Eine erweiterte Funktion und der damit eng verbundene Begriff einer echten Funktion ist eine Funktion, deren Wertebereich um den symbolischen Wert unendlich erweitert wird. Dies erleichtert den Umgang mit der Funktion, da man sich auf die Urbildmengen von Interesse konzentrieren kann, allen anderen Mengen wird der Funktionswert unendlich zugewiesen. Dadurch kann unter Umständen auf Fallunterscheidungen verzichtet werden.

DefinitionBearbeiten

Gegeben ist eine Funktion   sowie eine Menge  , auf der die Funktion eine gewisse Eigenschaft von Interesse besitzt. Dann heißt die Funktion   mit

 

erweiterte Funktion zu  . Typische Eigenschaften von Interesse sind zum Beispiel Monotonie, Konvexität oder Wohldefiniertheit. Die erweiterte Funktion ist ebenfalls auf ganz   definiert. Die Menge

 

heißt der wesentliche Definitionsbereich von  . Ist  , so heißt   eine echte Funktion.

BeispieleBearbeiten

MonotonieBearbeiten

Als Beispiel betrachten wir die Funktion  , definiert durch  . Sie ist monoton fallend auf dem Intervall  . Um diese Eigenschaft nun auf ganz   zu übertragen, setzen wir  . Demnach gilt:

 

Die erweiterte Funktion ist nun nach den Rechenregeln mit unendlich monoton fallend auf ganz  .

KonvexitätBearbeiten

Ist   konvex auf der Menge  , so ist die erweiterte konvexe Funktion   durch

 

definiert. Mit den Rechenregeln für unendlich ist diese Funktion nun konvex auf ganz   und nicht nur auf der Menge  . Beispielsweise ist die Sinusfunktion konvex auf dem Intervall  . Somit lautet die erweiterte Funktion

 

Diese Funktion ist nun konvex auf ganz  .

DefinitionslückenBearbeiten

Betrachtet man die Funktion  , so ist diese an der Stelle   nicht definiert. Setzt man nun  , wobei   der Definitionsbereich ist, so gilt:

 

Die erweiterte Funktion ist jetzt auf ganz   definiert und es können Operationen mit der Funktion ausgeführt werden, ohne Rücksicht auf die Definitionslücke zu nehmen. Es darf aber nicht aus der erweiterten Funktion geschlossen werden, dass   gelte, da der Wert   erst im Nachhinein festgelegt wurde.

VerwendungBearbeiten

Erweiterte Funktionen finden sich in vielen Bereichen der Analysis, insbesondere der Optimierung. Hier bieten sie den Vorteil, dass man bei erweiterten Definitionen immer noch sinnvoll minimieren kann, aber keine formalen Probleme mit Definitionslücken oder nicht-konvexen Bereichen der Funktion bekommt.

LiteraturBearbeiten

  • Carl Geiger, Christian Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-42790-2.
  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).