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Zwei verschiedene Methoden, die reellen Zahlen durch Unendlichkeiten zu erweitern

Als erweiterte reelle Zahlen bezeichnet man in der Mathematik eine Menge, die aus dem Körper der reellen Zahlen durch Hinzufügen neuer Symbole für unendliche Elemente (auch: uneigentliche Punkte) entsteht. Man unterscheidet genauer zwischen den affin erweiterten reellen Zahlen, bei denen es zwei vorzeichenbehaftete uneigentliche Punkte gibt, und den projektiv erweiterten reellen Zahlen mit nur einem vorzeichenlosen uneigentlichen Punkt. Ohne den Zusatz affin bzw. projektiv wird der Begriff erweiterte reelle Zahlen in der Literatur üblicherweise gleichbedeutend mit affin erweiterte reelle Zahlen verwendet, in diesem Artikel wird dieser jedoch als gemeinsamer Oberbegriff für beide Erweiterungen genutzt.

Beispielsweise machen die affin erweiterten reellen Zahlen es möglich, die unendlichen Elemente als den Grenzwert von bestimmt divergenten Folgen anzusehen und somit solche Folgen analog zu konvergenten Folgen zu behandeln. Die Definition der Erweiterungen ist dementsprechend zunächst topologisch motiviert. Die Arithmetik der reellen Zahlen lässt sich dagegen auf die erweiterten reellen Zahlen nicht vollständig fortsetzen.

DefinitionBearbeiten

Die reellen Zahlen bilden mit ihrer üblichen Topologie einen lokalkompakten Raum. Durch geeignetes Hinzufügen uneigentlicher Punkte entsteht hieraus ein kompakter Raum.

  • Bei der affinen Erweiterung ergänzt man   um zwei Elemente   und   als vorzeichenbehaftete Unendlichkeiten zu  . Mit   werden zunächst einfach zwei beliebige Nicht-Elemente der reellen Zahlen bezeichnet.
  • Im Fall der projektiven Erweiterung betrachtet man die Einpunktkompaktifizierung   mit einem einzigen durch das Symbol   bezeichneten uneigentlichen Punkt.

TopologieBearbeiten

Jede in   offene Menge sei auch in   bzw.   offen. Zusätzlich wird eine Umgebungsbasis für die uneigentlichen Punkte angegeben.

Affiner FallBearbeiten

Für jedes   soll

 

eine offene Umgebung von   und

 

eine offene Umgebung von   sein. Hierdurch wird beispielsweise die durch   gegebene Folge   zu einer gegen   konvergenten Folge: Für jedes   sind fast alle Folgenglieder in   enthalten, nämlich all jene mit  .

Die Abbildung  , die durch

  für  ,  ,  

gegeben ist, ist ein Homöomorphismus. Topologisch ist   also völlig gleichwertig mit einem abgeschlossenen Intervall.

Die affin erweiterten reellen Zahlen bilden eine streng total geordnete Menge, indem die Ordnung der reellen Zahlen durch  ,   für alle   sowie   fortgesetzt wird. Die üblichen Schreibweisen   für offene,   und   für halb-offene und   für geschlossene Intervalle sind somit auch sinnvoll, wenn   und/oder   ist. Die Topologie von   ist zugleich die von dieser Ordnung definierte Ordnungstopologie.

Die Homöomorphie mit   zeigt, dass   metrisierbar ist. Allerdings lässt sich die Standardmetrik auf   nicht zu einer Metrik auf   fortsetzen: Hierzu müsste   offen sein, also ein   enthalten; hieraus würde aber

 

folgen.

Projektiver FallBearbeiten

Für jede positive reelle Zahl   soll das Komplement von   offene Umgebung von   sein. Allgemeiner folgt so, wie für die Einpunktkompaktifizierung üblich, dass für jede kompakte Teilmenge   das Komplement   eine offene Umgebung von   ist. Hierdurch wird beispielsweise auch die durch   gegebene Folge   zu einer gegen   konvergenten Folge: Für jedes   sind fast alle Folgenglieder im Komplement von   enthalten, d. h. es gilt  . Allgemein wird aus jeder dem Betrage nach bestimmt divergenten reellen Folge eine in   gegen   konvergente.

