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Quaternion

Zahlensystem, das den Zahlenbereich über die komplexen Zahlen hinaus erweitert
(Weitergeleitet von Quaternionen)

Die Quaternionen (Singular: die Quaternion, von lat. quaternio, -ionis f. „Vierheit“) sind ein Zahlbereich, der den Zahlbereich der reellen Zahlen erweitert – ähnlich den komplexen Zahlen und über diese hinaus. Beschrieben (und systematisch fortentwickelt) wurden sie ab 1843 von Sir William Rowan Hamilton;[1] sie werden deshalb auch hamiltonsche Quaternionen oder Hamilton-Zahlen genannt. Olinde Rodrigues entdeckte sie bereits 1840 unabhängig von Hamilton.[2] Trotzdem wird die Menge der Quaternionen meistens mit bezeichnet.

Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (oder Divisionsring), bei dem die Multiplikation auch von der Reihenfolge der Faktoren abhängt, also nicht kommutativ ist. Das heißt, es gibt Quaternionen und , bei denen

ist. Einige aus dem Reellen bekannte Rechenregeln gelten deshalb für Quaternionen nicht, jedoch gelten Assoziativ- und Distributivgesetz sowie multiplikative Invertierbarkeit, d. h. die Existenz des Inversen zu jedem .

Die Quaternionen waren der erste derartige Gegenstand in der Geschichte der Mathematik.[3]

Quaternionen erlauben in vielen Fällen eine rechnerisch elegante Beschreibung des dreidimensionalen euklidischen Raumes und anderer Räume, insbesondere im Kontext von Drehungen. Daher verwendet man sie unter anderem in Berechnungs- und Darstellungsalgorithmen für Simulationen sowie zur Auswertung kristallographischer Texturen.[4] Sie sind aber auch als eigenständiges mathematisches Objekt von Interesse und dienen so zum Beispiel im Beweis des Vier-Quadrate-Satzes.

Inhaltsverzeichnis

KonstruktionBearbeiten

Die Quaternionen entstehen aus den reellen Zahlen durch Hinzufügen (Adjunktion) dreier neuer Zahlen, denen in Anlehnung an die komplex-imaginäre Einheit die Namen  ,   und   gegeben werden. So ergibt sich ein vierdimensionales Zahlensystem (mathematisch: ein Vektorraum) mit einem Realteil, der aus einer reellen Komponente besteht, und einem Imaginärteil aus drei Komponenten, der auch Vektorteil genannt wird.

Jede Quaternion lässt sich eindeutig in der Form

 

mit reellen Zahlen  ,  ,  ,   schreiben. Damit bilden die Elemente   eine Basis, die Standardbasis der Quaternionen über  . Die Addition ist komponentenweise und wird vom Vektorraum geerbt. Multiplikativ werden die neuen Zahlen  ,  ,   gemäß den Hamilton-Regeln

 

verknüpft. Die Skalarmultiplikation  , die ebenfalls vom Vektorraum geerbt wird[5] und bei der die Skalare als mit jedem Element vertauschbar angesehen werden, zusammen mit der Addition, dem Rechtsdistributivgesetz und den Hamilton-Regeln erlauben es, die Multiplikation von der Basis auf alle Quaternionen zu erweitern. Da so auch jeder Skalar   als   in   eingebettet wird, kann   als Unterring von   aufgefasst werden.

Die so definierte Multiplikation ist assoziativ, erfüllt die beiden Distributivgesetze[6] und macht so die Quaternionen zu einem Ring. Sie ist allerdings nicht kommutativ, d. h. für zwei Quaternionen   und   sind die beiden Produkte   und   im Allgemeinen verschieden (s. u.). Das Zentrum von  , also die Menge derjenigen Elemente der multiplikativen Gruppe von  , die mit allen Elementen kommutieren, ist  .

Die Quaternionen bilden einen Schiefkörper (Divisionsring), da es zu jeder Quaternion   eine inverse Quaternion   gibt mit

  .

Wegen der fehlenden Kommutativität werden Notationen mit Bruchstrich, wie z. B.  , vermieden.

Des Weiteren sind die Quaternionen eine vierdimensionale Divisionsalgebra über   – und bis auf Isomorphie die einzige.

SchreibweiseBearbeiten

Im weiteren Text werden folgende Schreibweisen benutzt:

Ist   eine Quaternion, dann werden ihre (reellen) Komponenten mit   bezeichnet, und diese sind folgendermaßen zugeordnet

  .

Gelegentlich wird eine vektorielle Schreibweise benötigt. Dabei werden bspw. die Komponenten   zu einem 3-dimensionalen Vektor   zusammengefasst, so dass man   mit dem 4-dimensionalen Vektor   identifizieren kann.[7]

Analoge Abmachungen sollen für andere Buchstaben wie   etc. gelten.

In mancher älteren Literatur wurden Quaternionen mit großen Frakturbuchstaben und die imaginären Einheiten als Einheitsvektoren mit kleinen   in Fraktur bezeichnet, z. B. so:

 

mit   .

