem Parameterwert   entspricht dabei der zweite Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von   und   mit dem Einheitskreis (s. a. Einheitskreis#Rationale Parametrisierung).

Anwendung: Tangens und SteigungswinkelBearbeiten

 
Beispiel für eine Steigung

Der Tangens liefert eine wichtige Kennzahl für lineare Funktionen: Jede lineare Funktion

 

besitzt als Graphen eine Gerade. Der Tangens des (orientierten) Winkels   zwischen der positiven x-Richtung und der Geraden ist die Steigung   der Geraden, d. h.  . Dabei ist es egal, welche der beiden Halbgeraden man als zweiten Schenkel wählt.

Auch unter der Steigung einer Straße versteht man den Tangens des Steigungswinkels. Das Beispiel im Bild rechts zeigt eine Steigung von 10 % entsprechend einem Steigungswinkel von etwa 5,7° mit dem Tangens von 0,1.

Anwendung in der PhysikBearbeiten

Tangens und Kotangens können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Wurf eines Körpers nach oben zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand der Luft eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form   mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0. Dann ergibt sich:

 ,

wobei   die Grenzgeschwindigkeit ist, die beim Fall mit Luftwiderstand erreicht wird. Wegen der oben angegebenen engen Zusammenhänge zwischen Kotangens und Tangens kann man diese zeitliche Abhängigkeit auch genauso gut mit Hilfe des Tangens ausdrücken:

 .

Diese Lösung gilt, bis der Körper den höchsten Punkt seiner Bahn erreicht hat (also wenn v = 0 ist, das heißt für  ), daran anschließend muss man den Tangens hyperbolicus verwenden, um den folgenden Fall mit Luftwiderstand zu beschreiben.

DifferentialgleichungBearbeiten

Der Tangens ist eine Lösung der Riccati-Gleichung

 .

Faktorisiert man die rechte Seite, so erhält man

 

mit der imaginären Einheit  . Der Tangens (als komplexe Funktion) hat die Ausnahmewerte  ,  : Diese Werte werden niemals angenommen, da die konstanten Funktionen   und   Lösungen der Differentialgleichung sind und der Existenz- und Eindeutigkeitssatz ausschließt, dass zwei verschiedene Lösungen an derselben Stelle denselben Wert besitzen.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Tangensfunktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: tan – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  Wikiversity: Tangens und Kotangens – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Josef Laub (Hrsg.) Lehrbuch der Mathematik für die Oberstufe der allgemeinbildenden höheren Schulen. 2. Band. 2. Auflage. Hölder-Pichler-Tempsky, Wien 1977, ISBN 3-209-00159-6, S. 223.
  2. Per Dreisatz ist sin/cos = tan/1.
  3. Für den größten gemeinsamen Teiler   dieser Winkel ist
     
  4. Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, 4.3.67
  5. Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions. Dover Publications, New York 1964, ISBN 0-486-61272-4, 4.3.70