Mit dieser Topologie wird   homöomorph zur Kreislinie

 

Ein Homöomorphismus   ist beispielsweise gegeben durch

  für   und  .

Ebenso wenig wie die Kreisline lässt sich daher   in mit der Topologie verträglicher Weise total ordnen. Üblicherweise belässt man es dabei, dass   mit endlichen Zahlen unvergleichbar ist.

Wie im affinen Fall ist auch die projektive Erweiterung metrisierbar, jedoch nicht durch Fortsetzen der reellen Standardmetrik.

Man kann sich   auch als aus   durch Zusammenkleben der Punkte   und   entstanden denken.

Zudem entspricht   der reellen projektiven Geraden  , dies motiviert auch die Bezeichnung.

Gemeinsame EigenschaftenBearbeiten

Sowohl die affine als auch die projektive Erweiterung bilden einen kompakten Raum, in dem die reellen Zahlen eine dichte Teilmenge sind. Hieraus ergibt sich, dass jede Zahlenfolge dann eine konvergente Teilfolge (und sei es gegen einen uneigentlichen Punkt) enthält. Nur bestimmt bzw. betragsmäßig bestimmt divergente reelle Folgen werden in der affin bzw. projektiven Erweiterung zu konvergenten Folgen. Eine Folge wie die durch   gegebene ist auch in den erweiterten reellen Zahlen divergent. In der Stone-Čech-Kompaktifizierung der reellen Zahlen dagegen konvergieren alle beschränkten Folgen.

Vereinfachte SchreibweisenBearbeiten

Die Einführung der (affin) erweiterten reellen Zahlen erlaubt es zunächst, die Schreibweisen   und   analog zu   mit endlichem   zu behandeln, ohne dies als eigene Notation oder Sprechweise gesondert einzuführen. Auch ohnedies lediglich symbolische Schreibweisen wie   für bestimmt divergente Folgen gliedern sich nahtlos in den Fall konvergenter Folgen ein.

ArithmetikBearbeiten

Es stellt sich die Frage, wie die mathematischen Grundrechenarten an die neuen unendlichen Stellen angepasst werden sollen. Im Sinne des Permanenzprinzips sollen hierbei alte Rechenregeln fortbestehen, aber durchgängig ist dies nicht machbar, da die erweiterten reellen Zahlen keinen vollständig geordneten Körper bilden können – ein solcher müsste wieder isomorph (und homöomorph) zu   sein. Mindestens für einige Argumente bleiben die Operationen also undefiniert.

Für   bzw.   möchte man für möglichst viele   einen wiederum in   liegenden Wert für die Ausdrücke

 

derart definieren, dass die üblichen Rechengesetze (insb. Assoziativgesetz und Kommutativgesetz von Addition und Multiplikation sowie das Distributivgesetz) auch für diese Erweiterung gültig bleiben. Genauer lautet eine sinnvolle Forderung: Stimmen zwei Ausdrücke in endlich vielen Variablen im Endlichen stets überein, sofern beide Seiten (also auch alle benutzten Teilausdrücke) definiert sind, und ist auch nicht aus trivialen Gründen stets eine Seite undefiniert, so soll diese Gleichheit der beiden Ausdrücke auch in der Erweiterung gelten, also wenn auch unendliche Werte für die Variablen zugelassen sind und alle Teilausdrücke definiert sind. Eine solche Gleichung ist beispielsweise  . Im Endlichen gilt dies für  , d. h. sobald   und   definiert sind (das Produkt ist hier immer definiert). Wenn für den Fall   in der Erweiterung   definiert wird, muss entweder   gelten oder das Produkt   undefiniert sein.

Zusätzlich zu den Grundrechenarten interessiert noch die Potenzrechnung, d. h. man möchte dem Ausdruck   für möglichst viele   einen Wert so zuweisen, dass die Potenzgesetze  ,  ,   immer dann gelten, wenn alle auftretenden Teilausdrücke definiert sind.

