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Differentialgeometrie

Teilgebiet der Mathematik

Historische Entwicklung und aktuelle AnwendungsgebieteBearbeiten

Etliche grundlegende Arbeiten zur Differentialgeometrie stammen von Carl Friedrich Gauß. In dieser Zeit war die Mathematik noch stark mit verschiedenen Anwendungsgebieten verknüpft. Wichtige Ergebnisse lieferte diese Theorie dabei auf den Gebieten der Kartografie, Navigation und Geodäsie. Es entwickelte sich unter anderem die Kartenprojektionslehre, aus der die Begriffe geodätische Linie und gaußsche Krümmung stammen. Zudem stellte sich C.F. Gauß bereits die Frage, ob die durch Peilung gemessene Winkelsumme eines sehr großen Dreiecks tatsächlich exakt 180 Grad beträgt, und erweist sich damit als Wegbereiter der modernen Differentialgeometrie.

Die moderne Differentialgeometrie findet vor allem in der allgemeinen Relativitätstheorie und in der Satellitennavigation ihre Anwendung. Sie ermöglicht die Beschreibung von Phänomenen wie astronomische Lichtablenkung oder Periheldrehung des Merkur, die durch Experimente bzw. Beobachtung bestätigt werden können. Koordinatentransformationen entsprechen in der Relativitätstheorie dem Wechsel von Bezugssystemen, aus denen heraus ein Phänomen beobachtet wird. Dies entspricht damit unterschiedlichen Bewegungszuständen der Messapparatur bzw. des Beobachters.

Ein anderes wichtiges Anwendungsgebiet liegt in den Materialwissenschaften in der Theorie der Defekte und der Plastizität.

TeilgebieteBearbeiten

Elementare DifferentialgeometrieBearbeiten

Die ersten Arbeiten zur Differentialgeometrie beschäftigen sich sowohl mit Kurven als auch mit zweidimensionalen gekrümmten Flächen im dreidimensionalen reellen Anschauungsraum. Geschichtlich gesehen wurde es mit Gauß’ Arbeiten erstmals möglich, die Krümmung beispielsweise der zweidimensionalen Oberfläche einer Kugel auch quantitativ zu erfassen.

Eine weitere Motivation zur Entwicklung der elementaren Differentialgeometrie kam auch von dem mathematischen Problem der Minimalflächen her. Die in der Natur vorkommenden Seifenhäute lassen sich als Minimalflächen beschreiben. Die Form bzw. mathematische Darstellung dieser Flächen lässt sich dabei mit den Methoden aus der Variationsrechnung entwickeln. Die geometrischen Eigenschaften dieser Flächen wie Krümmung oder Abstände zwischen beliebigen Punkten auf einer Minimalfläche werden dagegen eher mit den Methoden der Differentialgeometrie berechnet.

DifferentialtopologieBearbeiten

Die Differentialtopologie ist Grundlage für die meisten modernen Teilgebiete der Differentialgeometrie. Im Gegensatz zur elementaren Differentialgeometrie werden in der Differentialtopologie die geometrischen Objekte intrinsisch beschrieben, das heißt die Definition der Objekte erfolgt ohne Rückgriff auf einen umgebenden Raum. Der zentrale Begriff ist der der differenzierbaren Mannigfaltigkeit: Eine  -dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein geometrisches Objekt (genauer: ein topologischer Raum), der lokal so aussieht wie der  -dimensionale reelle Raum. Das klassische Beispiel, das auch die Terminologie motiviert, ist die Erdoberfläche. In kleinen Ausschnitten lässt sie sich durch Karten beschreiben, das heißt kleine Teile „sehen aus wie“ die Ebene. Jedoch lässt sich die gesamte Erdoberfläche nicht mit der Ebene identifizieren. Außerdem tragen differenzierbare Mannigfaltigkeiten eine Struktur, die es erlaubt, von differenzierbaren Funktionen zu sprechen. Diese differenzierbare Struktur ermöglicht es, in den Karten lokal analytische Methoden anzuwenden. Außerdem kann man die Mannigfaltigkeit global als topologischen Raum untersuchen. So versucht die Differentialtopologie Verbindungen zwischen den lokalen analytischen und den globalen topologischen Eigenschaften herzustellen. Ein Beispiel für einen solchen Zusammenhang ist der Satz von de Rham.