GrundrechenartenBearbeiten

Die Konstruktion der Quaternionen ist der der komplexen Zahlen analog, allerdings wird nicht nur eine neue Zahl hinzugefügt, sondern deren drei, die mit  ,   und   bezeichnet werden.

Die Linearkombinationen

 

über der Basis   spannen mit reellen Komponenten   den 4-dimensionalen Vektorraum der Quaternionen   auf. Als Vektorraum ist   isomorph zu  . Das Basiselement  , das die reellen Zahlen injektiv einbettet (und zugleich das neutrale Element der Multiplikation darstellt), wird in der Linearkombination meist weggelassen. Die Addition und Subtraktion geschieht komponentenweise wie in jedem Vektorraum.

Vom Vektorraum wird auch die Skalarmultiplikation übernommen, also die linke und rechte Multiplikation mit einer reellen Zahl, die distributiv zu jeder Komponente multipliziert wird. Diese Skalarmultiplikation ist eine Einschränkung der Hamilton-Multiplikation, die auf ganz   definiert ist. Die Hamilton-Multiplikation der Basiselemente untereinander oder etwas umfassender innerhalb der Menge

 

geschieht nach den Hamilton-Regeln

  •  
 
  •  
 
  •  
 .

Diese Regeln zusammen mit der Vertauschbarkeit von   mit jedem anderen Element geben eine vollständige Tafel für eine Verknüpfung vor, die sich als assoziativ erweist und   zu einer Gruppe macht – der Quaternionengruppe.

Unter Voraussetzung der Regel   (und der Gruppenaxiome) ist die Kombination aus   und  , in der das zyklische und antizyklische Verhalten der drei nicht-reellen Quaternionen-Einheiten zum Ausdruck kommt, ersetzbar durch die Einzelregel

  •  
 .

Diese Einzelregel   könnte auch durch jede der fünf alternativen Einzelregeln  ,  ,  ,   oder   ersetzt werden.

Mithilfe dieser Ersetzungsregeln, dem Assoziativgesetz und (linkem wie rechtem) Distributivgesetz lässt sich die Multiplikation auf ganz   fortsetzen. Die   kann man wie anti-kommutierende Variablen behandeln. Treten Produkte von zweien von ihnen auf, so darf man sie nach den Hamilton-Regeln ersetzen.

Die ausgearbeiteten Formeln für die 2 Verknüpfungen von zwei Quaternionen

    und    

lauten

  •    
  (Addition)
  •  
 
 
 
  (Multiplikation)[8]

Hiermit sind die für einen Ring erforderlichen 2 Verknüpfungen definiert. Es ist leicht nachgerechnet, dass alle Ring-Axiome erfüllt sind.

Das additive Inverse ist (wie in jedem Vektorraum) das Produkt mit dem Skalar –1. Die Subtraktion ist die Addition dieses Inversen.

Die für einen Schiefkörper erforderliche Division muss wegen der fehlenden Kommutativität durch eine Multiplikation mit dem (multiplikativen) Inversen ersetzt werden (siehe Inverses und Division).[9]

Grundlegende BegriffeBearbeiten

Skalarteil und VektorteilBearbeiten

Aufgrund der besonderen Stellung der Komponente   einer Quaternion

 

bezeichnet man sie – wie bei den komplexen Zahlen – als Realteil oder Skalarteil

  ,

während die Komponenten   zusammen den Imaginärteil oder Vektorteil

 

bilden. Häufig identifiziert man den Vektorteil auch mit dem Vektor  .

KonjugationBearbeiten

Zu jeder Quaternion

 

ist die konjugierte Quaternion definiert als

  .

Da hier der Imaginärteil mit seinen Einheitsvektoren verknüpft bleibt und der Realteil als reelle Zahl eindeutig in die Quaternionen einzubetten ist, ergeben sich die einfachen Beziehungen

 

und

  ,

aus denen sich unmittelbar

 

und

 

ausrechnet.[10]

Ist eine Quaternion gleich ihrer Konjugierten, so ist sie reell, d. h. der Vektorteil ist null. Ist eine Quaternion gleich dem Negativen ihrer Konjugierten, so ist sie eine reine Quaternion, d. h. der Skalarteil ist null.

Weitere wichtige Eigenschaften der Konjugation sind:

  •  

Die Konjugation ist eine Involution.

  •   und
      für reelle Zahlen  
Die Konjugation ist  -linear.
  •  

Die Konjugation ist ein involutiver Antiautomorphismus.

  •        

Die Konjugation lässt sich „mit arithmetischen Mitteln“ darstellen.[11]

SkalarproduktBearbeiten

Das Skalarprodukt   zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im  , ist definiert durch

  .

Es gilt

  .

Es ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform, über die sich Norm und Betrag definieren lassen und mit der Winkel und Orthogonalität bestimmt werden können.

