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Verbindungsgerade g zweier Punkte P und Q

Eine Verbindungsgerade ist in der Mathematik eine Gerade, die durch zwei vorgegebene Punkte verläuft. Verbindungsgeraden werden speziell in der euklidischen Geometrie und allgemeiner in Inzidenzgeometrien betrachtet. Die Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden zu zwei verschiedenen gegebenen Punkten wird in der Geometrie axiomatisch als Verbindungsaxiom gefordert.

Euklidische GeometrieBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sind   und   zwei verschiedene Punkte in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum, dann wird diejenige Gerade  , die diese beiden Punkte enthält, „Verbindungsgerade der Punkte   und  “ genannt und mit

    oder    

bezeichnet.

BerechnungBearbeiten

Nach Wahl eines kartesischen Koordinatensystems können Punkte in der euklidischen Ebene durch Zahlenpaare   und   beschrieben werden. Die Verbindungsgerade zweier Punkte kann dann über eine Geradengleichung angegeben werden. Die Zweipunkteform der Geradengleichung lautet in diesem Fall

 .

Eine Parameterform der Geradengleichung ist nach Wahl von   als Aufpunkt und   als Richtungsvektor

    mit    .

In baryzentrischen Koordinaten lautet die Geradengleichung der Verbindungsgeraden entsprechend

    mit    .

Die beiden vektoriellen Darstellungen gelten analog auch in drei- und höherdimensionalen Räumen.

AxiomatikBearbeiten

In einem axiomatischen Zugang zur euklidischen Geometrie muss die Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden zu zwei gegebenen Punkten explizit gefordert werden. Euklid verlangt die Existenz der Verbindungsgeraden in zwei Schritten. Die ersten beiden Postulate in seinem Werk Die Elemente lauten sinngemäß wie folgt:[1]

  1. Man kann von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen.
  2. Man kann eine begrenzte gerade Linie zusammenhängend gerade verlängern.

Damit existiert zu zwei verschiedenen Punkten stets eine Verbindungsgerade. Diese Postulate sind dabei konstruktiv zu sehen, das heißt, zu zwei gegebenen Punkten lässt sich die zugehörige Verbindungsgerade stets auch mit Zirkel und Lineal konstruieren.

In Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie werden die Existenz und die Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden als Axiome I1. und I2. innerhalb der Axiomengruppe I: Axiome der Verknüpfung aufgeführt. Hilbert formuliert die Axiome I1. und I2. wie folgt:[2]

I1. Zu zwei verschiedenen Punkten   gibt es stets eine Gerade  , auf der die beiden Punkte liegen.
I2. Zwei verschiedene Punkte   einer Geraden   bestimmen diese Gerade eindeutig.

InzidenzgeometrieBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ist allgemein   ein Inzidenzraum und sind   zwei verschiedene Punkte in diesem Raum, dann heißt eine Gerade   Verbindungsgerade dieser beiden Punkte, wenn folgende zwei Bedingungen gelten:

(V1)  
(V2)  

Notation und SprechweisenBearbeiten

Werden von den beiden Punkten und der Geraden die Bedingungen (V1) und (V2) erfüllt, so schreibt man oft

 

oder

 

oder auch kurz

 .

In dem hierzu üblichen Sprachgebrauch sagt man dann auch

  •   verbindet die Punkte   und  .
  •   gehört mit den Punkten   und   zusammen.
  • Die Punkte   und   liegen auf  .
  •   geht durch die Punkte   und  .
  • Die Punkte   und   inzidieren mit  .
  •   inzidiert mit den Punkten   und  .

oder Ähnliches.

Unter Benutzung dieses Sprachgebrauchs lassen sich die obigen Bedingungen (V1) und (V2) so in Worte fassen:

(V1’) Die Punkte   und   werden durch die Gerade   verbunden.
(V2’) Für die Punkte   und   gibt es höchstens eine Gerade, die sie verbindet.

VerbindungsaxiomBearbeiten

In den für die Geometrie besonders wichtigen Inzidenzräumen, also insbesondere in den euklidischen Räumen, in allen affinen Räumen und in allen projektiven Räumen gilt in Bezug auf Punkte und Verbindungsgeraden durchgängig die folgende grundlegende Bedingung (V):

(V) Zu je zwei verschiedenen Punkten des gegebenen Inzidenzraums existiert stets eine Verbindungsgerade, also eine Gerade derart, dass (V1) und (V2) erfüllt sind.