Riemannsche GeometrieBearbeiten

Auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit gibt es keine vordefinierte Längenmessung. Ist sie als zusätzliche Struktur gegeben, spricht man von riemannschen Mannigfaltigkeiten. Diese Mannigfaltigkeiten sind Gegenstand der riemannschen Geometrie, die auch die zugehörigen Begriffe der Krümmung, der kovarianten Ableitung und des Paralleltransports auf diesen Mengen untersucht. Diese Begriffe können aber auch bei „nichtriemannschen“ oder „nicht-pseudoriemannschen“ Räumen definiert werden und setzen nur den allgemeinen differentialgeometrischen Begriff des Zusammenhanges voraus (präziser: allgemeine affine Differentialgeometrie im Gegensatz zu metrischer Differentialgeometrie, siehe unten.)

Semi-Riemannsche DifferentialgeometrieBearbeiten

Wenn anstelle der positiv-definiten Metrik einer riemannschen Mannigfaltigkeit eine nichtdefinite Metrik vorausgesetzt wird (gegeben durch eine nichtdefinite hermitesche bzw. symmetrisch-nichtdefinite nicht-entartete Bilinearform), erhält man eine semi- oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit. Ein Spezialfall sind die lorentzschen Mannigfaltigkeiten der allgemeinen Relativitätstheorie.

Finslersche GeometrieBearbeiten

Gegenstand der finslerschen Geometrie sind die finslerschen Mannigfaltigkeiten, das heißt Mannigfaltigkeiten, deren Tangentialraum mit einer Banachnorm ausgestattet ist, also einer Abbildung   mit folgenden Eigenschaften:

  1.  , für   und  ,
  2.  
  3.   ist glatt auf  ,
  4. die vertikale Hesse-Matrix ist positiv definit.

Finslersche Mannigfaltigkeiten spielen auch in der theoretischen Physik als allgemeinere Kandidaten für die strukturelle Beschreibung der Raumzeit eine Rolle.

Symplektische GeometrieBearbeiten

Statt einer symmetrischen nichtentarteten Bilinearform wird eine antisymmetrische nichtentartete Bilinearform ω gegeben. Wenn diese zusätzlich noch geschlossen ist, also dω=0, spricht man von einer symplektischen Mannigfaltigkeit. Weil ein symplektischer Vektorraum notwendigerweise gerade Dimension hat, haben auch symplektische Mannigfaltigkeiten gerade Dimension. Die erste wichtige Erkenntnis ist der Satz von Darboux, nach dem symplektische Mannigfaltigkeiten lokal isomorph zu T*Rn sind. Damit gibt es im Gegensatz zu semi-riemannschen Mannigfaltigkeiten keine (nichttrivialen) lokalen symplektischen Invarianten (außer der Dimension), sondern nur globale symplektische Invarianten. Als Verallgemeinerung zählen auch die Poisson-Mannigfaltigkeiten, die keine Bilinearform, sondern nur einen antisymmetrischen Bivektor haben. Dieser induziert eine Lie-Klammer zwischen den Funktionen. Symplektische Geometrie findet Anwendung in der Hamiltonschen Mechanik, einem Teilgebiet der theoretischen Mechanik.

KontaktgeometrieBearbeiten

Das Analogon zur symplektischen Geometrie für ungeraddimensionale Mannigfaltigkeiten ist Kontaktgeometrie. Eine Kontaktstruktur auf einer  -dimensionalen Mannigfaltigkeit   ist eine Familie   von Hyperebenen des Tangentialbündels, die maximal nicht-integrabel sind. Lokal können diese Hyperebenen als Kern einer 1-Form   dargestellt werden, d. h.

 .

Umgekehrt ist eine Kontaktform lokal eindeutig bestimmt durch die Familie  , bis auf einen nichtverschwindenden Faktor. Die Nichtintegrabilität bedeutet, dass dα beschränkt auf die Hyperebene nicht-entartet ist. Wenn die Familie   global durch eine 1-Form   beschrieben werden kann, dann ist   Kontaktform genau dann, wenn

  eine Volumenform auf   ist.

