Matrixpotenz

Ergebnis einer wiederholten Matrixmultiplikation

In der linearen Algebra bezeichnet die Matrixpotenz das Ergebnis einer wiederholten Matrixmultiplikation.

DefinitionBearbeiten

Die Potenz einer quadratischen Matrix   über einem Halbring   wird analog zur Potenz einer Zahl als wiederholte Multiplikation definiert. Ist   eine quadratische Matrix, so ist

  usw.

Allgemein:

 .

Formaler definiert man die Potenz rekursiv: Ist   eine quadratische Matrix, so ist

  •   und
  • für alle   gilt  .

EigenschaftenBearbeiten

Es gelten die Potenzgesetze: Für alle   gilt

  •  ,
  •  .

VerallgemeinerungenBearbeiten

Negative ExponentenBearbeiten

Für invertierbare Matrizen sind auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten definiert. Die Schreibweise   für die inverse Matrix kann auch als Matrixpotenz interpretiert werden. Für negative Exponenten  ,  , setzt man

 .

Gebrochene ExponentenBearbeiten

Matrixpotenzen mit nicht ganzzahligen Exponenten, beispielsweise die Quadratwurzel einer Matrix, können nur in Sonderfällen definiert werden.

In manchen Fällen kann die Matrixpotenz auf die Potenz von reellen Zahlen zurückgeführt werden. Lässt sich die Matrix   diagonalisieren, existieren also eine reguläre Matrix   und eine Diagonalmatrix   mit   (d. h.   ist ähnlich zu  ), so gilt

 

Die Potenz einer Diagonalmatrix erhält man durch Potenzieren der Diagonalelemente. Sind die Diagonalelemente von   (also die Eigenwerte von  ) positiv, so bleiben obige Potenzgesetze auch für gebrochene Exponenten gültig.

Wenn sich eine Matrix nicht diagonalisieren lässt, so findet man eine sinnvolle Verallgemeinerung der Matrixpotenz über die binomische Reihe. Eine schnelle Berechnungsmethode für diese Verallgemeinerung erhält man über die Jordansche Normalform. Ist   eine Jordanzerlegung, dann gilt

 

Effiziente BerechnungBearbeiten

Ist der Exponent eine ganze Zahl, so lässt sich die Matrixpotenz effizient mit binärer Exponentiation berechnen. Die Einschränkungen an den Zahlenbereich der Matrixelemente sind gering:

  • Ist der Exponent nicht-negativ, so müssen die Matrixelemente in einem Ring liegen.
  • Ist der Exponent negativ, so müssen die Matrixelemente in einem Körper liegen.

Ist der Zahlenbereich der Matrixelemente algebraisch abgeschlossen, kann man also darin beliebige algebraische Gleichungen lösen, so kann der Exponent auch rational sein und die Matrixpotenz kann über die Jordansche Normalform von   auf Potenzen von skalaren Werten zurückgeführt werden, siehe oben.

AnwendungenBearbeiten

Polynome und PotenzreihenBearbeiten

Mittels der Matrixpotenz lassen sich Polynome auch für Matrizen definieren. Ein Beispiel dafür ist z. B. das Minimalpolynom. Genauso kann man auch Potenzreihen für Matrizen definieren, die wichtigsten Reihen sind dabei der Matrixlogarithmus, das Matrixexponential sowie die Neumann-Reihe.

GraphentheorieBearbeiten

Durch geeignete Wahl des zugrunde liegenden Halbrings   lässt sich das Finden der kürzesten Pfade in einem Graphen auf die Berechnung einer Potenz der Adjazenzmatrix des Graphen zurückführen. Die Min-Plus-Matrixmultiplikation erhält man, indem man als Trägermenge von   die erweiterten reellen Zahlen   wählt. Die Addition in   entspricht dann der Minimumbildung in   und die Multiplikation in   der Addition in  , wobei man   setzt. Die absorbierende Null in   ist dann  , während das Einselement in   durch die Zahl   dargestellt wird. Ist nun   die Kostenmatrix eines Graphen mit   Knoten, dann ist   die zugehörige Entfernungsmatrix mit den Längen der kürzesten Pfade zwischen allen Knoten des Graphen. Da die Addition in   idempotent ist, ist  .

Weitere AnwendungenBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Populationsentwicklung. (PDF; 72 kB) Abgerufen am 27. Februar 2022., Archivlink