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Hermitesche Matrix

komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer adjungierten Matrix ist

Eine hermitesche Matrix ist in der Mathematik eine komplexe quadratische Matrix, die gleich ihrer adjungierten Matrix ist. Die Einträge einer hermiteschen Matrix oberhalb der Hauptdiagonale ergeben sich demnach durch Spiegelung der Einträge unterhalb der Diagonale und nachfolgender komplexer Konjugation; die Einträge auf der Hauptdiagonale selbst sind alle reell. Hermitesche Matrizen sind nach dem Mathematiker Charles Hermite benannt.

Hermitesche Matrizen weisen eine Reihe besonderer Eigenschaften auf. Die Summe zweier hermitescher Matrizen ist stets wieder hermitesch. Jede komplexe quadratische Matrix lässt sich eindeutig als Summe einer hermiteschen und einer schiefhermiteschen Matrix schreiben. Das Produkt zweier hermitescher Matrizen ist wiederum hermitesch, sofern die beiden Matrizen kommutieren. Eine hermitesche Matrix ist stets normal und selbstadjungiert, sie besitzt nur reelle Eigenwerte und sie ist stets unitär diagonalisierbar. Eine wichtige Klasse hermitescher Matrizen sind positiv definite Matrizen, bei denen alle Eigenwerte positiv sind. Eine hermitesche Matrix mit reellen Einträgen ist symmetrisch.

In der linearen Algebra werden hermitesche Matrizen zur Beschreibung hermitescher Sesquilinearformen verwendet. Die Darstellungsmatrix einer komplexen selbstadjungierten Abbildung bezüglich einer Orthonormalbasis ist ebenfalls stets hermitesch. Lineare Gleichungssysteme mit hermitescher Koeffizientenmatrix lassen sich effizient und numerisch stabil lösen. Weiterhin werden hermitesche Matrizen bei Orthogonalprojektionen und bei der Polarzerlegung von Matrizen verwendet. Hermitesche Matrizen besitzen Anwendungen unter anderem in der Quantenmechanik.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Eine komplexe quadratische Matrix   heißt hermitesch, wenn für ihre Einträge

 

für   gilt. Eine hermitesche Matrix stimmt daher mit ihrer adjungierten Matrix   überein, das heißt, es gilt

 .

Äquivalent dazu ist eine Matrix genau dann hermitesch, wenn ihre transponierte Matrix   gleich ihrer konjugierten Matrix   ist, also

 

gilt. Eine hermitesche Matrix ist also bis auf komplexe Konjugation aller Einträge spiegelsymmetrisch bezüglich ihrer Hauptdiagonale.

BeispieleBearbeiten

Beispiele für hermitesche Matrizen sind (  stellt die imaginäre Einheit dar):

 .

Allgemein haben hermitesche Matrizen der Größe  ,   und   die Struktur

 

mit reellen Zahlen auf der Hauptdiagonale.

Algebraische EigenschaftenBearbeiten

EinträgeBearbeiten

Die Diagonaleinträge einer hermiteschen Matrix sind aufgrund von

 

stets reell. Die Matrix aus den Realteilen einer hermiteschen Matrix ist stets symmetrisch, denn

 ,

und die Matrix aus den Imaginärteilen einer hermiteschen Matrix stets schiefsymmetrisch, denn

 .

Daher wird eine hermitesche Matrix durch

 

reelle Zahlen eindeutig charakterisiert. Im Vergleich dazu wird eine allgemeine komplexe  -Matrix durch   reelle Zahlen beschrieben, also gerade doppelt so viele.

SummeBearbeiten

Die Summe   zweier hermitescher Matrizen   ist stets wieder hermitesch, denn

 .

Zudem lässt sich jede komplexe quadratische Matrix   eindeutig als Summe   einer hermiteschen Matrix   und einer schiefhermiteschen Matrix   schreiben, indem

    und    

gewählt werden.

SkalarmultiplikationBearbeiten

Das Produkt   einer hermiteschen Matrix   mit einem Skalar   ist nur wieder hermitesch, wenn   reell ist, denn dann gilt

 .