Rechenregeln aus StetigkeitBearbeiten

Die genannten (algebraisch formulierten) Bedingungen sind auf jeden Fall dann erfüllt, wenn die Operationen stetig fortgesetzt werden. Es gibt jedoch beispielsweise keine stetige Abbildung   bzw.  , die auf   mit der Addition übereinstimmt. Daher ist die stetige Fortsetzung grundsätzlich nur partiell möglich. Durch möglichst weitreichende stetige Fortsetzung ergeben sich folgende Rechenregeln, bei denen für auf diesem Wege nicht zu definierende Ausdrücke der Wert „?“ notiert wird:

GrundrechenartenBearbeiten

in   in  
Vergleiche
  für endliches  
  ist mit endlichen   nicht vergleichbar
Negation
 
 
Addition und Subtraktion
  für endliches  
 
 
  für endliches  
 
 
Multiplikation
  für  
  für  
  für   (inklusive  )
 
 
Kehrwerte
 
 
 
 
Division
  für endliches  
  für  
  für  
  für endliches  
  für endliches  
  für  
 
  für   beliebig
 
 

PotenzenBearbeiten

 
Definitionsbereich (rot) von   im Reellen und Kandidaten (blau) für stetige Fortsetzungen. Die unendlich langen Achsen sind auf ein endliches Intervall gestaucht, mit der Null in der jeweiligen Mitte.

Im Folgenden wird nur im affinen Fall   die stetige Fortsetzung des Potenzierens angegeben. Hierbei ist zu beachten, dass bereits im Endlichen   nur (reell) definiert ist, wenn   (und   beliebig) oder   und   oder   und  .

Ausdruck Wert Bedingung
     
   
?   oder  
      oder  
   
?  
      und   ist keine ungerade ganze Zahl
?   ist eine negative ungerade ganze Zahl
?  
     
   
?  
      ganzzahlig
   
    und ganzzahlig

Der Wert von   mit negativem   und endlichem nicht-ganzen   bleibt undefiniert, da diese Stellen nicht zum Abschluss des Definitionsbereiches der endlichen Potenzfunktion gehören. Zu den stetigen Fortsetzungen mit nichtpositiver Basis   ist zu beachten, dass diese Stellen zwar zum Abschluss des Definitionsbereiches gehören, aber keine inneren Punkte des Abschlusses sind. Es gibt daher gänzlich außerhalb des Definitionsbereiches liegende Folgen, die gegen diese Stellen konvergieren.

FunktionswerteBearbeiten

Einige Standardfunktionen lassen sich stetig ins Unendliche zu Abbildungen   fortsetzen, so etwa

  •  
  •  
  •   und   (in   ist   jedoch nicht definiert).

In der Maßtheorie wird eine Funktion   mit einer nichtleeren Menge   numerisch genannt. Numerische Funktionen können als Supremum oder Infimum einer Folge reeller Funktionen auftreten. Auch in der Optimierung werden teilweise aus praktischen Gründen die Funktionswerte   zugelassen. Funktionen, die diese Werte annehmen heißen erweiterte Funktionen.

Undefinierte AusdrückeBearbeiten

Mit der Methode der stetigen Fortsetzung lässt sich in   für die Grundrechnungsarten-Ausdrücke

 

bzw. in   für

 

kein Wert angeben. Prinzipiell wäre es denkbar, eine geeignete – notwendig unstetige – Festsetzung zu finden. Das ist für die genannten Ausdrücke jedoch nicht möglich, ohne das Permanenzprinzip zu verletzen, d. h. ohne Widerspruch zu den üblichen Rechenregeln. Dies zeigt im Einzelnen die folgende Aufstellung:

  •  :
    Wegen   für alle   folgt durch das Permanenzprinzip, dass   gelten sollte, wenn der Ausdruck definiert ist. Dies führt jedoch auf den Widerspruch  .
  •   in  :
    Analog, da  .
  •  :
    Wegen   für alle   soll   gelten. Andererseits gilt  , soweit die linke Seite definiert ist. Demnach ergibt sich der Widerspruch  
  •  :
    Wegen   und   ergibt sich  
  •  :
    Auch hier folgt  .
  •   in  :
    Aus   folgt, dass   gelten soll, folglich  . Wegen   folgt  .

