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Kugel

Menge aller äquidistanten Punkte um einen zentralen Punkt im dreidimensionalen Raum
Bild einer Kugel mit Längen- und Breitenkreisen

Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper.

Inhaltsverzeichnis

Kugelfläche und KugelkörperBearbeiten

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl   ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl   als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper oder Vollkugel. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt ( ,  ,  ) und Radius   ist die Menge aller Punkte ( ,  ,  ), für die

 

erfüllt ist.

 
Kugelkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem

In Vektorschreibweise mit  ,  :

 ,
 ,
  oder
 .

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius   und dem Zentrum im Ursprung können durch Kugelkoordinaten wie folgt parametrisiert werden:

 
 
 

mit   und  .

KugelschnitteBearbeiten

  • Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, entsteht immer ein Kreis. Wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, nennt man die Schnittlinie Großkreis, andernfalls Kleinkreis.
  • Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen Kugelabschnitt oder Kugelsegment, im Falle des Großkreises Halbkugel (Hemisphäre).
  • Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt.
  • Ein Kugelsegment und der Kegel mit dem Schnittkreis als Basis und dem Kugelmittelpunkt als Spitze ergeben einen Kugelausschnitt oder Kugelsektor.
  • Zwei parallele, die Kugel schneidende (nicht berührende) Ebenen schneiden aus der Kugel eine Kugelschicht heraus. Den gekrümmten Teil der Oberfläche einer Kugelschicht bezeichnet man als Kugelzone.
  • Zwei sich schneidende Ebenen, deren Schnittgerade teilweise innerhalb der Kugel liegt, schneiden aus der Kugel ein Objekt, dessen gekrümmte Oberfläche das Kugelzweieck ist.
  • Eine Kugelschale (Hohlkugel) ist die Differenzmenge zweier konzentrischer Kugeln mit unterschiedlichem Radius.

FormelnBearbeiten

Formeln zur Kugel
Geometrische Größe Formel
Kugelradius  
Kugeldurchmesser  
Umfang (Großkreis)  
Volumen  
Oberfläche  
Projektionsfläche/Kugelquerschnitt  
Höhe (Kugelsegment/-kalotte, Kugelschicht,

nicht mit dem h in der Skizze unten identisch)

 
Volumen einer Kugelkalotte  
Flächeninhalt einer Kugelkalotte  
Mantelfläche einer Kugelschicht  
Trägheitsmoment einer Hohlkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)  
Trägheitsmoment einer Vollkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)  

VolumenBearbeiten

Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.

Kegelherleitung (archimedische Herleitung)Bearbeiten

 
Herleitung des Kugelvolumens nach Cavalieri

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius   einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius   und Höhe   einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius   und Höhe   entfernt.

Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand   haben.

Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius   dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

 .

Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche

 .

Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius   und Innenradius  . Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge

 .

Für einen beliebigen Abstand   zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit folgt mit dem Prinzip von Cavalieri, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.

Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen:

Man subtrahiert vom Zylindervolumen das Kegelvolumen.

 
 
 

Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:

 .

Alternative HerleitungBearbeiten

Die Kugel kann in unendlich viele Pyramiden mit der Höhe   zerteilt werden (Spitzen im Mittelpunkt der Kugel), deren gesamte Grundfläche der Oberfläche der Kugel (siehe weiter unten) entspricht. Damit beträgt das gesamte Volumen aller Pyramiden:  .

Herleitung mit Hilfe der IntegralrechnungBearbeiten

Radius im Abstand  :

 .

Kreisfläche im Abstand  :

 .

Volumen der Kugel  :

 
 
 .

Auf die gleiche Art kann man das Volumen eines Kugelsegments   der Höhe   berechnen:

 
 
 .

Weitere HerleitungenBearbeiten

Eine Kugel mit Radius  , deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, lässt sich durch die Gleichung

 

beschreiben, wobei   die Raumkoordinaten sind.

Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem auf zwei Arten lösen:

Wir parametrisieren die Kugel bis auf eine Lebesgue-Nullmenge durch

 .

Mit der Funktionaldeterminante

 

ergibt sich das benötigte Volumenelement   als

 .