Wenn   rein imaginär ist, dann ist das Produkt   schiefhermitesch. Die hermiteschen Matrizen bilden demnach keinen Untervektorraum im  -Vektorraum der komplexen quadratischen Matrizen, sondern lediglich einen Untervektorraum im  -Vektorraum der komplexen quadratischen Matrizen. Dieser Untervektorraum hat die Dimension  , wobei die Standardmatrizen  ,  ,   und  ,  , darin eine Basis bilden. Im Raum der hermiteschen Matrizen bilden wiederum die reellen symmetrischen Matrizen einen Untervektorraum.

ProduktBearbeiten

Das Produkt   zweier hermitescher Matrizen   ist im Allgemeinen nicht wieder hermitesch. Das Produkt hermitescher Matrizen ist genau dann hermitesch, wenn   und   kommutieren, also wenn   gilt, denn dann ergibt sich

 .

Insbesondere sind damit für eine hermitesche Matrix   auch alle ihre Potenzen   mit   und daher auch ihr Matrixexponential   wieder hermitesch. Für eine beliebige komplexe Matrix   sind sowohl die  -Matrix   als auch die  -Matrix   stets hermitesch.

NormalitätBearbeiten

Eine hermitesche Matrix   ist stets normal, denn es gilt

 .

Jede hermitesche Matrix kommutiert also mit ihrer Adjungierten. Es gibt allerdings auch normale Matrizen, die nicht hermitesch sind, beispielsweise schiefhermitesche Matrizen.

KongruenzBearbeiten

Jede komplexe Matrix  , die kongruent zu einer hermiteschen Matrix   ist, ist ebenfalls hermitesch, denn es gilt

 ,

wobei   die zugehörige Transformationsmatrix ist. Matrizen, die ähnlich zu einer hermiteschen Matrix sind, müssen jedoch nicht notwendigerweise ebenfalls hermitesch sein.

InverseBearbeiten

Ist eine hermitesche Matrix   invertierbar, dann ist auch ihre Inverse   wieder hermitesch, denn es gilt

 .

Für eine reguläre hermitesche Matrix   sind demnach auch alle Potenzen   mit   wieder hermitesch.

Spektrale EigenschaftenBearbeiten

SelbstadjungiertheitBearbeiten

Eine hermitesche Matrix   ist stets selbstadjungiert, denn es gilt mit dem komplexen Standardskalarprodukt  

 

für alle Vektoren  . Es gilt auch die Umkehrung und jede komplexe selbstadjungierte Matrix ist hermitesch.

EigenwerteBearbeiten

Die Eigenwerte einer hermiteschen Matrix  , das heißt die Lösungen der Eigenwertgleichung  , sind stets reell. Ist nämlich   ein komplexer Eigenwert von   mit zugehörigem Eigenvektor  ,  , dann gilt mit der Selbstadjungiertheit von  

 .

Nachdem   für   ist, muss   gelten und der Eigenwert   damit reell sein.

VielfachheitenBearbeiten

Bei jeder hermiteschen Matrix   stimmen die algebraischen und die geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte überein. Ist nämlich   ein Eigenwert von   mit geometrischer Vielfachheit  , dann existiert eine Orthonormalbasis   des Eigenraums von  , welche durch   zu einer Orthonormalbasis des Gesamtraums   ergänzt werden kann. Mit der unitären Basistransformationsmatrix   ergibt sich damit die transformierte Matrix

 

als Blockdiagonalmatrix mit den Blöcken   und  . Für die Einträge   von   mit   gilt nämlich mit der Selbstadjungiertheit von   und der Orthonormalität der Basisvektoren  

 ,

wobei   das Kronecker-Delta darstellt. Da   nach Voraussetzung keine Eigenvektoren zum Eigenwert   von   sind, kann   kein Eigenwert von   sein. Die Matrix   besitzt daher nach der Determinantenformel für Blockmatrizen den Eigenwert   genau mit algebraischer Vielfachheit   und aufgrund der Ähnlichkeit der beiden Matrizen damit auch  .[1]