Es gilt ein Theorem analog zum Darboux-Theorem für symplektische Mannigfaltigkeiten, nämlich, dass alle Kontaktmannigfaltigkeiten der Dimension   lokal isomorph sind. Damit gibt es auch in der Kontaktgeometrie nur globale Invarianten.

Komplexe Geometrie und KählergeometrieBearbeiten

Komplexe Geometrie ist das Studium komplexer Mannigfaltigkeiten, das heißt Mannigfaltigkeiten, die lokal wie   aussehen und deren Übergangsfunktionen komplex-differenzierbar (holomorph) sind. Wegen der analytischen Eigenschaften komplex-differenzierbarer Funktionen hat man hier häufig Eindeutigkeitseigenschaften der Fortsetzung lokaler Funktionen/ Vektorfelder. Deshalb ist man bei globalen Untersuchungen meist auf die Theorie der Garben angewiesen. Eine fast-komplexe Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit ist eine Abbildung  , sodass  . Damit sind alle fast-komplexen Mannigfaltigkeiten von gerader Dimension. Der Unterschied zwischen einer fast-komplexen und einer komplexen Mannigfaltigkeit ist die Integrabilität der fast-komplexen Struktur. Diese wird vom Nijenhuis-Tensor   gemessen.

Eine hermitesche Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer hermiteschen Metrik   auf dem komplexifizierten reellen Tangentialbündel. Insbesondere muss   mit der komplexen Struktur   kompatibel sein, namentlich

  für alle  .

Als besonders strukturreich haben sich Hermitesche Mannigfaltigkeiten erwiesen, deren hermitesche Metrik zusätzlich kompatibel mit einer symplektischen Form sind, d. h.

  mit  .

In diesem Fall spricht man von einer Kählermannigfaltigkeit.

Schließlich befasst sich die Cauchy-Riemann-Geometrie mit berandeten komplexen Mannigfaltigkeiten.

Theorie der Lie-GruppenBearbeiten

So wie Gruppen auf Mengen basieren, sind Mannigfaltigkeiten die Grundlage der Lie-Gruppen. Die nach Sophus Lie benannten Lie-Gruppen treten an vielen Stellen der Mathematik und Physik als kontinuierliche Symmetriegruppen, beispielsweise als Gruppen von Drehungen des Raumes auf. Das Studium des Transformationsverhaltens von Funktionen unter Symmetrien führt zur Darstellungstheorie der Lie-Gruppen.

Globale AnalysisBearbeiten

Die globale Analysis ist ebenfalls ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, das mit der Topologie eng verbunden ist. Manchmal nennt man das Teilgebiet auch Analysis auf Mannigfaltigkeiten. In diesem mathematischen Forschungsgebiet werden gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten untersucht. So finden in dieser Theorie lokale Methoden aus der Funktionalanalysis, der mikrolokalen Analysis und der Theorie der partiellen Differentialgleichung und globale Methoden aus der Geometrie und Topologie Anwendung. Da dieses mathematische Teilgebiet im Vergleich zu den anderen Teilgebieten der Differentialgeometrie sehr viele Methoden der Analysis verwendet, wird es teilweise auch als Teilgebiet der Analysis verstanden.

Schon die ersten Arbeiten über Differentialgleichungen enthielten Aspekte der globalen Analysis. So sind die Studien von George David Birkhoff im Bereich der dynamischen Systeme und die Theorie der Geodäten von Harold Calvin Marston Morse frühe Beispiele für Methoden der globalen Analysis. Zentrale Resultate dieses mathematischen Teilgebiets sind die Arbeiten von Michael Francis Atiyah, Isadore M. Singer und Raoul Bott.[1][2] Besonders zu erwähnen sind hier der Atiyah-Singer-Indexsatz und der Atiyah-Bott-Fixpunktsatz, welcher eine Verallgemeinerung des Lefschetz’schen Fixpunktsatzes aus der Topologie ist.[3][4]

