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Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

trigonometrische Funktionen
Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel im Punkt , wobei für die Fläche zwischen der Geraden, ihrem Spiegelbild bezogen auf die -Achse und der Hyperbel steht. (Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen (zirkulären) Funktionen.) Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet.

Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen, auch Hyperbelsinus bzw. Hyperbelkosinus genannt; sie tragen die Symbole bzw. , in älteren Quellen auch und [1]. Der Kosinus hyperbolicus beschreibt unter anderem den Verlauf eines an zwei Punkten aufgehängten Seils. Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide (Kettenlinie) bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionenBearbeiten

  • Sinus hyperbolicus
 
  • Kosinus hyperbolicus
 

Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw. gerade Anteil der Exponentialfunktion ( ).

EigenschaftenBearbeiten

 
Sinus hyperbolicus (rot) und Kosinus hyperbolicus (blau) für reelle x.
  Sinus hyperbolicus Kosinus hyperbolicus
Definitionsbereich    
Wertebereich    
Periodizität keine keine
Monotonie streng monoton steigend   streng monoton fallend
  streng monoton steigend
Symmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung Achsensymmetrie zur Ordinate
Asymptotische
Funktionen
   
   
Nullstellen   keine
Sprungstellen keine keine
Polstellen keine keine
Extrema keine Minimum bei  
Wendestellen   keine

Spezielle WerteBearbeiten

  mit dem goldenen Schnitt  

Uneigentliches IntegralBearbeiten

Für den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere:

 

UmkehrfunktionenBearbeiten

Der Sinus hyperbolicus bildet   bijektiv auf   ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion, die man Areasinus hyperbolicus nennt.

Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall   bijektiv auf das Intervall   und lässt sich eingeschränkt auf   also invertieren. Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus hyperbolicus

Beide Umkehrfunktionen, Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus, lassen sich folgendermaßen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen:

 .
 .

AbleitungenBearbeiten

Die Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus:

 

StammfunktionenBearbeiten

 

Zusammenhänge (zwischen den beiden Funktionen und anderen)Bearbeiten

 
  (Eulersche Identität)
 
  (Hyperbelgleichung)

AdditionstheoremeBearbeiten

 

insbesondere gilt für  :

 

und für  :

 

SummenformelnBearbeiten

 

ReihenentwicklungenBearbeiten

Die Taylorreihe des Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt   lautet:

 

ProduktentwicklungenBearbeiten

 

Komplexe ArgumenteBearbeiten

Mit   gilt:

 

So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise:

Mit   gilt

 

Durch Koeffizientenvergleich folgt:

 

AnwendungenBearbeiten

Lösung einer DifferentialgleichungBearbeiten

Die Funktion

  mit  

löst die Differentialgleichung

 .

KettenlinieBearbeiten

Ein homogenes Seil, das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhängt, kann durch eine Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschrieben werden. Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie, Kettenkurve oder Katenoide.

Lorentz-TransformationBearbeiten

Mit Hilfe der Rapidität   kann man die Transformationsmatrix für eine spezielle Lorentztransformation (auch Lorentz-Boost) in x-Richtung folgendermaßen darstellen (für Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ähnliche Matrizen):

 

Man sieht eine große Ähnlichkeit zu Drehmatrizen; man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

KosmologieBearbeiten

Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf. Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch

 ,

wobei

 

eine charakteristische Zeitskala ist.   ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters,   der Dichteparameter für die Dunkle Energie. Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann-Gleichungen. Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf:

 .

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Dr. Franz Brzoska, Walter Bartsch: Mathematische Formelsammlung. 2. verbesserte Auflage. Fachbuchverlag Leipzig, 1956.