Hauptmenü öffnen

Ein Differentialoperator ist in der Mathematik eine Funktion, die einer Funktion eine Funktion zuordnet und die Ableitung nach einer oder mehreren Variablen enthält. Insbesondere verschlechtern Differentialoperatoren die Regularität der Funktion, auf die sie angewendet werden.

Der wohl wichtigste Differentialoperator ist die gewöhnliche Ableitung, d. h. die Abbildung (gesprochen: „d nach dx“), die einer differenzierbaren Funktion ihre Ableitung zuordnet:

Differentialoperatoren lassen sich miteinander verknüpfen. Durch Weglassen der Funktion, auf die sie wirken, erhält man reine Operatorgleichungen.

Es gibt unterschiedliche Definitionen eines Differentialoperators, die alle Spezialfälle oder Verallgemeinerungen voneinander sind. Da die allgemeinste Formulierung entsprechend schwer verständlich ist, werden hier unterschiedliche Definitionen mit unterschiedlicher Allgemeingültigkeit gegeben. So bestehen gewöhnliche Differentialoperatoren aus der Verkettung von ganzen Ableitungen, während in partiellen Differentialoperatoren auch partielle Ableitungen auftauchen.

Soweit nicht anders angegeben, sei in diesem Artikel eine beschränkte und offene Menge. Außerdem wird mit die Menge der -mal stetig differenzierbaren Funktionen und mit die Menge der stetigen Funktionen bezeichnet. Die Beschränkung, dass zwischen reellen Teilmengen abbildet, ist nicht notwendig, wird aber in diesem Artikel meist vorausgesetzt. Sind andere Definitions- und Bildbereiche notwendig oder sinnvoll, so wird dies im Folgenden explizit angegeben.

Dieser Artikel beschränkt sich außerdem weitestgehend auf Differentialoperatoren, die auf den gerade erwähnten Räumen der stetig differenzierbaren Funktionen operieren. Es gibt Abschwächungen der Definitionen. So führte beispielsweise das Studium der Differentialoperatoren zur Definition der schwachen Ableitung und damit zu den Sobolev-Räumen, die eine Verallgemeinerung der Räume der stetig-differenzierbaren Funktionen sind. Dies führte weiter zu dem Gedanken, lineare Differentialoperatoren mit Hilfe der Funktionalanalysis in der Operatortheorie zu untersuchen. Auf diese Aspekte wird jedoch vorerst in diesem Artikel nicht weiter eingegangen. Eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators ist der Pseudo-Differentialoperator.

Linearer Differentialoperator erster OrdnungBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   eine offene Teilmenge. Ein linearer Differentialoperator erster Ordnung ist eine Abbildung

 

die durch

 

dargestellt werden kann, wobei   eine stetige Funktion ist.

BeispieleBearbeiten

  • Das wichtigste Beispiel eines Differentialoperators erster Ordnung ist die gewöhnliche Ableitung
 
 
in  -Richtung ist ein partieller Differentialoperator erster Ordnung.
  • Andere Differentialoperatoren dieser Gattung erhält man durch Multiplikation mit einer stetigen Funktion. Sei dazu   eben so eine stetige Funktion, dann ist der durch
 
definierte Operator   ebenfalls wieder ein Differentialoperator erster Ordnung.
 
hat.
 
und
 
sind zwei weitere Beispiele für Differentialoperatoren. Das besondere in diesen Operatoren ist, dass man mit ihnen Funktionen   auf Holomorphie untersucht, gilt nämlich   so ist die Funktion   holomorph.

Gewöhnlicher DifferentialoperatorBearbeiten

Gewöhnliche Differentialoperatoren treten insbesondere im Zusammenhang mit gewöhnlichen Differentialgleichungen auf.

DefinitionBearbeiten

Analog zur Definition des Differentialoperators erster Ordnung ist ein gewöhnlicher Differentialoperator der Ordnung   eine Abbildung

 

die durch

 

gegeben ist. Hier ist   für alle   wieder eine stetige Funktion. Im Fall   für alle   nennt man diesen Operator einen gewöhnlichen, linearen Differentialoperator.

BeispielBearbeiten

  • Die Ableitung  -ter Ordnung
 
ist der einfachste Fall eines gewöhnlichen Differentialoperators. Es handelt sich um den sich aus   für   und   ergebenden Spezialfall.