MethodenBearbeiten

KoordinatentransformationenBearbeiten

Koordinatentransformationen sind ein wichtiges Werkzeug der Differentialgeometrie, um die Anpassung einer Problemstellung an geometrische Objekte zu ermöglichen. Sollen beispielsweise Abstände auf einer Kugeloberfläche untersucht werden, so werden meist Kugelkoordinaten verwendet. Betrachtet man euklidische Abstände im Raum, so verwendet man dagegen eher kartesische Koordinaten. Mathematisch gesehen ist zu beachten, dass Koordinatentransformationen stets bijektive, beliebig oft stetig differenzierbare Abbildungen sind. Es existiert also immer auch die Inverse zu der betrachteten Koordinatentransformation.

Ein einfaches Beispiel ist der Übergang von kartesischen Koordinaten in der Ebene zu Polarkoordinaten. Jeder Ortsvektor des zweidimensionalen euklidischen Raumes lässt sich bei dieser Darstellung durch die Koordinaten   und   in der folgenden Weise ausdrücken

 

  und   werden dabei auch als Komponentenfunktionen von   bezeichnet. Sie berechnen sich in Abhängigkeit von den zwei Koordinaten   gemäß:

 

Werden nun ganz allgemein alle Koordinaten des neuen Koordinatensystems bis auf eine Koordinate konstant gehalten und die einzelne Koordinate innerhalb des Definitionsbereiches verändert, entstehen im euklidischen Raum Linien, die auch als Koordinatenlinien bezeichnet werden. Im Falle der angegebenen Polarkoordinaten entstehen so bei konstanter   Koordinate konzentrische Kreise mit Radius   um den Koordinatenursprung   des euklidischen Koordinatensystems. Bei konstanter   Koordinate entstehen Halbgeraden, die im Koordinatenursprung des euklidischen Koordinatensystems starten und nach   laufen. Mit Hilfe dieser Koordinatenlinien lässt sich in naheliegender Weise für jeden Punkt   des euklidischen Raumes ein neues, räumlich gedrehtes und wieder rechtwinkliges Koordinatensystem definieren. Man spricht daher bei Polarkoordinaten auch von rechtwinkligen Koordinaten. Die Achsen des gedrehten Koordinatensystems sind dabei gerade die Tangenten an die Koordinatenlinien, die durch den Punkt   laufen. Die Basisvektoren dieser ortsabhängigen und rechtwinkligen Koordinatensysteme lassen sich dabei direkt über die partiellen Ableitungen des Ortsvektors, gemäß der oben angegebenen Darstellung, nach den variablen Koordinaten   berechnen. Über die partiellen Ableitungen lassen sich auch die totalen Differentiale des Ortsvektors angeben:

 
 

Die Differentiale   werden auch als Koordinatendifferentiale bezeichnet. Bei diesem Beispiel haben die mit dem Differentialoperator „ “ verknüpften infinitesimalen Größen nicht immer die Bedeutung eines Abstandes. Man zeigt vielmehr relativ leicht, dass für die Abstände in radialer bzw. azimutaler Richtung gilt, dass zwar       ist, aber  ; d. h. erst mit dem Vorfaktor „ “ ergibt sich durch Integration über   von 0 bis   eine bekannte Größe der Dimension „Länge“, nämlich der Kreisumfang  .

Die Polarkoordinaten oder ihre dreidimensionale Verallgemeinerung, die Kugelkoordinaten, werden auch als krummlinig bezeichnet, da sie die Abstandberechnung auf einer gekrümmten Fläche, z. B. der Kugeloberfläche, ermöglichen. Es handelt sich – wie auch bei anderen Standardbeispielen, etwa den Zylinderkoordinaten, den elliptischen Koordinaten usw. – um orthogonale krummlinige Koordinaten (siehe auch: Krummlinige Koordinaten).

Ein wesentliches Hilfsmittel der klassischen Differentialgeometrie sind Koordinatentransformationen zwischen beliebigen Koordinaten, um geometrische Strukturen beschreiben zu können.