DiagonalisierbarkeitBearbeiten

Nachdem bei einer hermiteschen Matrix   algebraische und geometrische Vielfachheiten aller Eigenwerte übereinstimmen und da Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stets linear unabhängig sind, kann aus Eigenvektoren von   eine Basis des   gebildet werden. Daher ist eine hermitesche Matrix stets diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine reguläre Matrix   und eine Diagonalmatrix   (sogar  ), sodass

 

gilt. Die Matrix   hat dabei die Eigenvektoren   als Spalten und die Matrix   hat die zu diesen Eigenvektoren jeweils zugehörigen Eigenwerte   auf der Diagonale. Durch eine Permutation der Eigenvektoren kann dabei die Reihenfolge der Diagonaleinträge von   beliebig gewählt werden. Daher sind zwei hermitesche Matrizen genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleichen Eigenwerte besitzen. Weiterhin sind zwei hermitesche Matrizen genau dann simultan diagonalisierbar, wenn sie kommutieren.

Unitäre DiagonalisierbarkeitBearbeiten

Die Eigenvektoren   zu zwei verschiedenen Eigenwerten   einer hermiteschen Matrix   sind stets orthogonal. Es gilt nämlich wiederum mit der Selbstadjungiertheit von  

 .

Da   und   als verschieden angenommen wurden folgt daraus dann  . Daher kann aus Eigenvektoren von   eine Orthonormalbasis des   gebildet werden. Damit ist eine hermitesche Matrix sogar unitär diagonalisierbar, das heißt, es gibt eine unitäre Matrix  , mit der

 

gilt. Diese Darstellung bildet die Grundlage für die Hauptachsentransformation und ist die einfachste Version des Spektralsatzes.

KenngrößenBearbeiten

Aufgrund der Diagonalisierbarkeit einer hermiteschen Matrix   gilt für ihre Spur

 

und für ihre Determinante entsprechend

 .

Spur und Determinante einer hermiteschen Matrix sind demnach stets reell. Der Rang einer hermiteschen Matrix ist gleich der Anzahl der Eigenwerte ungleich Null, also mit dem Kronecker-Delta

 .

Eine hermitesche Matrix ist genau dann invertierbar wenn keiner ihrer Eigenwerte Null ist. Die Spektralnorm einer hermiteschen Matrix ist

 

und damit gleich dem Spektralradius der Matrix. Die Frobeniusnorm ergibt sich aufgrund der Normalität entsprechend zu

 .

AbschätzungenBearbeiten

Nach dem Satz von Courant-Fischer liefert der Rayleigh-Quotient Abschätzungen für den kleinsten und den größten Eigenwert einer hermiteschen Matrix   der Form

 

für alle   mit  . Gleichheit gilt dabei jeweils genau dann, wenn   ein Eigenvektor zum jeweiligen Eigenwert ist. Der kleinste und der größte Eigenwert einer hermiteschen Matrix kann demnach durch Minimierung beziehungsweise Maximierung des Rayleigh-Quotienten ermittelt werden. Eine weitere Möglichkeit zur Eigenwertabschätzung bieten die Gerschgorin-Kreise, die für hermitesche Matrizen die Form von Intervallen haben.

DefinitheitBearbeiten

Ist   eine hermitesche Matrix, dann wird der Ausdruck

 

mit   quadratische Form von   genannt. Je nachdem ob   größer als, größer gleich, kleiner als oder kleiner gleich null für alle   ist, heißt die Matrix   positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit oder negativ semidefinit. Kann   sowohl positive, als auch negative Vorzeichen annehmen, so heißt   indefinit. Die Definitheit einer hermiteschen Matrix kann anhand der Vorzeichen ihrer Eigenwerte ermittelt werden. Sind alle Eigenwerte positiv, ist die Matrix positiv definit, sind sie alle negativ, ist die Matrix negativ definit und so weiter. Das Tripel bestehend aus den Anzahlen der positiven, negativen und Null-Eigenwerte einer hermiteschen Matrix wird Signatur der Matrix genannt. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester bleibt die Signatur einer hermiteschen Matrix unter Kongruenztransformationen erhalten.

