Koordinatensystem

Beschreibung der Position von Punkten
(Weitergeleitet von Koordinatenursprung)
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Ein Koordinatensystem dient dazu, Punkte einer Punktmenge mit Hilfe von Zahlen, den Koordinaten, in eindeutiger Weise zu beschreiben. Die einfachsten Beispiele sind ein Zahlenstrahl und kartesische Koordinaten in der euklidischen Ebene. Im ersten Fall wird einem Punkt einer Gerade eine reelle Zahl zugeordnet. Im zweiten Fall wird ein Punkt durch zwei reelle Zahlen beschrieben. Dass es meistens unendlich viele Möglichkeiten gibt, ein Koordinatensystem einzuführen, erkennt man am Beispiel des Zahlenstrahls: Man hat unendlich viele Möglichkeiten einen Punkt auszuwählen, dem die Zahl 0 zugeordnet werden soll. Oder in der euklidischen Ebene: Selbst nach Wahl eines Punktes als Koordinatenursprung (kurz: Ursprung) lässt sich jedes (verschiedene) Paar von Zahlenstrahlen durch den Ursprung als Koordinatenachsen wählen. Ein Punkt wird dann durch ein geordnetes Zahlenpaar beschrieben. Geordnet bedeutet: beschreibt die Punkte der 1. Koordinatenachse (x-Achse) und die 2. Koordinatenachse (y-Achse). Der Ursprung hat die Koordinaten . Affine Koordinatensysteme sind besonders gut geeignet, Geraden einfach (durch lineare Gleichungen) zu beschreiben.

Zahlenstrahl (oben), ebene kartesische Koordinaten (unten)
  a b c d e f g h  
8 Chess --t45.svg Chess --t45.svg Chess --t45.svg Chess --t45.svg Chess --t45.svg Chess --t45.svg Chess --t45.svg Chess --t45.svg 8
7 Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg 7
6 Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg 6
5 Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg 5
4 Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg 4
3 Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg 3
2 Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg 2
1 Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg Chess t45.svg 1
  a b c d e f g h  

Die Felder des Schachbretts werden mit einem Zahlen-Buchstaben-Paar bezeichnet.

Spielen andere Kurven, z. B. Kreise, eine wesentliche Rolle, können Polarkoordinaten eine bessere Wahl sein. In diesem Fall lässt sich nur eine Koordinate als Länge interpretieren, die zweite Koordinate beschreibt einen Winkel.

Zur Beschreibung von euklidischen Räumen benötigt man mehr als zwei Koordinaten. Man spricht dann von einem n-Tupel (statt von einem Zahlenpaar).

Als Koordinatenbereiche können auch allgemeinere algebraische Bereiche, z. B. komplexe Zahlen, Körper, Schiefkörper, ... vorkommen. Eine Kombination aus Alphabet und natürlichen Zahlen wird bei der Beschreibung der Felder eines Schachbrettes benutzt.

Bei homogenen Koordinaten schwächt man die Eindeutigkeitsforderung etwas ab.

Der große Vorteil von Koordinaten aus einem algebraischen Zahlbereich ist die dann mögliche Lösung von geometrischen Problemen mit Hilfe der Algebra (z. B. Schnitt einer Gerade mit einem Kreis).

Der Begriff Koordinate – in der Bedeutung „Lageangabe“ – wurde im 18. Jahrhundert aus dem Wort Ordinate (Senkrechte) gebildet.[1]

Affines KoordinatensystemBearbeiten

 
affine Koordinaten

Wählt man in der euklidischen Ebene drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte   aus, so sind die beiden Vektoren   linear unabhängig. Mit dem Punkt   als Ursprung lässt sich der Ortsvektor   eines beliebigen Punktes   so schreiben:

 

und dem Punkt   das Zahlenpaar   als affine Koordinaten[2] bezüglich den Basispunkten   zuordnen.

Bilden die Vektoren   eine Orthonormalbasis, so ergeben sich kartesische Koordinaten. In diesem Fall sind für einen Punkt   die Punktmengen   und   Geraden, die sich orthogonal schneiden.
Sind die Basisvektoren nicht orthogonal (siehe Bild), spricht man von schiefwinkligen Koordinaten.

 
Links- und rechtshändiges (rechts) dreidimensionales Koordinatensystem

Entsprechend sind affine Koordinaten für höhere Dimensionen erklärt.

Koordinaten auf diese Weise zu definieren ist für jeden n-dimensionalen affinen Raum über einem Körper möglich, ist also nicht auf einen euklidischen Raum beschränkt.

Da der 3-dimensionale Raum in der Praxis eine wichtige Rolle spielt, gibt es für die Einführung von Koordinaten gewisse Vereinbarungen, z. B. das Rechtssystem.

Nicht-affine KoordinatensystemeBearbeiten

In der EbeneBearbeiten

 
Polarkoordinaten
 
elliptische Koord.

