Spektralradius

Der Spektralradius ist ein Konzept in der linearen Algebra und in der Funktionalanalysis. Der Name erklärt sich dadurch, dass das Spektrum eines Operators in einer Kreisscheibe enthalten ist, deren Radius der Spektralradius ist.

Spektralradius von MatrizenBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der Spektralradius   einer  -Matrix   ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts von  , das heißt,   ist definiert durch

 .

Dabei durchläuft   die höchstens   verschiedenen Eigenwerte von  . Der Spektralradius wird auch mit   statt mit   notiert.

EigenschaftenBearbeiten

Jede induzierte Matrixnorm von   ist mindestens so groß wie der Spektralradius. Ist nämlich   ein Eigenwert zu einem Eigenvektor   von  , dann gilt:

 

Allgemeiner gilt diese Abschätzung für alle mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen. Weiterhin gibt es zu jedem   mindestens eine induzierte Norm (die für verschiedene Matrizen   unterschiedlich sein kann), sodass

 

gilt. Ferner gilt für jede induzierte Matrixnorm:

 

AnwendungenBearbeiten

Der Spektralradius ist beispielsweise bei Splitting-Verfahren von Bedeutung. Falls   für eine invertierbare Matrix   gilt, dann konvergiert die Iteration

 

für jeden Startvektor   gegen die exakte Lösung   des linearen Gleichungssystems  .

Spektralradius in der FunktionalanalysisBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der Begriff des Spektralradius kann allgemeiner auch für beschränkte lineare Operatoren auf Banachräumen definiert werden. Für einen beschränkten linearen Operator   definiert man

 ,

wobei   das Spektrum von   bezeichnet.

EigenschaftenBearbeiten

Da das Spektrum abgeschlossen ist, wird das Supremum angenommen, es liegt also ein Maximum vor.

Außerdem kann man auch hier zeigen, dass

 

gilt, wobei   hier die Operatornorm meint.

Insbesondere ist der Spektralradius eines Operators auch, wie im Endlichdimensionalen, nie größer als die Norm des Operators, d. h.:

 

Ist   ein normaler Operator auf einem Hilbertraum, dann gilt immer Gleichheit, wie der anschließende Abschnitt genauer erklären wird.

 -AlgebrenBearbeiten

Falls wir uns genauer auf Hilberträumen beschränken, so können wir uns  -Algebren widmen. (Und dank der GNS-Konstruktion lassen sich alle  -Algebren als Operatoralgebren über Hilberträumen darstellen.) In diesen Algebren gibt es für besondere Klassen von Elementen (Operatoren) einen engeren Zusammenhang zwischen dem Spektralradius und der Norm. Sei   eine  -Algebra. Bezeichne mit   die Menge aller Charaktere, d. h. algebraischen Homomorphismen. Dies bildet einen lokal kompakten Hausdorff'schen Raum und wir können die Abbildung

 

betrachten, wobei   durch

 

definiert wird. Das Gelfand-Repräsentationstheorem für  -Algebra besagt, dass dies eine Isometrie ist, solange   abelisch ist. Für   normal (d. h.   kommutieren) können wir die durch   erzeugte Unter- -algebra betrachten, die notwendigerweise kommutativ ist, und erhalten

 

(Hier sind einige Details noch zu klären, z. B. dass das Spektrum von   sich nicht ändert, wenn man auf die Unteralgebra beschränkt. Diese Details stimmen und sind in elementaren Einführungen von  -Algebren zu finden.)

Auch wenn nicht alle Elemente normal sind, herrscht es ein enger Zusammenhang zwischen der Norm und dem Spektrum für alle Elemente. Im Allgemeinen gilt für alle  

 

weil   selbstadjungiert und deshalb normal ist.

LiteraturBearbeiten