Zentrische Streckung

Eine zentrische Streckung ist in der Geometrie eine Abbildung, die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind. Zentrische Streckungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen, in der synthetischen Geometrie nennt man sie auch Homothetien.

Zentrische Streckung mit positivem Streckungsfaktor k=2: Die Strecken verdoppeln sich, die Fläche vervierfacht sich (→ Konstruktionsprotokoll als PDF)

Zentrische Streckung mit negativem, verkleinerndem Streckungsfaktor k=−0,7: Das Dreieck verkleinert sich um den Faktor 0,7 und wird um 180° um das Zentrum gedreht

Animation für verschiedene positive Werte von k (→ Animation mit allgemeinem k)

Bestimmung von Bildpunkten bzw. Bildmengen

Zeichnerisch

Eine Strecke wird zentrisch um den Faktor $k$ und das Zentrum $Z$ gestreckt, indem man

• Hilfsgeraden durch das Zentrum $Z$ und die Randpunkte der Strecke zeichnet,
• entlang dieser Hilfsgeraden die Entfernungen der Eckpunkte zum Zentrum misst,
• diese Entfernungen mit dem Faktor $k$ multipliziert und den resultierenden Wert von $Z$ aus auf die entsprechende Hilfsgerade abträgt (und zwar bei positivem $k$ auf der Halbgeraden mit Endpunkt $Z$, auf der auch der ursprüngliche Punkt liegt),
• die neu eingezeichneten Punkte zur zentrisch gestreckten Strecke verbindet.

Diese Definition für Strecken überträgt sich unmittelbar auf Vielecke, die ja aus miteinander verbundenen Strecken bestehen (siehe etwa das im ersten Bild verlinkte Konstruktionsprotokoll). Sie überträgt sich auch auf beliebige geometrische Figuren, wo allerdings mitunter jeder einzelne Punkt in dieser Weise abgebildet werden müsste. Im Falle eines Kreises genügt es, den Kreismittelpunkt entsprechend abzubilden und den Radius des Bildkreises entsprechend anzupassen.

Ist der Streckfaktor negativ, so muss man die Bildpunkte im Abstand des Betrags von $k$ auf der entsprechenden Hilfsgeraden zur bezogen auf $Z$ gegenüberliegenden Seite einzeichnen (also auf die Halbgerade mit Endpunkt $Z$, auf der der ursprüngliche Punkt nicht liegt). Dadurch dreht sich die gestreckte Figur relativ zur ursprünglichen um 180° (siehe zweites Bild).

Ist $k=1$, so ergibt sich als Bild die ursprüngliche Figur, für $k=-1$ ist das Bild eine reine Drehung um $Z$. Für $k=0$ würden alle Punkte auf das Zentrum abgebildet werden, weshalb es keine Ähnlichkeitsabbildung mehr wäre; deshalb wird dieser Wert im Definitionsbereich für gewöhnlich ausgeschlossen.

Konstruktion

Die Konstruktion des Bildpunkts P' eines gegebenen Punkts P ist einfach, wenn ein weiterer Punkt Q und sein Bildpunkt Q' gegeben sind. Man erhält P', indem man die Gerade ZP mit der Parallele zu PQ durch Q' schneidet. Dabei wird vorausgesetzt, dass Z, P und Q nicht auf einer Gerade liegen.

Definition

Gegeben seien ein Punkt $Z$ der Zeichenebene oder des Raumes und eine reelle Zahl $k\neq 0$. Die zentrische Streckung mit Zentrum $Z$ und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) $k$ ist diejenige Abbildung der Zeichenebene beziehungsweise des Raumes in sich, bei der der Bildpunkt $P'$ eines Punktes $P$ folgende Eigenschaften besitzt:

• $Z$, $P$ und $P'$ liegen auf einer Geraden.
• Für $k>0$ liegen $P$ und $P'$ auf derselben Seite von $Z$, für $k<0$ auf verschiedenen Seiten.
• Die Streckenlänge ${\overline {ZP'}}$ ist gleich dem $|k|$-fachen der Streckenlänge ${\overline {ZP}}$.

Die beiden Skizzen zeigen in Grün die Anwendung zweier zentrischer Streckungen (mit $k=2$ und $k=-0{,}7$) auf jeweils das gleiche blaue Dreieck ABC.