Linearer partieller DifferentialoperatorBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Sei   eine offene Teilmenge. Ein linearer partieller Differentialoperator der Ordnung   ist ein linearer Operator

 

der durch

 

dargestellt werden kann. Wobei   für alle Multiindizes   eine stetige Funktion ist.

BeispieleBearbeiten

 
Dies ist ein elementares Beispiel eines partiellen Differentialoperators. Außerdem ist diese das wichtigste Beispiel eines elliptischen Differentialoperators. Elliptische Differentialoperatoren sind eine besondere Klasse partieller Differentialoperatoren.
 
Dies ist ein Beispiel eines parabolischen Differentialoperators.
 
wobei   einer Geschwindigkeit entspricht, ist ein weiterer wichtiger partieller Differentialoperator. Dieser ist ein hyperbolischer Operator und wird bei der Wellengleichung verwendet.

Partieller DifferentialoperatorBearbeiten

DefinitionBearbeiten

Ein (nicht linearer) partieller Differentialoperator der Ordnung   ist ebenfalls wieder eine Abbildung

 

Diese ist gegeben durch

 

Hier sind   für alle   und   stetige Funktionen.

Lineare DifferentialoperatorenBearbeiten

In den obigen Definitionen wurde schon kurz erwähnt, wann ein gewöhnlicher beziehungsweise ein partieller Differentialoperator linear genannt wird. Der Vollständigkeit halber wird nun die abstrakte Definition eines linearen Differentialoperators genannt. Diese ist analog zur Definition der linearen Abbildung. Alle oben angeführten Beispiele, soweit nichts anderes dabei steht, sind lineare Differentialoperatoren.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein (beliebiger) Differentialoperator. Dieser heißt linear, falls

 
 

für alle Funktionen   und alle Konstanten   gilt.

Prominentestes Beispiel hierfür ist der Differentialoperator

 

der einer Funktion   ihre Ableitung zuordnet.

Der Lösungsraum einer linearen Differentialgleichung bildet einen Vektorraum. Nach Fouriertransformation lassen sie sich häufig auf algebraische Gleichungen und Konzepte der linearen Algebra zurückführen. Nichtlineare Differentialoperatoren sind wesentlich schwieriger zu behandeln.

Algebra der DifferentialoperatorenBearbeiten

Mit   wird die Menge aller linearen Differentialoperatoren der Ordnung   bezeichnet, die auf   operieren. Die Menge

 

wird zusammen mit der Hintereinanderschaltung von linearen Differentialoperatoren als Multiplikation

 

zu einer  -graduierten Algebra. Die Multiplikation ist aber im Allgemeinen nicht kommutativ. Eine Ausnahme sind beispielsweise Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, bei denen die Kommutativität aus der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen folgt.

Man kann auch formal Potenzreihen mit den Differentialoperatoren   bilden und darüber z. B. Exponentialfunktionen  . Für das Rechnen mit solchen Exponentialausdrücken von linearen Operatoren gelten die Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln.

Differentialoperator auf einer MannigfaltigkeitBearbeiten

Da man auf Mannigfaltigkeiten nur die lokalen Koordinatensysteme in Form von Karten und keine global gültigen Koordinatensysteme zur Verfügung hat, muss man auf diesen Differentialoperatoren koordinatenunabhängig definieren. Solche Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten werden auch geometrische Differentialoperatoren genannt.

Koordinaten-invariante DefinitionBearbeiten

Sei   eine glatte Mannigfaltigkeit und seien   Vektorbündel. Ein Differentialoperator der Ordnung   zwischen den Schnitten von   und   ist eine lineare Abbildung

 

mit den folgenden Eigenschaften:

  • Der Operator   ist lokal, das heißt, es gilt
 
  • Für   existieren eine offene Umgebung   von  , Bündelkarten   und   sowie ein Differentialoperator   sodass das Diagramm
     
    kommutiert. Mit   ist der Pullback eines glatten Vektorfeldes in den Raum   bezeichnet.

BeispieleBearbeiten

Im Folgenden werden Beispiele von geometrischen Differentialoperatoren aufgezeigt.

  • Die Menge der Differentialformen bildet ein glattes Vektorbündel über einer glatten Mannigfaltigkeit. Die Cartan-Ableitung und ihr adjungierter Operator sind Differentialoperatoren auf diesem Vektorbündel.
  • Der Laplace-Beltrami-Operator sowie andere verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind Differentialoperatoren.
  • Das Tensorbündel ist ein Vektorbündel. Für jedes fest gewählte Vektorfeld   ist die Abbildung   definiert durch  , wobei   die kovariante Ableitung ist, ein Differentialoperator.
  • Die Lie-Ableitung ist ein Differentialoperator auf den Differentialformen.