Das Volumen der Kugel ergibt sich daher als

 

Eine weitere Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:

 

Nun wird das kartesische Koordinatensystem in das Polarkoordinatensystem transformiert, was bedeutet, dass die Integration nach dem „Wechsel“ des Koordinatensystems mittels der Variablen   und   fortgeführt wird, anstatt wie zuvor durch   und  . Motivation dieser Transformation ist die erhebliche Vereinfachung der Rechnung im weiteren Verlauf. Für das Differential bedeutet das:   (Stichwort: Flächenelement)

 

Weiterer Weg mit Hilfe der Formel für Rotationskörper

Lässt man ein Flächenstück um eine feste Raumachse rotieren, erhält man einen Körper mit einem bestimmten Volumen. Bei einer Kreisfläche entsteht so eine Kugel. Anschaulich kann man sich das als eine rotierende Münze vorstellen.

Die allgemeine Formel für Rotationskörper, die um die x-Achse rotieren, ergibt

 .

Die Gleichung für den Kreis ist

 

mit Mittelpunkt

 .

Eingesetzt in die Gleichung für den Kreis erhalten wir

 .

Durch Einsetzen in die Formel für Drehkörper um die x-Achse erhält man

 

OberflächeBearbeiten

Die Kugeloberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Rand der Kugel bildet. Sie ist also die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Kugelmittelpunkt einen festen Wert   hat. Sie ist eine geschlossene, zweidimensionale Mannigfaltigkeit.

Ihr Flächeninhalt ist gleich groß wie der der Mantelfläche des Kreiszylinders, der die Kugel umhüllt.

Die Oberfläche ist  .

Die Kugel besitzt bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche aller möglichen Körper.

BegründungBearbeiten

 
Tangente an einer Kugel (Seitenansicht) d = Höhe einer Schicht; r = Radius der Kugel; c = Länge eines Feldes; x = Abstand des Tangentialpunktes von der Mittelachse
 
Kugelansicht

Teilt man eine Kugel auf in:

  • Schichten mit einer Höhe von jeweils   und
  • Meridiane“, die am Äquator ebenfalls den Abstand   zueinander haben

und lässt man   nach   streben,

  • so ist die Länge   jedes Feldes umgekehrt proportional zu   – also zu seinem Abstand von der Mittelachse.
Dies wird aus der oberen Zeichnung rechts deutlich:   ist der Abstand des Tangentialpunktes zur Mittelachse. Die Tangente liegt senkrecht zur „Speiche“   und die beiden (rechtwinkligen) Dreiecke sind einander ähnlich. Demnach gilt:
 .
  • Die Breite jedes Feldes hingegen ist proportional zu  .
Dies ergibt sich direkt aus der unteren Zeichnung, "Ansicht von oben".

Die Länge multipliziert mit der Breite ist demzufolge stets gleich groß, d. h. alle viereckigen Felder haben denselben Flächeninhalt.

Der Flächeninhalt am Äquator beträgt   (  wobei   gegen   strebt, da   am Äquator schneller gegen   strebt als   gegen  ).

Da alle Felder also den Inhalt   haben und es insgesamt (Anzahl der Felder in horizontaler Richtung multipliziert mit der Anzahl der Felder in vertikaler Richtung, also)   Felder gibt, beträgt der Gesamtflächeninhalt aller Felder:  .

Alternative Herleitung mit Hilfe des KugelvolumensBearbeiten

Eine Kugel kann man sich aus unendlich vielen, infinitesimalen (unendlich kleinen) Pyramiden zusammengesetzt vorstellen. Die Grundflächen dieser Pyramiden ergeben zusammen die Kugeloberfläche; die Höhen der Pyramiden sind jeweils gleich dem Kugelradius  . Da das Pyramiden-Volumen durch die Formel   gegeben ist, gilt eine entsprechende Beziehung für das Gesamtvolumen aller Pyramiden, also das Kugelvolumen:

  (O = Gesamtoberfläche der Kugel)

Wegen   ergibt sich:

 
 

Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens und der DifferentialrechnungBearbeiten

Da das Kugelvolumen mit

 

definiert ist und andererseits die Oberfläche eine Veränderung des Volumens laut

 

ist, ergibt sich die Oberflächenformel sofort aus der Ableitung der Volumenformel.