Ferner kann man damit die einzelnen Komponenten einer Quaternion isolieren:

  .

Das aus der Physik weit verbreitete Vorgehen, das Skalarprodukt abkürzend wie eine Multiplikation mit dem Mittepunkt “ zu notieren, wird auch bei den Quaternionen häufig angewandt, wobei hier die Verwechslungsgefahr zwischen Quaternionenmultiplikation und Skalarprodukt hoch ist.

Im Folgenden verwenden wir folgende Konvention:

  • Das Quaternionenprodukt wird stets ohne Benutzung des Mittepunkts durch Aneinanderreihung der Faktoren notiert.
  • Das Skalarprodukt, und zwar sowohl das 4- wie das 3-dimensionale, wird in Multiplikationsschreibweise mit dem Mittepunkt „ “ notiert.

KreuzproduktBearbeiten

Das Kreuzprodukt zweier Quaternionen   ist das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ihrer Vektorteile und bis auf den Faktor 2 ihr Kommutator. Ist   und  , so ist

 

Quaternionenmultiplikation als Skalar- und KreuzproduktBearbeiten

Identifiziert man Quaternionen

 
und

 

mit Paaren aus einem Skalar   und einem Vektor  

    mit    
bzw.

    mit     ,

so lässt sich die Multiplikation mithilfe des (dreidimensionalen) Skalarprodukts und Kreuzprodukts beschreiben:

  .

Zwei Quaternionen sind demnach genau dann miteinander vertauschbar, wenn ihr Kreuzprodukt 0 ist, wenn also ihre Vektorteile als reelle Vektoren linear abhängig sind (s. a. Einbettung der komplexen Zahlen).

Norm und BetragBearbeiten

Das Skalarprodukt einer Quaternion   mit sich selbst, welches gleich dem Quaternionenprodukt mit der Konjugierten ist, wird Norm genannt:

  .[12]

Insbesondere ist dieser Wert reell und nichtnegativ.

Die Quadratwurzel hieraus

 

wird Betrag oder Länge der Quaternion   genannt und stimmt überein mit Betrag oder euklidischer Länge des Vektors  . Er erfüllt die wichtige Eigenschaft

  ,

die Multiplikativität des Betrags. Mit dem Betrag werden die Quaternionen zu einer reellen Banachalgebra.

Inverses und DivisionBearbeiten

Bei einer nicht-kommutativen Multiplikation muss man die Gleichungen

 
und

 

unterscheiden. Wenn das Inverse   existiert, dann sind

 
bzw.

 

respektive Lösungen, die nur dann übereinstimmen, wenn   und   kommutieren, insbesondere wenn der Divisor   reell ist. In solch einem Fall kann die Schreibweise   verwendet werden – bei allgemeinen Divisionen wäre sie nicht eindeutig.

Wenn zusätzlich   existiert, gilt die Formel

 ,

denn

       und       .

Für

 

ist die Norm

 

reell und positiv. Die Quaternion

 

erfüllt dann die Bedingungen des Rechts-

 

und des Links-Inversen

 

und kann deshalb als das Inverse schlechthin von   bezeichnet werden.

Reine QuaternionBearbeiten

Eine Quaternion, deren Vektorteil 0 ist, wird mit der ihrem Skalarteil entsprechenden reellen Zahl identifiziert.

Eine Quaternion, deren Realteil 0 ist (äquivalent: deren Quadrat reell und nichtpositiv ist), nennt man rein, rein imaginär oder vektoriell. Die Menge der reinen Quaternionen wird als   oder   notiert. Sie ist ein dreidimensionaler reeller Vektorraum mit Basis  . Für reine Quaternionen nimmt die Multiplikation eine besonders einfache Form an:

  .

EinheitsquaternionBearbeiten

Eine Einheitsquaternion (auch: normierte Quaternion, Quaternion der Länge 1) ist eine Quaternion, deren Betrag gleich 1 ist. Für sie gilt (analog zu den komplexen Zahlen)

 .

Für eine beliebige Quaternion   ist

 

eine Einheitsquaternion, die man manchmal auch als das Signum oder den Versor von   bezeichnet.

Das Produkt zweier Einheitsquaternionen und die Inverse einer Einheitsquaternion sind wieder Einheitsquaternionen. Die Einheitsquaternionen bilden also eine Gruppe.

Geometrisch kann man die Menge der Einheitsquaternionen als die Einheits-3-Sphäre   im vierdimensionalen euklidischen Raum und damit als Lie-Gruppe interpretieren, mit dem Raum der reinen Quaternionen als zugehöriger Lie-Algebra. Die Darstellung als komplexe Matrizen verdeutlicht die umkehrbar eindeutige Entsprechung der Einheitsquaternionen mit der speziellen unitären Gruppe  .

Die einzigen reellen Einheitsquaternionen sind  . Sie machen auch das Zentrum von   aus.

