Additive Funktion

Eigenschaft von Funktionen, die Summen erhalten
(Weitergeleitet von Additivität)

Additive, subadditive und superadditive Funktionen sind mathematische Objekte. Es sind bestimmte Klassen von Funktionen. Lineare Abbildungen sind besondere additive Funktionen.

DefinitionBearbeiten

Eine Funktion   heißt additiv, wenn sie die Funktionalgleichung

 

erfüllt.[1] Sind Definitions- und Zielbereich abelsche Gruppen, so spricht man auch von  -Linearität.

Sub- und Superadditive FunktionenBearbeiten

Ist   eine Halbgruppe mit der Verknüpfung  , so heißt eine Abbildung   subadditiv, wenn für alle   und   aus   gilt:[2]

 .

Die Abbildung heißt superadditiv, wenn für alle   und   aus   gilt:[2]

 .

BeispieleBearbeiten

EigenschaftenBearbeiten

  • Eine Abbildung ist genau dann additiv, wenn sie sowohl sub- als auch superadditiv ist.
  • Ist   eine additive Funktion, so gilt für jede endliche Anzahl   von Elementen aus  :
 
Entsprechendes gilt für Sub- und Superadditivität.

Definition in der ZahlentheorieBearbeiten

Bei zahlentheoretischen Funktionen   betrachtet man als Verknüpfung auf   die Multiplikation. Eine zahlentheoretische Funktion heißt additiv, wenn die Gleichung

 

für alle teilerfremden   und   gilt. Gilt dies sogar für alle   und  , so heißt die Funktion streng additiv.

Eine ähnliche Einschränkung der Additivität (auf disjunkte statt beliebige Vereinigungen) gibt es in der Maßtheorie.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Prasanna Sahoo, Thomas Riedel: Mean Value Theorems and Functional Equations. 1998, ISBN 978-981-02-3544-4, S. 1.
  2. a b Josip E. Peajcariaac, Y. L. Tong: Convex Functions, Partial Orderings, and Statistical Applications. Academic Press, 1992, ISBN 978-0-12-549250-8, S. 8.