Herleitung mit Hilfe der IntegralrechnungBearbeiten

Aus der ersten Guldin’schen Regel

 

für die Mantelfläche eines Rotationskörpers ergibt sich:

 

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung in KugelkoordinatenBearbeiten

Für das Flächenelement auf Flächen   = konstant gilt in Kugelkoordinaten:

 .

Damit lässt sich die Oberfläche einfach berechnen:

 

EigenschaftenBearbeiten

 
Das Verhältnis des Volumens einer Kugel ( ) mit Radius   zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders ( ) ist
   
  • Die Kugel besitzt weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten, siehe dazu auch den Artikel Kartennetzentwurf.
  • Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebener Oberfläche umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind näherungsweise Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitationsbindungsenergie ist. Die mathematische Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.
  • Das Verhältnis des Volumens einer Kugel mit Radius   zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders (Radius  , Höhe   =  , siehe Bild) ist  . Das, sowie die Oberflächen- und Volumenformeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt.
  • Die Kugel rollt auf einer schiefen Ebene selbsttätig abwärts oder sie kann auf einer Fläche durch äußere Krafteinwirkung in allen Richtungen gerollt werden. In der Technik findet man industriell gefertigte (geschliffene) Kugeln schon seit dem 19. Jahrhundert in Rillenkugellagern.

VerallgemeinerungBearbeiten

Höherdimensionale euklidische RäumeBearbeiten

Der Begriff der Kugel lässt sich auf Räume anderer Dimension übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl   eine  ‑dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des  ‑dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl   (dem Radius) ist. Den Rand der  ‑dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich   ist, bezeichnet man als  ‑dimensionale Sphäre oder kurz  ‑Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der  ‑dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die  ‑dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und der Radius ist gleich 1.

Nach dieser Definition ist eine dreidimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2‑Sphäre. Eine zweidimensionale Kugel ist eine Kreisfläche, der zugehörige Kreisrand eine 1‑Sphäre. Eine eindimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0‑Sphäre aufgefasst werden können.

Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von  ‑Sphären, wenn sie  ‑dimensionale Sphären im  ‑dimensionalen Raum meinen.

Das  -dimensionale Volumen einer  -dimensionalen Kugel mit dem Radius   ist

 .

Hier ist   die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät. Den  ‑dimensionalen Inhalt der  ‑dimensionalen Oberfläche, also der  ‑Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:

 .
 
Volumen und Oberflächen von Einheitskugeln in   Dimensionen

Für eine Einheitskugel in   Dimensionen findet man also folgende Volumen und Oberflächeninhalte:

Dimensionen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2n 2n+1
Volumen 2                      
Oberfläche 2                      

Eine  -Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten  -Mannigfaltigkeit.

Metrische RäumeBearbeiten

Den Begriff der Kugel kann man auf alle Räume verallgemeinern, in denen man einen Abstandsbegriff hat, das sind die metrischen Räume.

Ist   ein metrischer Raum,   und  ,  , so nennt man

 

die offene Kugel mit Mittelpunkt   und Radius  .[1] Die Menge:

 

heißt abgeschlossene Kugel.

Manche Autoren schreiben auch   für die offenen und   für die abgeschlossenen Kugeln.[2] Andere Schreibweisen für die offenen Kugeln sind   und  .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Yann Rocher (hrsg.), Globes. Architecture et sciences explorent le monde, Norma/Cité de l'architecture, Paris, 2017.
  • Rainer Maroska, Achim Olpp, Claus Stöckle, Hartmut Wellstein: Schnittpunkt 10. Mathematik. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1997, ISBN 3-12-741050-6.

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Kugel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  Commons: Kugel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  Wikiquote: Kugel – Zitate

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, Definition 1.3. 3. Auflage 2001, ISBN 3-540-67790-9.
  2. Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1969, 2.8.1.