Zeilensummennorm

eine Norm in der Mathematik

Die Zeilensummennorm ist in der Mathematik die von der Maximumsnorm abgeleitete natürliche Matrixnorm. Die Zeilensummennorm einer Matrix entspricht der maximalen Betragssumme ihrer Zeilen. Sie ist submultiplikativ und mit der Maximumsnorm verträglich. Die Zeilensummennorm wird insbesondere in der linearen Algebra und der numerischen Mathematik verwendet.

Illustration der Zeilensummennorm

DefinitionBearbeiten

Die Zeilensummennorm   einer Matrix   mit   als dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist die von der Maximumsnorm abgeleitete natürliche Matrixnorm und damit definiert als

 .

Anschaulich entspricht die Zeilensummennorm dem größtmöglichen Streckungsfaktor, der durch die Anwendung der Matrix auf einen Vektor mit betragsmaximalen Eintrag Eins entsteht. Für die Zeilensummennorm gilt die namensgebende Darstellung

 .

Hierbei wurde genutzt, dass die Summe innerhalb der Betragsstriche für festes   genau dann maximal wird, wenn   für alle   ist. Die Berechnung der Zeilensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Zeile und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte. Zur Unterscheidung von der verwandten Spaltensummennorm   hilft folgende Merkregel: die   steht senkrecht und steht für die Spalten, während die   waagrecht liegt und für die Zeilen steht.

BeispieleBearbeiten

Reelle Matrix

Die Zeilensummennorm der reellen (2 × 3)-Matrix

 

berechnet sich als

 .

Komplexe Matrix

Die Zeilensummennorm der komplexen (2 × 3)-Matrix

 

berechnet sich als

 .

EigenschaftenBearbeiten

NormeigenschaftenBearbeiten

Die Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität folgen für die Zeilensummennorm direkt aus den entsprechenden Eigenschaften von natürlichen Matrixnormen. Insbesondere ist die Zeilensummennorm damit auch submultiplikativ und mit der Maximumsnorm verträglich, das heißt, es gilt

 

für alle Matrizen   und alle Vektoren   und die Zeilensummennorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft.

AdjungierteBearbeiten

Für eine adjungierte Matrix   (im reellen Fall transponierte Matrix) gilt

 ,

wobei   die konjugiert komplexe Zahl zu   mit dem gleichen Betrag ist. Die Zeilensummennorm einer adjungierten oder transponierten Matrix entspricht also der Spaltensummennorm der Ausgangsmatrix. Die Spektralnorm einer Matrix kann dadurch als geometrisches Mittel aus Zeilen- und Spaltensummennorm nach oben abgeschätzt werden.

LiteraturBearbeiten

  • Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.

WeblinksBearbeiten