Reine EinheitsquaternionBearbeiten

Einheitsquaternionen, die auch reine Quaternionen sind, lassen sich als diejenigen Quaternionen charakterisieren, deren Quadrate   ergeben:

 .[13]

Sie liegen in der Äquatorhyperebene der 3-Sphäre   und machen die Einheits-2-Sphäre   des dreidimensionalen Raums   aus.

Einbettung der komplexen ZahlenBearbeiten

Jede Quaternion   mit Quadrat   definiert einen Einbettungsisomorphismus   der komplexen Zahlen in die Quaternionen

 

mit   und   als imaginärer Einheit der komplexen Zahlen. Dabei sind die Bildmengen der   und   entsprechenden Einbettungen identisch:  .

Eine jede solche Quaternion darf   genannt werden, eine senkrechte dazu   und ihr Produkt  .[14] Jede nicht-reelle Quaternion liegt in genau einer solchen Einbettung von   . Zwei Quaternionen sind genau dann vertauschbar, wenn es eine gemeinsame Einbettung gibt.

Zwei verschiedene Bilder haben die reelle Achse zum Durchschnitt.

So betrachtet, sind die Quaternionen eine Vereinigung komplexer Ebenen.

PolardarstellungBearbeiten

Jede Einheitsquaternion   kann auf eindeutige Weise in der Form

 
mit dem Polarwinkel[15] von  
 
und der reinen Einheitsquaternion
 

dargestellt werden.

Mit der verallgemeinerten Exponentialfunktion lässt sich dies wegen   auch schreiben als

 

mit der reinen Quaternion  . Will man also eine reine Quaternion   exponentiieren, so ist   und die reine Einheitsquaternion   zu bilden, und es ergibt sich die Einheitsquaternion

 .

Der Fall       lässt sich stetig ergänzen. Damit ist die Exponentialabbildung   surjektiv – und bijektiv       bei Einschränkung auf  , denn es ist       für unendlich viele   mit  . Sie ist stetig, wegen der Nicht-Kommutativität der Multiplikation aber kein Homomorphismus[16].

Allgemein lässt sich jede nicht-reelle Quaternion eindeutig in der Form

 
mit dem Polarwinkel von  
 
und der reinen Einheitsquaternion (der reinen und normierten Quaternion von  )
 

schreiben. Durch die Festlegung   ist  , so dass   in dieselbe Richtung wie der Vektorteil   zeigt.

Jede nicht reell-negative Quaternion schreibt sich eindeutig als

 

mit einer reinen Quaternion   mit    .

Diese Darstellungen sind der Polarform komplexer Zahlen

 

(mit   als imaginärer Einheit) analog. Für die Funktionalgleichung

 

müssen   allerdings kommutieren[16].[17]

FunktionentheorieBearbeiten

Exponentialfunktion, LogarithmusBearbeiten

Das Exponential einer nicht-reellen Quaternion   ist:

 

mit   .

Der (natürliche) Logarithmus einer nicht-reellen Quaternion   ist:

  .[18]

Für nicht-reelles   sind sie Umkehrfunktionen voneinander

 

und, falls  ,

  .

Für nicht-reelles, mit   kommutierendes   gelten die Funktionalgleichungen

 

und

  ,

letzteres für   mit hinreichend kleinem Imaginärteil.

Fortsetzungen komplexer FunktionenBearbeiten

 
Im kommutativen Diagramm müssen sich   und   auf   vertragen.

Da   als eine Vereinigung von Einbettungen komplexer Ebenen aufgefasst werden kann (s. Abschnitt #Einbettung der komplexen Zahlen), kann man versuchen, Funktionen   [19] mithilfe der genannten Einbettungsisomorphismen   vom Komplexen ins Quaternionische zu liften. Dabei ist zu fordern, dass die so gewonnenen Funktionen   mit   bei Überschneidungen der Definitionsbereiche dasselbe Ergebnis liefern, so dass die vereinigte Funktion   auf der Vereinigungsmenge   vermöge   als   in wohldefinierter Weise gebildet werden kann.

Sei   eine komplexwertige Funktion   einer komplexen Variablen   mit reellen   und reellen  .
Einbettbarkeit:   ist genau dann einbettbar in die Quaternionen, wenn   eine gerade und   eine ungerade Funktion von   ist.[20]

Beweis: Ist   eine beliebige nicht-reelle Quaternion, dann ist   eine reine und normierte Quaternion mit  . Seien ferner   und  , die beide reell sind. Sowohl   wie   ist ein Einbettungsisomorphismus für das Bild  . Im ersteren Fall ist   das Urbild von  , im zweiten Fall haben wir wegen   das Urbild  ; jeweils mit   als der imaginären Einheit von  . Die Urbilder sind verschieden, das Bild, das bei der zu bildenden Funktion   als Argument fungieren soll, ist aber beidesmal  .
Das „Liften“ wird durch die Einbettung der Funktionswerte als

 

und

 

vervollständigt (s. Diagramm). Nun ist nach Voraussetzung

 ,

so dass sich

 

ergibt und   nicht von der Wahl des Einbettungsisomorphismus abhängt.