Da für Berechnungen von Längen und Winkel es von Vorteil ist, wenn die Kurven   bzw.   sich orthogonal schneiden, ist man an Kurvensystemen interessiert, die sich orthogonal schneiden. Denn, dann lässt sich in jedem Punkt leicht ein lokales kartesisches Koordinatensystem angeben (s. unten).

Das einfachste nicht lineare orthogonale Kurvensystem besteht aus den Strahlen in einem Punkt   und den zugehörigen konzentrischen Kreisen. Man erhält damit die Polarkoordinaten. Man beachte: Sie sind nur für Punkte   definiert. Für die Radiuskoordinate gilt  . Der Winkelbereich besteht nur aus dem halboffenen Intervall  .

Elliptische Koordinaten verwenden sich senkrecht schneidende Systeme von konfokalen Ellipsen und Hyperbeln. Diese Koordinaten sind für die Brennpunkte und die Punkte dazwischen nicht definiert.

Im RaumBearbeiten

 
Zylinderkoordinaten
 
Kugelkoordinaten

Die den Polarkoordinaten entsprechenden räumlichen Koordinaten sind die

Zylinderkoordinaten. Sie sind nur für Punkte außerhalb der Zylinderachse definiert. und die
Kugelkoordinaten. Auch hier gelten Einschränkungen der Definitionsbereiche und Punkte, denen Kugelkoordinaten zugeordnet werden.

Den (ebenen) elliptischen Koordinaten entsprechen die Ellipsoid-Koordinaten. Das hier verwendete orthogonale Flächensystem besteht aus konfokalen Ellipsoiden, einschaligen und zweischaligen Hyperboloiden.

Weiterhin gibt es noch die ellipsoidische Koordinaten, die zur Beschreibung von Punkten eines Rotations-Ellipsoids (Erde) verwendet werden.

Auf FlächenBearbeiten

Parameterdarstellungen von Flächen kann man als Koordinatensysteme dieser Flächen ansehen. Z. B. die Parameterdarstellung einer Ebene, die übliche Parameterdarstellung einer Kugeloberfläche mit geographischer Länge und Breite oder die Paramerdarstellung eines Ellipsoids.

Weitere krummlinige KoordinatensystemeBearbeiten

Weitere Beispiele und Anwendungen von Koordinatensystemen findet man in dem Artikel krummlinige Koordinaten.

Lokale KoordinatensystemeBearbeiten

 
Kugelkoordinaten mit zugehöriger lokaler Basis  

Sind   ebene krummlinige orthogonale Koordinaten (Polarkoordinaten, elliptische Koordinaten,...) und bestimmt man in einem Punkt   die Tangentenrichtungen der Kurven   und   und normiert diese, so erhält man lokale Basisvektoren, die man für ein lokales kartesisches Koordinatensystem verwenden kann.

Bei Polarkoordinaten zeigt der eine Vektor in Radiusrichtung und der andere in Richtung der Tangente des Kreises durch  . Hier kann man sich das lokale System durch Verschiebung und geeigneter Drehung aus dem globalen System entstanden denken.

Im Raum bestimmt man die Tangentenvektoren an die durch einen Punkt   gehenden Kurven  ,   und   und normiert sie. Siehe (im Bild) das Beispiel Kugelkoordinaten.

KoordinatentransformationenBearbeiten

Für das Umrechnen von Koordinaten eines Systems in die Koordinaten eines anderen Systems gibt es die Koordinatentransformationen.

Homogene Koordinaten in der EbeneBearbeiten

Die euklidische Ebene lässt sich auch mit homogenen Koordinaten beschreiben. Dabei werden einem Punkt   drei homogene Koordinaten   so zugeordnet, dass auch   für alle   gilt. Eine Standardzuordnung ist  . Setzt man   erhält man baryzentrische Koordinaten. Der große Vorteil homogener Koordinaten ist, dass Punkte der Ferngerade einfach zu beschreiben sind: Im Standardfall durch die Gleichung  , im baryzentrischen Fall durch die Gleichung  . Die bei affinen Koordinaten nötigen Grenzwert-Überlegungen werden im Standardfall zum einfachen Setzen von  .

In der Dreiecksgeometrie werden auch trilineare Koordinaten verwendet.

Weitere KoordinatensystemeBearbeiten

Einige nur in Fachgebieten (z. B. Geodäsie, Kartografie, Geographie, Fernerkundung, Astronomie, Amateurfunk) gebräuchliche Koordinatensysteme sind:

WeblinksBearbeiten

Wiktionary: Koordinate – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Koordinatensystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

LiteraturBearbeiten

  • Kleine Enzyklopädie Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 1977, ISBN 3 87144 323 9, S. 303.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Etymologie nach Kluge Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache, 24. Auflage, 2002.
  2. Bronstein, Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Teubner-Verlag, Leipzig, 1979, ISBN 3 87144 492 8, S. 606