VerwendungBearbeiten

Hermitesche SesquilinearformenBearbeiten

Ist   ein  -dimensionaler komplexer Vektorraum, dann lässt sich jede Sesquilinearform   nach Wahl einer Basis   für   durch die Darstellungsmatrix

 

beschreiben. Ist die Sesquilinearform hermitesch, gilt also   für alle  , dann ist auch die Darstellungsmatrix   hermitesch. Umgekehrt definiert jede hermitesche Matrix   mittels

 

eine hermitesche Sesquilinearform  . Ist eine hermitesche Matrix   zudem positiv definit, dann stellt   ein Skalarprodukt im unitären Raum   dar.

Selbstadjungierte AbbildungenBearbeiten

Ist   ein  -dimensionaler komplexer Skalarproduktraum, dann lässt sich jede lineare Abbildung   nach Wahl einer Orthonormalbasis   für   durch die Abbildungsmatrix

 

darstellen, wobei   für   ist. Die Abbildungsmatrix   ist nun genau dann hermitesch, wenn die Abbildung   selbstadjungiert ist. Dies folgt aus

 ,

wobei   und   sind.

Projektionen und SpiegelungenBearbeiten

Ist wieder   ein  -dimensionaler komplexer Skalarproduktraum und ist   ein  -dimensionaler Untervektorraum von  , wobei   die Koordinatenvektoren einer Orthonormalbasis für   sind, dann ist die Orthogonalprojektionsmatrix auf diesen Untervektorraum

 

als Summe hermitescher Rang-Eins-Matrizen ebenfalls hermitesch. Auch die Orthogonalprojektionsmatrix auf den Komplementärraum   ist aufgrund der Darstellung   stets hermitesch. Mit Hilfe der Projektionsmatrizen   und   lässt sich jeder Vektor   in zueinander orthogonale Vektoren   und   zerlegen. Auch die Spiegelungsmatrix   an einem Untervektorraum   ist stets hermitesch.

Lineare GleichungssystemeBearbeiten

Das Auffinden der Lösung eines linearen Gleichungssystems   mit hermitescher Koeffizientenmatrix   vereinfacht sich, wenn man die Hermitizität der Koeffizientenmatrix ausnutzt. Auf Grund der Hermitizität lässt sich die Koeffizientenmatrix   als Produkt

 

mit einer unteren Dreiecksmatrix   mit lauter Einsen auf der Diagonale und einer Diagonalmatrix   schreiben. Diese Zerlegung wird beispielsweise bei der Cholesky-Zerlegung positiv definiter hermitescher Matrizen verwendet, um die Lösung des Gleichungssystems zu berechnen. Beispiele moderner Verfahren zur numerischen Lösung großer linearer Gleichungssysteme mit dünnbesetzter hermitescher Koeffizientenmatrix sind das CG-Verfahren und das MINRES-Verfahren.

PolarzerlegungBearbeiten

Jede quadratische Matrix   kann mittels der Polarzerlegung auch als Produkt

 

einer unitären Matrix   und einer positiv semidefiniten hermiteschen Matrix   faktorisiert werden. Die Matrix   ergibt sich dabei als die Quadratwurzel von  . Ist   regulär, so ist   positiv definit und die Polarzerlegung eindeutig mit  .

QuantenmechanikBearbeiten

Die in der Quantenmechanik verwendeten Pauli-Matrizen

 

sind hermitesch und spurfrei. Die Pauli-Matrizen werden unter anderem zur Beschreibung von Isospin-Symmetrien verwendet. Die Gell-Mann-Matrizen sind hermitesche  -Matrizen, die in der Quantenchromodynamik eingesetzt werden.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger). 13. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 2002, ISBN 3-528-97217-3.
  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012, ISBN 0-521-46713-6.
  • Hans-Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5. überarbeitete Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-42960-8.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Howard Anton, Chris Rorres: Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons, 2010, S. 404–405.

WeblinksBearbeiten