Symbol eines DifferentialoperatorsBearbeiten

Die in den Beispielen angegebenen Differentialoperatoren 2. Ordnung entsprechen, wenn man die partiellen Ableitungen   formal durch Variablen   ersetzt und nur die Terme höchster – also zweiter – Ordnung betrachtet, einer quadratischen Form in den  . Im elliptischen Fall haben alle Koeffizienten der Form dasselbe Vorzeichen, im hyperbolischen Fall wechselt das Vorzeichen, im parabolischen Fall fehlt für eines der   der Term höchster Ordnung. Die entsprechenden partiellen Differentialgleichungen zeigen jeweils sehr unterschiedliches Verhalten. Die Namen kommen von den Analoga zu Kegelschnittgleichungen.

Das lässt sich durch den Begriff des Hauptsymbols des Differentialoperators auch auf andere Fälle erweitern. Man behält nur Terme der höchsten Ordnung bei, ersetzt Ableitungen durch neue Variable   und erhält ein Polynom in diesen neuen Variablen, mit dem man den Differentialoperator charakterisieren kann. Beispielsweise ist er vom elliptischen Typ, wenn gilt: das Hauptsymbol ist ungleich Null, wenn mindestens ein   ungleich Null ist. Es gibt aber schon bei Differentialoperatoren 2. Ordnung „gemischte“ Fälle, die keiner der drei Klassen zuzuordnen sind.

Die folgenden Definitionen halten dies nochmal in mathematischer Präzision fest.

SymbolBearbeiten

Es sei

 

ein allgemeiner Differentialoperator der Ordnung  . Die Koeffizientenfunktion   kann matrixwertig sein. Das Polynom

 

in   heißt das Symbol von  . Da jedoch wie in der Einleitung schon angedeutet, die wichtigsten Informationen im Term der höchsten Ordnung zu finden sind, wird meist mit der folgenden Definition des Hauptsymbols gearbeitet.

HauptsymbolBearbeiten

Sei   wieder der oben definierte Differentialoperator der Ordnung  . Das homogene Polynom

 

in   heißt Hauptsymbol von  . Oft nennt man das Hauptsymbol auch einfach nur Symbol, wenn Verwechslungen mit der oben gegebenen Definition ausgeschlossen sind.

BeispieleBearbeiten

  • Das Symbol und das Hauptsymbol des Laplace-Operators   lauten
 

Hauptsymbol eines Differentialoperators zwischen VektorbündelnBearbeiten

Differentialoperatoren auf Mannigfaltigkeiten kann man auch ein Symbol und ein Hauptsymbol zuordnen. Dabei muss in der Definition natürlich berücksichtigt werden, dass das Hauptsymbol und das Symbol unter Kartenwechsel invariant definiert ist. Da der Kartenwechsel bei Symbolen sehr kompliziert ist, beschränkt man sich meist auf die Definition des Hauptsymbols.

Sei   ein (koordinaten-invarianter) Differentialoperator, der zwischen Schnitten von Vektorbündeln operiert. Sei  ,   und  . Wähle   und   mit  ,   und  . Dann ist der Ausdruck

 

unabhängig von der Wahl von   und  . Die Funktion

 

heißt dann das Hauptsymbol von  .

Pseudo-DifferentialoperatorenBearbeiten

Die Ordnung eines Differentialoperators ist immer ganzzahlig und positiv. In der Theorie der Pseudo-Differentialoperatoren wird dies verallgemeinert. Lineare Differentialoperatoren der Ordnung   mit glatten und beschränkten Koeffizienten können als Pseudo-Differentialoperatoren der gleichen Ordnung verstanden werden. Sei   ein solcher Differentialoperator, dann kann man auf   die Fourier-Transformation   und danach die inverse Fourier-Transformation   anwenden. Das heißt, es gilt

 

Dies ist ein Spezialfall eines Pseudo-Differentialoperators

 

Hieran sieht man auch, dass gewisse Differentialoperatoren als Integraloperatoren dargestellt werden können und somit Differentialoperatoren und Integraloperatoren nicht ganz gegensätzlich sind.

LiteraturBearbeiten