Beschränkter Operator

In der Mathematik werden lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräumen als beschränkte (lineare) Operatoren bezeichnet, wenn ihre Operatornorm endlich ist. Lineare Operatoren sind genau dann beschränkt, wenn sie stetig sind, weshalb beschränkte lineare Operatoren oft als stetige (lineare) Operatoren bezeichnet werden.

DefinitionenBearbeiten

Seien   und   normierte Vektorräume. Ein linearer Operator ist eine lineare Abbildung  .

Ein beschränkter Operator   ist ein linearer Operator, für den es ein   mit   für alle   gibt.

Die kleinste Konstante   mit   für alle   wird als Norm   von   bezeichnet. Für sie gilt

 

und für alle   die Ungleichung

 .

StetigkeitBearbeiten

Ein linearer Operator ist genau dann beschränkt, wenn er stetig ist, also eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • falls  , so gilt   in der von der jeweiligen Norm induzierten Metrik,
  • für alle   und alle   gibt es ein   mit
 ,

Beschränkte lineare Operatoren werden deshalb oft als stetige lineare Operatoren bezeichnet. Wenn die Linearität vorausgesetzt wird, spricht man häufig auch nur von stetigen Operatoren oder beschränkten Operatoren. Ist der Bildraum der Skalarenkörper, sagt man Funktional statt Operator.

Weiterhin sind die folgenden Aussagen äquivalent:

  •   ist stetig.
  •   ist stetig in 0.
  •   ist gleichmäßig stetig.
  •   ist beschränkt.

BeispieleBearbeiten

  • Wenn   endlich-dimensional ist, dann ist jeder lineare Operator   stetig.
  • Wenn man zwei Normen auf demselben Vektorraum hat, dann sind die Normen genau dann äquivalent, wenn die Identitätsabbildungen in beiden Richtungen stetig sind.
  • Das durch   definierte Funktional   ist stetig mit  , wobei   wie üblich mit der Supremumsnorm versehen ist.
  • Das durch   definierte Funktional   ist stetig mit  .
  • Das durch   definierte Funktional   ist stetig mit  .
  • Aus der Hölder-Ungleichung folgt, dass für   das durch   definierte Funktional   stetig ist mit  .
  • Der durch eine stetige Funktion   und   definierte Integraloperator   ist stetig und es gilt die Ungleichung  .
  • Der Differentialoperator   auf   ist für die Supremumsnorm kein stetiger Operator. Zum Beispiel ist  , aber  . Der Operator ist aber stetig als Operator  .

Der Raum der stetigen OperatorenBearbeiten

Seien   normierte Vektorräume. Dann ist

 

mit der Operatornorm   ein normierter Vektorraum.

Wenn   vollständig ist, dann ist auch   vollständig.

Wenn   ein dichter Unterraum und   vollständig ist, dann hat jeder stetige Operator   eine eindeutige stetige Fortsetzung   mit  .

Beschränkte lineare Operatoren zwischen topologischen VektorräumenBearbeiten

Analog zu obiger Definition nennt man einen linearen Operator   zwischen topologischen Vektorräumen   und   beschränkt, falls das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.[1]

Falls   und   zusätzlich lokalkonvexe Vektorräume sind, so ist der beschränkte Operator   stetig, genau denn, wenn   ein bornologischer Raum ist.

Beschränkte Abbildungen zwischen topologischen VektorräumenBearbeiten

Teilweise werden in der deutschen Literatur nicht lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen auch als (nicht lineare) Operatoren bezeichnet.[2]

Sind also   und   topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung   beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Norbert Adasch, Bruno Ernst, Dieter Keim: Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-540-08662-8, S. 60.
  2. Klaus Deimling: Nichtlineare Gleichungen und Abbildungsgrade. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg/New York 1974, ISBN 3-540-06888-0.