Die Bedingung ist auch notwendig. Denn lässt umgekehrt die Funktion   eine Einbettung   in die Quaternionen zu, so haben wir zu jedem   eine geeignete reine Einheitsquaternion   mit   und

 .

Nun hat die konjugierte Einbettung   dasselbe Bild wie  , somit   dieselbe Definitionsmenge wie  . Der Funktionswert

 
 

muss also mit dem vorigen für alle   übereinstimmen. ■

Die eingebettete Funktion   stimmt auf allen Teilmengen   mit   überein, kann also als Fortsetzung von   angesehen werden und, wenn Verwechslungen nicht zu befürchten sind, wird auch der Funktionsname beibehalten.

Ist   eine einbettbare Funktion, so ist   wegen der Ungeradheit von   in der zweiten Variablen, also   und   für  . Somit folgt aus der Einbettbarkeit, dass die Einschränkung aufs Reelle reell ist.[21] Zu dieser Klasse von komplexen Funktionen gehören Norm und Betrag, aber auch alle Laurent-Reihen   mit reellen Koeffizienten  , so die Exponential- und Logarithmusfunktion.

Nicht zu dieser Klasse gehört bspw. die Funktion  , bei der   nicht ungerade ist in  . Gleichwohl ist   eine wohldefinierte Funktion   und eine Fortsetzung von  , denn es besteht Übereinstimmung auf der Teilmenge  .

AnalysisBearbeiten

Schwieriger ist es, eine allgemeine quaternionische Analysis mit Differential- und/oder Integralrechnung aufzustellen. Ein Problem springt unmittelbar ins Auge: der Begriff des Differenzenquotienten  , der in der reellen wie der komplexen Analysis so erfolgreich ist, muss wegen der Nicht-Kommutativität als linke und rechte Version definiert werden. Legt man dann genauso strenge Maßstäbe wie bei der komplexen Differenzierbarkeit an, dann stellt sich heraus, dass bestenfalls lineare Funktionen, und zwar   links und   rechts, differenzierbar sind.[22] Immer definieren lässt sich aber eine Richtungsableitung und das Gâteaux-Differential[20].

Ausgehend von den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und dem Satz von Morera wurde folgender Regularitätsbegriff gefunden: Eine quaternionische Funktion ist regulär an der Stelle  , wenn ihr Integral über jeder hinreichend kleinen   umschließenden Hyperfläche verschwindet.[23][24][25]

Beschreibung anderer Konstrukte mit Hilfe von QuaternionenBearbeiten

Minkowski-SkalarproduktBearbeiten

Das Minkowski-Skalarprodukt zweier Quaternionen, aufgefasst als Vektoren im Minkowski-Raum, ist der Skalarteil von  :

 

VektoranalysisBearbeiten

Im Folgenden werden Vektoren im dreidimensionalen Raum   mit reinen Quaternionen  , also die üblichen  -Koordinaten mit den  -Komponenten identifiziert. Definiert man den Nabla-Operator (wie Hamilton) als

 

und wendet ihn auf eine skalare Funktion   als (formale) Skalarmultiplikation an, erhält man den Gradienten

 

Die Anwendung auf ein Vektorfeld

 

als (formales) Skalarprodukt ergibt die Divergenz

  .

Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Kreuzprodukt ergibt die Rotation

  .

Die Anwendung auf ein Vektorfeld als (formales) Produkt zweier reiner Quaternionen ergibt

 

mit   als Skalarteil und   als Vektorteil der Quaternion.

Zweimalige Anwendung auf eine Funktion   ergibt den Laplace-Operator  

 

d. h.   wirkt wie ein Dirac-Operator als (formale) „Quadratwurzel“ des (negativen) Laplace-Operators.

Drehungen im dreidimensionalen RaumBearbeiten

Einheitsquaternionen können für eine elegante Beschreibung von Drehungen im dreidimensionalen Raum verwendet werden: Für eine feste Einheitsquaternion   ist die Abbildung

    bzw.    

auf   eine Drehung. (Hier, wie im Folgenden, ist nur von Drehungen die Rede, die den Ursprung festlassen, d. h. deren Drehachse durch den Ursprung verläuft.)

Die Polardarstellung stellt die Einheitsquaternion   durch einen Winkel   und eine reine Einheitsquaternion   eindeutig dar als

   .

Dann ist   eine Drehung des   um die Achse   mit Drehwinkel  .

Für jede Einheitsquaternion   definieren   und   dieselbe Drehung; insbesondere entsprechen   und   beide der identischen Abbildung (Drehung mit Drehwinkel 0). Im Unterschied zur Beschreibung von Drehungen durch orthogonale Matrizen handelt es sich also um keine 1:1-Entsprechung, zu jeder Drehung   gibt es genau zwei Einheitsquaternionen   mit  .

