Neumann-Reihe

In der Mathematik ist eine Neumann-Reihe (oder Neumannsche Reihe) eine Reihe der Form , wobei ein stetiger linearer Operator auf einem normierten Raum ist und .

Die Reihe entspricht formal einer geometrischen Reihe und ist nach dem Mathematiker Carl Gottfried Neumann benannt, der sie 1877 in der Potentialtheorie verwendete. Sie findet u. a. Anwendung in der Funktionalanalysis zum Lösen von Operatorgleichungen und ist wichtig bei der Untersuchung stetiger Operatoren, vgl. Spektrum (Operatortheorie).

EigenschaftenBearbeiten

Sei   ein normierter Raum und   ein stetiger Operator,  . Dabei ist   der Raum der linearen, beschränkten – und somit stetigen – Operatoren auf  .

  • Falls die Neumann-Reihe   im Raum   bezüglich der Operatornorm konvergiert, dann ist   invertierbar und es gilt
 .
  • Die Neumann-Reihe konvergiert, falls   ein Banachraum ist und für die Operatornorm   gilt. Dann gilt auch:
 .
  • Es sind auch schwächere Voraussetzungen bekannt, unter denen die Reihe konvergieren kann, z. B. ist es ausreichend, wenn nur für eine Potenz des Operators   die Bedingung   gilt. Dann ist
 

Invertierbarkeit linearer OperatorenBearbeiten

Ist   ein Banachraum, z. B.  , und   ein beschränkter Operator, z. B. eine quadratische Matrix  , so kann   für jeden Skalierungsfaktor   als

  mit  

dargestellt werden.

Gibt es nun einen Skalierungsfaktor, mit welchem   in der induzierten Operatornorm gilt, so ist   invertierbar und die Inverse ist, unter Benutzung der Neumann-Reihe,

 .

Offenheit der Menge der invertierbaren OperatorenBearbeiten

Seien   zwei Banachräume und   ein invertierbarer Operator. Dann gilt für jeden weiteren Operator  :

Gilt für den Abstand in der Operatornorm von   zu   die Abschätzung   mit  , so ist   ebenfalls invertierbar und die Inverse hat die Operatornorm
 .
Zum Beweis: Es wird   zerlegt und auf den zweiten Faktor die Neumann-Reihe angewandt. Die Konvergenz ist gesichert, denn nach Voraussetzung gilt:
 .

Als Folge ergibt sich, dass die Menge der invertierbaren Operatoren offen ist bzgl. der Topologie der Operatornorm.

LiteraturBearbeiten