Man nennt diese Bedingung das Verbindungsaxiom.

In anderer Formulierung lässt sich das Verbindungsaxiom auch wie folgt aussprechen:

(V’) Zu je zwei verschiedenen Punkten des gegebenen Inzidenzraums gibt es genau eine Gerade, die diese beiden Punkte verbindet.

Teilräume und HüllensystemBearbeiten

Den in der Hauptsache in der Geometrie behandelten Inzidenzräumen – wie etwa den affinen und den projektiven Räumen, aber auch vielen anderen linearen Räumen wie z. B. den Blockplänen – ist gemeinsam, dass die Inzidenzrelation von der Elementrelation herrührt und somit die Geraden   Teilmengen der zugehörigen Punktmenge   sind.

Es ist also dann die Geradenmenge eine Teilmenge der Potenzmenge von  , folglich die Beziehung   gegeben. In diesem Falle beschreibt man den Inzidenzraum   kurz in der Form   anstatt in der Form  .[3]

Unter diesen Gegebenheiten nennt man eine Teilmenge   einen Teilraum von  , wenn mit je zwei verschiedenen Punkten   stets ihre Verbindungsgerade   in   enthalten ist, also hierfür stets   gilt.

Die Menge   der Teilräume von   bildet ein Hüllensystem.

Zugehöriger HüllenoperatorBearbeiten

Zum Hüllensystem   lässt sich in der üblichen Weise der zugehörige Hüllenoperator bilden. Diesen schreibt man oft als  . Für   gilt also

 .

Das bedeutet:

  ist der kleinste Teilraum von  , der   umfasst.

Im Falle, dass dabei   eine endliche Menge von Punkten ist, etwa  , schreibt man auch

 

oder auch

 .

Für   und   hat man  , also wiederum die Verbindungsgerade von   und  .

Beispiel der KoordinatenebeneBearbeiten

Die Koordinatenebene   über einem kommutativen Körper   gibt ein Standardbeispiel für einen Inzidenzraum  , in dem das Verbindungsaxiom gilt.[4] Hier ist die Punktmenge

 

und die Geradenmenge

 .

Die Geradenmenge   erhält man also dadurch, dass man alle möglichen Nebenklassen zu allen in   gelegenen Unterräumen der Dimension 1 bildet. Hat man hier zwei unterschiedliche Punkte  , so lässt sich die Verbindungsgerade in folgender Weise darstellen:

 

Das Standardbeispiel für dieses Konzept bieten die Geraden, die zwei Punkte der euklidischen Ebene verbinden.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Gerhard Hessenberg, Justus Diller: Grundlagen der Geometrie. 2. Auflage. Walter de Gruyter Verlag, Berlin 1967, S. 20, 220.
  • David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. Mit Supplementen von Dr. Paul Bernays (= Teubner-Studienbücher: Mathematik). 11. Auflage. Teubner Verlag, Stuttgart 1972, ISBN 3-519-12020-8, S. 3 ff. (MR1109913).
  • Helmut Karzel, Kay Sörensen, Dirk Windelberg: Einführung in die Geometrie (= Uni-Taschenbücher. Band 184). Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7, S. 11 ff.
  • Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie (= Springer-Lehrbuch). 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67643-0, S. 7, 48 ff., 52, 212.
  • Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. Ein Weg zur Geschichte der Mathematik (= Dokumente zur Geschichte der Mathematik). 3. Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-28179-0 (MR1086172).
  • Eberhard M. Schröder: Vorlesungen über Geometrie. 2. Affine und projektive Geometrie. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-15301-6, S. 2 ff. (MR1166803).
  • Otto Kerner, Joseph Maurer, Jutta Steffens, Thomas Thode, Rudolf Voller (Bearb.): Vieweg-Mathematik-Lexikon. Begriffe, Definitionen, Sätze, Beispiele für das Grundstudium. Vieweg Verlag, Braunschweig / Wiesbaden 1988, ISBN 3-528-06308-4, S. 311.

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. Herbert Meschkowski: Denkweisen großer Mathematiker. 3. Auflage, 1990, S. 20.
  2. David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 11. Auflage, 1972, S. 3 ff.
  3. Dabei wird die Elementrelation als selbstverständlich gegeben betrachtet und nicht weiter erwähnt.
  4. Koecher, Krieg: Ebene Geometrie. 2000, S. 48 ff.