Die Hintereinanderausführung von Drehungen entspricht der Multiplikation der Quaternionen, d. h.

 

Die Umkehrung der Drehrichtung entspricht dem Inversen:

 

Damit ist die Abbildung

 

ein Homomorphismus der Gruppe   der Einheitsquaternionen in die Drehgruppe  . Sie ist eine Überlagerung der  , und, da ein Bildelement   genau die zwei Urbilder   hat, zweiblättrig, weshalb der Homomorphismus auch 2:1-Überlagerung(shomomorphismus)[26] genannt wird. Ferner ist sie universell, da   einfach zusammenhängend ist.

Bezug zu orthogonalen MatrizenBearbeiten

Explizit entspricht der Einheitsquaternion  ,

 

mit   und   die Drehmatrix

 

eine Formel, die auch als Euler-Rodrigues-Formel bekannt ist. Sie bildet eine reine Quaternion   auf   ab.

Ist umgekehrt die Drehmatrix

  [27]

gegeben und ist die Spur

  mit   ,

dann bewerkstelligt die Quaternion

 

die Drehung  , denn es ist   für jede reine Quaternion   .

Wenn man die homogen formulierte Version von   als Eingabematrix nimmt, produziert die gezeigte Lösung mit   die Quaternion  . Wegen   kann die Homogenität in den   durch die Setzung   aufrechterhalten werden.

Die   hat wie die   über   die Dimension 3. Die 9 Komponenten von   können also nicht alle frei wählbar sein. Da einer jeden Matrix   eine Quaternion   entspricht, decken die Drehmatrizen   die ganze   ab. Bei   ist  . Falls also   wirklich  , ist auch   die Einheitsquaternion zu  .

Überlegungen zur numerischen Stabilität des Problems finden sich in en:Rotation matrix#Conversions.

Bezug zu EulerwinkelnBearbeiten

Für Eulerwinkel gibt es verschiedene Konventionen; die folgende Darlegung bezieht sich auf die Drehung, die man erhält, wenn man zuerst um die  -Achse um den Winkel  , dann um die neue  -Achse um den Winkel   und schließlich um die neue  -Achse um den Winkel   dreht, d. i. die sog. „x-Konvention“ (z, x’, z’’) mit allen Winkeln doppelt. Die Einzeldrehungen entsprechen den Einheitsquaternionen

 

und da jeweils um die mitgedrehten Achsen gedreht wird, ist die Reihenfolge der Komposition umgekehrt. Die Gesamtdrehung entspricht also

 
 
 
 
 

Für andere Konventionen ergeben sich ähnliche Formeln.

Die Eulerwinkel zu einer gegebenen Quaternion lassen sich an der zugehörigen Drehmatrix ablesen.[28]

Universelle Überlagerung der Drehgruppe; SpingruppeBearbeiten

Wie im Abschnitt Einheitsquaternionen gezeigt, gibt es einen durch die Hamiltonschen Zahlen vermittelten Isomorphismus zwischen der Gruppe   der Einheitsquaternionen und der speziellen unitären Gruppe  . Diese beiden Gruppen sind isomorph zur Spingruppe   (zur Physik: siehe Spin).

Die 2:1-Überlagerung liefert also einen Homomorphismus der Spingruppe   in die Drehgruppe  . Diese Überlagerung ist zweiblättrig und universell, da   im Gegensatz zur   einfach zusammenhängend ist. Die natürliche Operation von   auf   ist eine sog. Spinordarstellung.

Die aus der Quantenmechanik bekannten sog. Pauli-Matrizen   stehen in einfacher Beziehung zu den drei Erzeugenden   der  . Dies wird besonders deutlich in der Darstellung als komplexe Matrizen:

  ,

dabei ist   die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen.

Die Pauli-Matrizen haben –1 zur Determinante (sind also keine Quaternionen), sind spurfrei und hermitesch und kommen daher in der Quantenmechanik als messbare Größen in Frage, was sich für die Anwendungen (s. mathematische Struktur der Quantenmechanik) als wichtig erwiesen hat. Einzelheiten sind im Artikel SU(2) dargestellt.

Orthogonale Abbildungen des vierdimensionalen RaumesBearbeiten

Analog zum dreidimensionalen Fall kann man jede orientierungserhaltende orthogonale Abbildung von   in sich selbst in der Form

 

für Einheitsquaternionen   beschreiben. Es gilt

 

Diese Konstruktion liefert eine Überlagerung

 

mit Kern  .

Die endlichen UntergruppenBearbeiten

Der 2:1-Überlagerungshomomorphismus

 ,

der einer Einheitsquaternion   die 3D-Drehung

 

zuordnet, muss eine endliche Gruppe   von Quaternionen in eine endliche Gruppe   überführen, die dann eine endliche Drehgruppe im   ist. Man findet zyklische Gruppen   und Polyedergruppen, also die Diedergruppen   (Zählweise der n-Ecke), die Tetraedergruppe  , die Oktaedergruppe   und die Ikosaedergruppe  .

