Zentrische Streckung

mathematische Transformation

Eine zentrische Streckung ist in der Geometrie eine Abbildung, die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind. Zentrische Streckungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen, in der synthetischen Geometrie nennt man sie auch Homothetien.[1]

Zentrische Streckung mit positivem Streckungsfaktor k=2: Die Strecken verdoppeln sich, die Fläche vervierfacht sich (→ Konstruktionsprotokoll als PDF)
Zentrische Streckung mit negativem, verkleinerndem Streckungsfaktor k=−0,7: Das Dreieck verkleinert sich um den Faktor 0,7 und wird um 180° um das Zentrum gedreht
Animation für verschiedene positive Werte von k (→ Animation mit allgemeinem k)

KonstruktionBearbeiten

Eine Strecke wird zentrisch um den Faktor   und das Zentrum   gestreckt, indem man

  • Hilfsgeraden durch das Zentrum   und die Randpunkte der Strecke zeichnet,
  • entlang dieser Hilfsgeraden die Entfernungen der Eckpunkte zum Zentrum misst,
  • diese Entfernungen mit dem Faktor   multipliziert und den resultierenden Wert von   aus auf die entsprechende Hilfsgerade abträgt (und zwar bei positivem   auf der Halbgeraden mit Endpunkt  , auf der auch der ursprüngliche Punkt liegt),
  • die neu eingezeichneten Punkte zur zentrisch gestreckten Strecke verbindet.

Diese Definition für Strecken überträgt sich unmittelbar auf Vielecke, die ja aus miteinander verbundenen Strecken bestehen (siehe etwa das im ersten Bild verlinkte Konstruktionsprotokoll). Sie überträgt sich auch auf beliebige geometrische Figuren, wo allerdings mitunter jeder einzelne Punkt in dieser Weise abgebildet werden müsste. Im Falle eines Kreises genügt es, den Kreismittelpunkt entsprechend abzubilden und den Radius des Bildkreises entsprechend anzupassen.

Ist der Streckfaktor negativ, so muss man die Bildpunkte im Abstand des Betrags von   auf der entsprechenden Hilfsgeraden zur bezogen auf   gegenüberliegenden Seite einzeichnen (also auf die Halbgerade mit Endpunkt  , auf der der ursprüngliche Punkt nicht liegt). Dadurch dreht sich die gestreckte Figur relativ zur ursprünglichen um 180" (siehe zweites Bild).

Ist  , so ergibt sich als Bild die ursprüngliche Figur, für   ist das Bild eine reine Drehung um  . Für   würden alle Punkte auf das Zentrum abgebildet werden, weshalb es keine Ähnlichkeitsabbildung mehr wäre; deshalb wird dieser Wert im Definitionsbereich für gewöhnlich ausgeschlossen.

DefinitionBearbeiten

Gegeben seien ein Punkt   der Zeichenebene oder des Raumes und eine reelle Zahl  . Die zentrische Streckung mit Zentrum   und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor)   ist diejenige Abbildung der Zeichenebene beziehungsweise des Raumes in sich, bei der der Bildpunkt   eines Punktes   folgende Eigenschaften besitzt:

  •  ,   und   liegen auf einer Geraden.
  • Für   liegen   und   auf derselben Seite von  , für   auf verschiedenen Seiten.
  • Die Streckenlänge   ist gleich dem  -fachen der Streckenlänge  .

Die beiden Skizzen zeigen in Grün die Anwendung zweier zentrischer Streckungen (mit   und  ) auf jeweils das gleiche blaue Dreieck ABC.

EigenschaftenBearbeiten

  • Zentrische Streckungen sind geraden-, kreis- und winkeltreu.
  • Die Längenverhältnisse bleiben erhalten.
  • Die Bildstrecke einer beliebigen Strecke hat die  -fache Länge.
  • Eine beliebige geometrische Figur wird auf eine Figur mit dem  -fachen Flächeninhalt abgebildet.
  • Ein beliebiger Körper wird auf einen Körper mit dem  -fachen Volumen abgebildet.
  • Die zentrischen Streckungen mit einem bestimmten Zentrum bilden algebraisch gesehen eine Gruppe.
  • Das Bild einer Geraden ist eine Parallele zu der Geraden.
  • In vektorieller Schreibweise wird die zentrische Streckung mit Zentrum   und Streckungsfaktor   beschrieben durch
 .
  • Damit ist eine zentrische Streckung die Affinität, die durch die Matrix   und den Verschiebungsvektor   beschrieben wird.
  • Auch die identische Abbildung wird als Streckung mit dem Streckfaktor   zu den Streckungen gezählt. Eine nichtidentische Streckung hat genau einen Fixpunkt, das ist ihr Streckzentrum, und ihre Fixgeraden sind genau die Geraden, die durch dieses Zentrum gehen.

SpezialfälleBearbeiten

Für   ergibt sich die identische Abbildung (Identität), für   eine Punktspiegelung. Der Fall   ist nicht erlaubt, da sonst alle Punkte denselben Bildpunkt hätten, nämlich das Zentrum.

VerallgemeinerungenBearbeiten

  • Die zentrische Streckung ist ein Beispiel für eine Dilatation. In der axiomatisch aufgebauten affinen Geometrie wird dieser Begriff mithilfe der Parallelität definiert.
  • Die zentrische Streckung ist der Spezialfall einer Drehstreckung mit Drehwinkel 0.
  • An Stelle des affinen 2- bzw. 3-dimensionalen Raumes über den reellen Zahlen, kann man zentrische Streckungen auch allgemeiner in jedem endlichdimensionalen affinen Raum über einem beliebigen Körper und sogar über einem beliebigen Schiefkörper definieren. Die „vektorielle“ Darstellung ist die Gleiche wie im reellen Fall, allerdings bilden die Parallelverschiebungen, die von einem Zentrum aus gestreckt werden, im Allgemeinen nur noch einen Linksvektorraum über dem Koordinatenschiefkörper.
  • Im ebenen, zweidimensionalen Fall wird noch etwas allgemeiner auch noch dann von einer zentrischen Streckung gesprochen, wenn die Parallelverschiebungen (als Koordinaten-„Vektoren“) einer affinen Translationsebene über einem Quasikörper mit einem „Skalar“ aus dem Kern des Quasikörpers gestreckt werden.

In den beiden zuletzt genannten Fällen kann man im Allgemeinen weder von Winkel- noch von Längenverhältnistreue sprechen, da weder ein Winkelmaß noch ein Längenmaß existieren muss. Auch hier gehören die zentrischen Streckungen aber stets zu den Dilatationen und den Affinitäten und für Fixpunkte und Fixgeraden gilt das Gleiche wie im reellen Fall.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schoeningh 1977

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Wilhelm Klingenberg: Lineare Algebra und Geometrie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 3-642-77646-9, S. 208