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2-Sphäre

Unter einer Sphäre versteht man in der Mathematik die Oberfläche einer Kugel und die Verallgemeinerung davon auf beliebig hohe Dimensionen. Von erheblicher Bedeutung für viele Untersuchungen ist hierbei die Einheitssphäre, also die Oberfläche der Einheitskugel im n-dimensionalen euklidischen Raum. Allgemeiner wird, insbesondere in Topologie und Differentialgeometrie, auch jeder zur Kugeloberfläche homöomorphe topologische Raum als Sphäre bezeichnet, siehe Topologische Sphäre.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

EinheitssphäreBearbeiten

Die Einheitssphäre   ist die Menge der Punkte im  -dimensionalen euklidischen Raum   mit Abstand eins vom Ursprung. Sie ist definiert als

 ,

wobei   die euklidische Norm ist. Die Einheitssphäre   kann als Rand der Einheitskugel   aufgefasst werden und wird daher auch mit   bezeichnet.

Allgemeine SphärenBearbeiten

Ist nun   ein beliebiger Punkt im  -dimensionalen Raum, dann ist die  -Sphäre   mit Radius   um diesen Punkt   definiert durch

 .

Jede Sphäre   entsteht aus der zugehörigen Einheitssphäre   durch Skalierung mit dem Faktor   und Translation um den Vektor  .

BeispieleBearbeiten

Der abgeschlossenen n-dimensionalen Einheitskugel des   lässt sich jeweils eine (n-1)-dimensionale Sphäre als Randmannigfaltigkeit zuordnen:

  • Die 1-Kugel   ist das Intervall [−1,1]. Dementsprechend besteht die 0-Sphäre   nur aus den beiden Punkten +1 und −1. Sie ist als einzige Sphäre nicht zusammenhängend.
  • Die 3-Kugel   ist die Vollkugel im dreidimensionalen Raum. Die 2-Sphäre   ist die Oberfläche der Einheitskugel. Sie ist einfach zusammenhängend – wie alle höherdimensionalen Sphären. Sie wird durch Kugelkoordinaten beschrieben.
  • Die 3-Sphäre   ist nicht mehr anschaulich vorstellbar. Sie ist eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit im 4-dimensionalen Raum  . Die 3-Sphäre lässt sich als Menge der Quaternionen vom Betrag 1 auffassen und erhält durch deren Multiplikation eine Gruppenstruktur, welche gerade   entspricht.

Inhalt und VolumenBearbeiten

Der Flächeninhalt beziehungsweise das Volumen einer beliebigen (n−1)-Sphäre vom Radius   im euklidischen Raum lässt sich mit der Formel

 

berechnen, wobei   das Volumen der  -dimensionalen Einheitskugel und   die Gammafunktion bezeichnen.

Die Sphäre in der Topologie und GeometrieBearbeiten

In der Mathematik, insbesondere in Differentialgeometrie und Topologie, wird der Begriff Sphäre in der Regel mit einer anderen (allgemeineren) Bedeutung verwendet: die n-dimensionale Sphäre   ist die n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre im   ist.

Eine wie oben definierte Sphäre   mit der von der euklidischen Metrik des   induzierten riemannschen Metrik wird in der Differentialgeometrie als runde Sphäre bezeichnet.

VerallgemeinerungenBearbeiten

Sphären in normierten RäumenBearbeiten

 
Einheitssphären bezüglich der Maximumsnorm und der Summennorm in drei Dimensionen

Allgemeiner lässt sich der Begriff der Sphäre in normierten Räumen fassen. Ist   ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen mit zugehöriger Norm  , dann ist die Normsphäre   um den Vektor   mit Radius   definiert als die Menge[1]

 .

Die so entstehenden Sphären sind zwar punktsymmetrisch bezüglich  , aber nicht mehr notwendigerweise rund (wie im Fall der euklidischen Norm), sondern können beispielsweise auch Ecken und Kanten besitzen (wie im Fall der Maximumsnorm und der Summennorm). Ist   der Nullvektor und der Radius  , so spricht man wieder von einer Einheitssphäre. Alle Normsphären entstehen aus der zugehörigen Einheitssphäre durch Skalierung mit dem Faktor   und Translation um den Vektor  . Die Einheitssphäre ist wiederum der Rand der zugehörigen Einheitskugel.

Sphären in metrischen RäumenBearbeiten

Noch weiter lassen sich Sphären in metrischen Räumen fassen. Ist   eine beliebige Menge mit einer Metrik  , dann ist die metrische Sphäre   um den Punkt   mit Radius   definiert als die Menge[2]

 .

Im Gegensatz zu Sphären in normierten Räumen sind metrische Sphären im Allgemeinen nicht translationsinvariant und dementsprechend hat die metrische Einheitssphäre keine besondere Bedeutung mehr. In bestimmten metrischen Räumen kann die Einheitssphäre sogar leer sein. Weiterhin kann eine metrische Sphäre im Allgemeinen nicht mehr als der Rand der zugehörigen metrischen Kugel angesehen werden.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Commons: Spheres – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wolfgang Walter: Analysis 2. Springer, 2002, S. 17.
  2. Rolf Walter: Einführung in die Analysis I. de Gruyter, 2007, S. 272.