Die Erzeugenden der zyklischen Gruppen sind Einbettungen von Einheitswurzeln  .[29] Die Urbilder der  ,  ,  ,   unter   werden mit  ,  ,  ,   bezeichnet und heißen binäre Diedergruppe etc. Für eine Polyedergruppe   ist also  .[30]

Die endlichen Gruppen von Quaternionen sind demnach[31]   :

Gruppe erzeugt
von
Ordnung konvexe Hülle im   bzw.  
      reguläres n-Eck
       [32], bei n=2 zugleich: regulärer 16-Zeller
      regulärer 24-Zeller
       [32] = Dihektaoktokontaoktochor (288-Zeller)
      regulärer 600-Zeller

mit

  ,     ,     ,     .

Die zyklischen Gruppen   sind in naheliegender Weise Untergruppen von anderen Gruppen. Die Quaternionengruppe   =   ist eine Untergruppe der binären Tetraedergruppe  . Die Automorphismengruppe von   ist isomorph zur Oktaedergruppe   (Symmetrische Gruppe). Ihre Elemente sind ebenfalls Automorphismen von  ,  ,   und  .

Die konvexen Hüllen sind (bis auf die Fälle  , bei denen man mit 2 Dimensionen auskommt) 4-Polytope und haben, da alle Gruppenelemente von der Länge 1 sind, die Einheits-3-Sphäre   als Um-3-Sphäre. Die Ränder dieser 4-Polytope, also die Zellen, sind Ansammlungen von Tetraedern – bis auf den Fall  , bei dem es Oktaeder sind. Bei den regulären unter den konvexen Hüllen ist es klar, dass die Zellen ebenfalls regulär und zueinander kongruent sind und es eine In-3-Sphäre gibt, die alle Zellen (an ihrem Mittelpunkt) berührt. Die übrigen, nämlich   und  , spannen sog. perfekte[32] 4-Polytope auf. Hier sind die Zellen tetragonale Disphenoide, welche ebenfalls alle zueinander kongruent sind und an ihrem Mittelpunkt von der In-3-Sphäre berührt werden.

AutomorphismenBearbeiten

Ein jeder Ring-Automorphismus   von   ist ein innerer[33], d. h. es gibt eine Quaternion  , so dass  . Daraus folgt:

  • Das Zentrum   bleibt fest, d. h.   für alle  .
  • Man kann sich auf die Einheitsquaternionen   beschränken.
  • Ein Automorphismus ändert nicht das Skalarprodukt, d. h.  .
  • Die Automorphismen sind genau die winkel- und längentreuen Drehungen von   aus dem Abschnitt Drehungen im dreidimensionalen Raum.
  • Wegen der Längentreue sind die Automorphismen stetig, somit zusätzlich topologisch.
  •   hat das Zentrum  . Folglich ist die Automorphismengruppe  .

Die Konjugation als Spiegelung an der reellen Achse ist antihomomorph[34] in der Multiplikation, d. h.  , und wird als involutiver Antiautomorphismus bezeichnet, weil sie zudem eine Involution ist.

Andere KonstruktionenBearbeiten

MatrixdarstellungenBearbeiten

Komplexe MatrizenBearbeiten

Im Ring   der komplexen 2×2-Matrizen bildet man den von den Elementen

 

erzeugten Unterring  [35], wobei die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen als   kenntlich gemacht ist.[36] Eine Matrix

 

mit reellen   und komplexen   hat die Determinante  , die nur dann 0 ist, wenn  . Somit sind alle von der Nullmatrix verschiedenen Matrizen invertierbar – und der Ring   ist ein Schiefkörper.[37]

Der so konstruierte Schiefkörper erweist sich als isomorph zu den Quaternionen. Denn die Abbildung   mit den Zuordnungen

 

ist homomorph in den Verknüpfungen Addition und Multiplikation, wobei letztere der Matrizenmultiplikation zuzuordnen ist. Die konjugierte Quaternion geht auf die adjungierte Matrix und die Norm auf die Determinante. Darüber hinaus ist die Abbildung injektiv und stetig, also topologisch.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Einbettung  , die alle zueinander konjugiert und homöomorph sind.[38]

Reelle MatrizenBearbeiten

Ganz analog kann man die Quaternion   auch als reelle 4×4-Matrix

 
 

schreiben. Die Konjugation der Quaternion entspricht der Transposition der Matrix und der Betrag der vierten Wurzel aus der Determinante.

Das Modell der reellen Matrizen ist bspw. dann vorteilhaft, wenn man eine Software für lineare Algebra mit Schwächen bei den komplexen Zahlen hat.

QuotientenalgebraBearbeiten

Eine elegante, aber zugleich abstrakte Konstruktion stellt der Weg über den Quotienten des nichtkommutativen Polynomrings in drei Unbestimmten dar, deren Bilder   sind, modulo dem Ideal, das von den Hamilton-Regeln erzeugt wird. Alternativ kommt man auch mit nur zwei Unbestimmten aus.