Eigenschaften

• Zentrische Streckungen sind geraden-, kreis- und winkeltreu.
• Die Längenverhältnisse bleiben erhalten.
• Die Bildstrecke einer beliebigen Strecke hat die $|k|$-fache Länge.
• Eine beliebige geometrische Figur wird auf eine Figur mit dem $k^{2}$-fachen Flächeninhalt abgebildet.
• Ein beliebiger Körper wird auf einen Körper mit dem $|k|^{3}$-fachen Volumen abgebildet.
• Die zentrischen Streckungen mit einem bestimmten Zentrum bilden algebraisch gesehen eine Gruppe.
• Das Bild einer Geraden ist eine Parallele zu der Geraden.
• In vektorieller Schreibweise wird die zentrische Streckung mit Zentrum $Z$ und Streckungsfaktor $k$ beschrieben durch

$P'=Z+k(P-Z)=kP+(1-k)Z$.

• Damit ist eine zentrische Streckung die Affinität, die durch die Matrix $kE_{n}$ und den Verschiebungsvektor $(1-k)Z$ beschrieben wird.
• Auch die identische Abbildung wird als Streckung mit dem Streckfaktor $k=1$ zu den Streckungen gezählt. Eine nichtidentische Streckung hat genau einen Fixpunkt, das ist ihr Streckzentrum, und ihre Fixgeraden sind genau die Geraden, die durch dieses Zentrum gehen.

Spezialfälle

Für $k=1$ ergibt sich die identische Abbildung (Identität), für $k=-1$ eine Punktspiegelung. Der Fall $k=0$ ist nicht erlaubt, da sonst alle Punkte denselben Bildpunkt hätten, nämlich das Zentrum.

Verallgemeinerungen

• Die zentrische Streckung ist ein Beispiel für eine Dilatation. In der axiomatisch aufgebauten affinen Geometrie wird dieser Begriff mithilfe der Parallelität definiert.
• Die zentrische Streckung ist der Spezialfall einer Drehstreckung mit Drehwinkel 0.
• An Stelle des affinen 2- bzw. 3-dimensionalen Raumes über den reellen Zahlen, kann man zentrische Streckungen auch allgemeiner in jedem endlichdimensionalen affinen Raum über einem beliebigen Körper und sogar über einem beliebigen Schiefkörper definieren. Die „vektorielle“ Darstellung ist die Gleiche wie im reellen Fall, allerdings bilden die Parallelverschiebungen, die von einem Zentrum aus gestreckt werden, im Allgemeinen nur noch einen Linksvektorraum über dem Koordinatenschiefkörper.
• Im ebenen, zweidimensionalen Fall wird noch etwas allgemeiner auch noch dann von einer zentrischen Streckung gesprochen, wenn die Parallelverschiebungen (als Koordinaten-„Vektoren“) einer affinen Translationsebene über einem Quasikörper mit einem „Skalar“ aus dem Kern des Quasikörpers gestreckt werden.

In den beiden zuletzt genannten Fällen kann man im Allgemeinen weder von Winkel- noch von Längenverhältnistreue sprechen, da weder ein Winkelmaß noch ein Längenmaß existieren muss. Auch hier gehören die zentrischen Streckungen aber stets zu den Dilatationen und den Affinitäten und für Fixpunkte und Fixgeraden gilt das Gleiche wie im reellen Fall.

Siehe auch

• Strahlensatz
• Siebeneck bei gegebenem Umkreis
• Elfeck bei gegebener Seitenlänge

Literatur

• Lambacher Schweizer 8, V Ähnlichkeit, In: Mathematik für Gymnasien, Ernst Klett Verlag GmbH, Stuttgart 2013, ISBN 978-3-12-734181-2, S. 178–214
• Streckung In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 433–435
• Hans Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2 S. 126–133
• Susanne Müller-Philipp, Hans-Joachim Gorski: Leitfaden Geometrie. Vieweg+Teubner, 5. erweiterte Auflage, 2012, S. 208–218
• Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. Vieweg+Teubner, 2. überarbeitete Auflage, 2009, S. 88–94

Weblinks

Commons: Homothety – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Homethety (zentrische Streckung) auf cut-the-knot.org
• Jürgen Roth: Geometrie. Skript, Uni Koblenz-Landau
• Jürgen Roth: Zentrische Streckung – interaktive Illustration
• Zentrische Streckungen auf Geogebratube