Den aufgelisteten Ausdrücken einen Wert zuzuweisen, ist also auf „vernünftige“ Weise nicht möglich. Abgesehen von   mit   werden die so in   nicht definierten Ausdrücke auch als unbestimmte Ausdrücke bezeichnet, für die es allerdings in bestimmten Einzelfällen gleichwohl möglich ist, mittels der Regel von de l’Hospital gültige Zahlenwerte zu berechnen.

Abweichend von obiger Liste wird in einigen Gebieten der Mathematik, namentlich der Maßtheorie, gewöhnlich   vereinbart, da auf diese Weise zahlreiche Aussagen konziser[1] zu fassen sind. In dem Fall ist darauf zu achten, dass niemals der Kehrwert von unendlich benutzt wird, bzw. es ist auf die Festsetzung   zu verzichten. Andernfalls müssten die Ausnahmen der gewöhnlichen Rechenregeln (nämlich, dass nicht immer   gilt) regelmäßig durch Fallunterscheidungen bedacht werden, und dies machte den Vorteil der Abkürzung wieder wett.

Algebraische Fortsetzung des PotenzierensBearbeiten

Anders als bei den vier Grundrechenarten ist es auch unabhängig von Stetigkeitsbetrachtungen möglich, konsistent (aber unstetig)

 

zu definieren.[2] Dass zumindest kein anderer Wert für diese Ausdrücke definiert werden kann, ergibt sich direkt aus dem Permanenzprinzip, da im Endlichen   gilt. Diese Festsetzungen sind konsistent in dem Sinne, dass die Potenzgesetze  ,   und   gelten, wann immer alle Teilausdrücke definiert sind.

Im Zusammenhang mit Grenzwertuntersuchungen jedoch werden die Ausdrücke  ,   und sogar   mit zu den unbestimmten Ausdrücken gezählt, da in dem Zusammenhang Stetigkeit ausschlaggebend ist. In bestimmten Einzelfällen allerdings ist es auch hier möglich, mittels der Regel von de l’Hospital für die og. Ausdrücke gültige Zahlenwerte zu berechnen.

Das Lösen von GleichungenBearbeiten

Beim Lösen von Gleichungen ist Vorsicht geboten, wenn man mit Unendlichkeiten arbeitet, da zusätzliche Lösungen existieren können. Besonders offensichtlich wird dies bei der Gleichung  , die für endliche   stets genau eine Lösung hat. Dagegen hat   gar keine und   unendlich viele. Einige weitere Beispiele, die sich aus den obigen Rechenregeln ergeben, zeigt die folgende Tabelle:

Gleichung Lösungen in   Zusätzlich in   Zusätzlich in  
     
       
       

Beim Umformen von Gleichungen kann nicht mehr allgemein auf die Kürzungseigenschaft der Addition (aus   folgt  ) zurückgegriffen werden, sondern nur unter der Voraussetzung, dass   endlich ist. Die Kürzungseigenschaft der Multiplikation (aus   folgt  ), die auch im Endlichen nur unter der Voraussetzung   gilt, ist ebenfalls für unendliches   ungültig. Die letzte Gleichung aus obiger Tabelle,  , lässt sich nicht äquivalent umformen zu  , denn diese hat im Gegensatz zu ersterer keine unendliche Lösung (für   ist die rechte Seite nicht definiert).

Komplexe ZahlenBearbeiten

Wenn man statt von den reellen von den komplexen Zahlen   ausgeht, betrachtet man hauptsächlich die zu einer Sphäre   homöomorphe Einpunktkompaktifizierung   (Riemannsche Zahlenkugel). Die Rechenregeln für die Grundrechenarten stimmen hierbei im Wesentlichen mit denen für die Einpunktkompaktifizierung von   überein. Es gibt auch hier alternative Ansätze, bei denen   zu einer abgeschlossenen Kreisscheibe oder zur projektiven Ebene kompaktifiziert wird.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. konzis (Eintrag „konzis“ im Wiktionary)
  2. Wolfram Alpha liefert zwar Indeterminate als Ergebnis von   (Eingabe: 1^Infinity), andererseits 1 für   (Eingabe: prod_{n=1}^Infinity 1).

WeblinksBearbeiten