Auf diese Weise ergibt sich die Quaternionen-Algebra als Clifford-Algebra der zweidimensionalen, euklidischen Ebene mit Erzeugern  . Im Zusammenhang mit dreidimensionalen Drehungen ist auch die Interpretation als der gerade Anteil der Clifford-Algebra des dreidimensionalen, euklidischen Raumes wichtig. Die Erzeuger werden dann mit   identifiziert.

Die Quaternionen als AlgebraBearbeiten

Es gibt bis auf Isomorphie genau vier endlichdimensionale  -Algebren, deren Multiplikation ohne Nullteiler ist, nämlich den Körper   der reellen Zahlen selbst, den Körper   der komplexen Zahlen, den Schiefkörper   der Quaternionen und den Alternativkörper   der Cayleyschen Oktaven.[39][40][41]

Das Zentrum von   ist  ; die Quaternionen sind also eine zentraleinfache Algebra über  . Reduzierte Norm und Spur sind durch

       bzw.       

gegeben.

Beim Basiswechsel von   zum algebraischen Abschluss   werden die Quaternionen zu einer Matrizenalgebra:

 

Die komplexe Konjugation auf dem Faktor   des Tensorproduktes entspricht einer Involution   der Matrizenalgebra. Die Invarianten von  , d. s. die von   fix gelassenen Elemente   mit  , bilden eine zu   isomorphe Algebra. Zur oben angegebenen Matrixdarstellung der Quaternionen als komplexe Matrizen passt die Involution

    mit     .

Die Tatsache, dass die Brauergruppe von   nur aus zwei Elementen besteht, spiegelt sich auch darin wider, dass

 

ist.

Allgemein bezeichnet man jede vierdimensionale zentraleinfache Algebra über einem Körper als eine Quaternionenalgebra.

Die Quaternionen sind die Clifford-Algebra zum Raum   mit einer negativ-definiten symmetrischen Bilinearform.

Andere GrundkörperBearbeiten

Quaternionen über den rationalen ZahlenBearbeiten

Bei allen obigen Arten der Konstruktion spielt die Vollständigkeit des Koeffizientenvorrats keine Rolle. Deshalb kann man (anstatt von den reellen Zahlen   über   zu  ) auch von anderen Grundkörpern, z. B. den rationalen Zahlen  , ausgehen, um via gaußsche Zahlen   bei den Quaternionen mit rationalen Koeffizienten

 

anzukommen – mit formal denselben Rechenregeln. Danach kann, falls überhaupt erforderlich, die Vervollständigung für die Betragsmetrik durchgeführt werden mit einem Endergebnis isomorph zu  .

Insofern kann bei vielen Aussagen   durch  ,   durch   und   durch   ersetzt werden.

Da es nach dem Satz von Wedderburn keinen endlichen Schiefkörper mit nicht-kommutativer Multiplikation gibt und die Dimension des Vektorraums   über seinem Primkörper und Zentrum   mit   minimal ist, gehört   als abzählbare Menge zu den „kleinsten“ Schiefkörpern mit nicht-kommutativer Multiplikation – auf jeden Fall enthält   keinen kleineren.

Der Schiefkörper   besitzt einen sogenannten Ganzheitsring, d. h. eine Untermenge von Zahlen, genannt Hurwitzquaternionen, die einen Ring bilden und   zum Quotientenkörper haben, – ganz ähnlich, wie es sich bei den ganzen Zahlen   und ihrem Quotientenkörper   verhält. In einem solchen Ring lassen sich bspw. Approximationsfragen, Teilbarkeitsfragen u. Ä. untersuchen.

Weitere GrundkörperBearbeiten

Auch Körper   eignen sich als Ausgangspunkt zur Bildung nicht-kommutativer Erweiterungskörper nach Art der Quaternionen. Wichtig ist, dass in   die Summe aus 4 Quadraten   nur für   verschwindet. Dann gibt es auch kein   mit   und   ist eine echte quadratische Erweiterung, die eine Konjugation definiert. Diese Bedingungen sind z. B. bei allen formal reellen Körpern erfüllt.

Aber auch bei Körpern, die nicht angeordnet werden können, kann die obige Bedingung betreffend die Summe aus 4 Quadraten erfüllt sein, bspw. im Körper   der 2-adischen Zahlen. Der so über   gebildete Quaternionenkörper ist isomorph zur Vervollständigung des (oben beschriebenen) Körpers   der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten für die folgende (nichtarchimedische diskrete) Bewertung   , dem 2-Exponenten der Norm,

 

mit   . Die Primzahl   ist die einzige, für die die Quaternionen-Algebra über   nullteilerfrei und ein Schiefkörper ist.

AnwendungenBearbeiten

Eulerscher Vier-Quadrate-SatzBearbeiten

Die Identität, die aus dem Produkt zweier Summen von vier Quadraten