Spaltensummennorm

Die Spaltensummennorm ist in der Mathematik die von der Summennorm abgeleitete natürliche Matrixnorm. Die Spaltensummennorm einer Matrix entspricht der maximalen Betragssumme aller ihrer Spalten. Sie ist submultiplikativ und mit der Summennorm verträglich. Die Spaltensummennorm wird insbesondere in der linearen Algebra und der numerischen Mathematik verwendet.

Illustration der Spaltensummennorm

DefinitionBearbeiten

Die Spaltensummennorm   einer Matrix   mit   als dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen ist die von der Summennorm abgeleitete natürliche Matrixnorm und damit definiert als

 .

Anschaulich entspricht die Spaltensummennorm dem größtmöglichen Streckungsfaktor, der durch die Anwendung der Matrix auf einen Vektor mit Betragssumme Eins entsteht. Für die Spaltensummennorm gilt die namensgebende Darstellung

 .

Hierbei wurde genutzt, dass die Summe innerhalb der Betragsstriche für festes   für einen der Einheitsvektoren   mit   maximal wird. Die Berechnung der Spaltensummennorm erfolgt also durch die Ermittlung der Betragssumme jeder Spalte und dann durch Auswahl des Maximums dieser Werte. Zur Unterscheidung von der verwandten Zeilensummennorm   hilft folgende Merkregel: die   steht senkrecht und steht für die Spalten, während die   waagrecht liegt und für die Zeilen steht.

BeispieleBearbeiten

Reelle Matrix

Die Spaltensummennorm der reellen (2 × 3)-Matrix

 

berechnet sich als

 .

Komplexe Matrix

Die Spaltensummennorm der komplexen (2 × 3)-Matrix

 

berechnet sich als

 .

EigenschaftenBearbeiten

NormeigenschaftenBearbeiten

Die Normaxiome Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität folgen für die Spaltensummennorm direkt aus den entsprechenden Eigenschaften von natürlichen Matrixnormen. Insbesondere ist die Spaltensummennorm damit auch submultiplikativ und mit der Summennorm verträglich, das heißt, es gilt

 

für alle Matrizen   und alle Vektoren   und die Spaltensummennorm ist die kleinste Norm mit dieser Eigenschaft.

AdjungierteBearbeiten

Für eine adjungierte Matrix   (im reellen Fall transponierte Matrix) gilt

 ,

wobei   die konjugiert komplexe Zahl zu   mit dem gleichen Betrag ist. Die Spaltensummennorm einer adjungierten oder transponierten Matrix entspricht also der Zeilensummennorm der Ausgangsmatrix. Die Spektralnorm einer Matrix kann dadurch als geometrisches Mittel aus Zeilen- und Spaltensummennorm nach oben abgeschätzt werden.

LiteraturBearbeiten

  • Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4.

WeblinksBearbeiten