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Operatornorm

Objekt aus der Funktionalanalysis

Eine Operatornorm ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Die Operatornorm verallgemeinert die Idee, einem Objekt eine Länge zuzuordnen, auf die Menge der linearen Operatoren. Sind die zu betrachtenden Operatoren stetig, so ist die Operatornorm eine echte Norm, andernfalls kann die Operatornorm den Wert unendlich annehmen. Die Operatornorm einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist nach Wahl einer Basis eine natürliche Matrixnorm.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Seien   und   normierte Vektorräume und sei   ein linearer Operator. Dann ist die Operatornorm

 

bezüglich der Vektornormen   und   durch

 

definiert. Dies ist äquivalent zu

 

EigenschaftenBearbeiten

Die Operatornorm besitzt neben den für Normen charakteristischen drei Eigenschaften Definitheit, absolute Homogenität und Dreiecksungleichung noch weitere. Dies sind nicht zuletzt:

Gültigkeit der fundamentalen UngleichungBearbeiten

Ist   ein linearer Operator, so gilt für   stets

 

SubmultiplikativitätBearbeiten

Sind   und   lineare Operatoren, so sind die jeweiligen Operatornormen zusätzlich zu den üblichen Normeigenschaften submultiplikativ. Das heißt, es gilt

 

BeschränktheitBearbeiten

Die Operatornorm linearer Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist stets endlich, da die Einheitskugel eine kompakte Menge ist. Somit ist im endlichdimensionalen Fall die Operatornorm immer eine echte Norm. Für unendlichdimensionale Vektorräume gilt dies nicht immer. Operatoren, deren Norm unendlich als Wert annimmt, werden unbeschränkt genannt. Auf Räumen mit solch unbeschränkten Operatoren ist die Operatornorm streng genommen keine echte Norm. Man kann zeigen, dass ein linearer Operator zwischen normierten Räumen genau dann eine endliche Operatornorm hat, wenn er beschränkt und damit stetig ist. Insbesondere wird dadurch der Raum der stetigen linearen Operatoren zu einem normierten Vektorraum.

VollständigkeitBearbeiten

Falls   vollständig ist, ist der Operatorraum   vollständig. Der Raum   braucht nicht vollständig zu sein.

BeispieleBearbeiten

Natürliche MatrixnormenBearbeiten

Da man jeden linearen Operator zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Matrix   darstellen kann, sind spezielle Matrixnormen, die natürlichen oder induzierten Matrixnormen, naheliegende Beispiele für Operatornormen. Die wichtigsten dieser natürlichen Matrixnormen sind die drei folgenden.

 
Sie entspricht der maximalen Betragssumme aller Spalten der Matrix.
 
Sie entspricht der Quadratwurzel des betragsmäßig größten Eigenwerts von  , wobei   die adjungierte Matrix (im reellen Fall transponierte Matrix) zu   ist.
 
Sie entspricht der maximalen Betragssumme aller Zeilen der Matrix.

Jedoch ist nicht jede Matrixnorm eine Operatornorm. Die Gesamtnorm und die Frobeniusnorm sind beispielsweise keine Operatornormen.

Der Folgenraum l2Bearbeiten

Sei   eine beschränkte Folge und damit ein Element des Folgenraums  , der mit der Norm   versehen ist. Definiere nun einen Multiplikationsoperator   durch  . Dann gilt für die entsprechende Operatornorm

 

Norm eines (Pseudo-)DifferentialoperatorsBearbeiten

Seien   und sei   ein beschränkter linearer Operator zwischen Sobolev-Räumen. Solche Operatoren können als Pseudodifferentialoperatoren dargestellt werden. Unter bestimmten Umständen, insbesondere wenn die Ordnung der Sobolev-Räume ganzzahlig ist, sind die Pseudodifferentialoperatoren (schwache) Differentialoperatoren. Der Raum der (Pseudo-)Differentialoperatoren kann mit einer Operatornorm versehen werden. Da die Norm im Sobolev-Raum durch   gegeben ist, ist die Operatornorm für die (Pseudo)differentialoperatoren durch

 

gegeben.

LiteraturBearbeiten