Die aus der Analysis bekannten, mit der Größe   gebildeten Differentialoperatoren können relativ leicht auf orthogonale krummlinige Differentialoperatoren erweitert werden. Z. B. gelten in allgemeinen orthogonalen krummlinigen Koordinaten bei Benutzung dreier Parameter   und der zugehörigen Einheitsvektoren   in Richtung von   folgende Beziehungen mit Größen  , die nicht notwendig konstant sind, sondern von  ,   und   abhängen können:

 

Dabei entstehen die durch Punkte angedeuteten zwei weiteren Terme aus dem ersten Term durch zyklische Vertauschung der Indizes.   bezeichnet den Laplace-Operator. Er kann aus dem skalarwertigen div-Operator und dem vektorwertigen grad-Operator zusammengesetzt werden gemäß

 

wobei

 

Die Formel für die Divergenz beruht auf der koordinatenunabhängigen Darstellung

 

wobei über die geschlossene,   berandende Fläche integriert wird.   bezeichnet den zugehörigen äußere Normalenvektor,   das zugehörige infinitesimale Flächenelement,  . Im allgemeinsten Fall – also für nicht-orthogonale, krummlinige Koordinaten – kann man diese Formel ebenfalls verwenden.

Kovariante AbleitungBearbeiten

Allgemeine, auf nicht notwendig orthogonalen krummlinigen Koordinaten beruhende Ableitungsoperatoren sind z. B. die kovarianten Ableitungen, die u. a. in riemannschen Räumen verwendet werden, wo sie in spezifischer Weise vom „inneren Produkt“, d. h. von der sog. „metrischen Fundamentalform“ des Raumes, abhängen. In anderen Fällen sind sie aber unabhängig von der Existenz einer lokalen Metrik oder können sogar extern vorgegeben sein, z. B. in Mannigfaltigkeiten „mit Konnexion“.

Sie ermöglichen u. a. die Definition von Verbindungslinien in gekrümmten Räumen, z. B. die Definition von Geodäten im riemannschen Raum. Geodätische Linien sind die lokal kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten in diesen Räumen. Die Längenkreise auf einer Kugel sind Beispiele für geodätische Linien, nicht aber die Breitenkreise (Ausnahme: Äquator).

Mit Hilfe allgemeiner Koordinatentransformationen werden im riemannschen Raum (und allgemeiner in Differentialgeometrien „mit gegebenem Zusammenhang“) die Christoffelsymbole   definiert. Diese gehen, entsprechend der unten gegebenen Basisdefinition, explizit in die Berechnung der kovarianten Ableitung eines Vektorfeldes ein.

Die kovariante Ableitung ist eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung des flachen (euklidischen) Raumes für gekrümmte Räume. Im Gegensatz zur partiellen Ableitung erhält sie die Tensoreigenschaft; im euklidischen Raum reduziert sie sich zur partiellen Ableitung. Im gekrümmten Raum sind die kovarianten Ableitungen eines Vektorfeldes im Allgemeinen nicht miteinander vertauschbar, ihre Nichtvertauschbarkeit wird zur Definition des Riemann'schen Krümmungstensors verwendet.

Ein weiterer wichtiger Begriff im Zusammenhang mit gekrümmten Räumen ist die Parallelverschiebung. Die kovariante Ableitung der Komponenten eines Vektors ist bei Parallelverschiebung null. Trotzdem kann die Parallelverschiebung eines Vektors entlang einer geschlossenen Kurve im gekrümmten Raum dazu führen, dass sich der verschobene Vektor nicht mit seinem Ausgangsvektor deckt.

Der zugehörige Formalismus beruht auf der Vorschrift, dass man Vektoren   als Summe   schreibt, wobei sich u. U. (nämlich gerade bei obigem „Paralleltransport“) nicht die Komponenten  , sondern nur die Basiselemente   ändern, und zwar nach der naheliegenden Regel:  .  Kovariante  und  partielle  Ableitung, meist mit Semikolon bzw. Komma geschrieben, sind also verschieden, und zwar gilt:

   also       oder auch  

In Mannigfaltigkeiten mit Zusatzstruktur (z. B. in riemannschen Mannigfaltigkeiten oder bei den sog. Eichtheorien) muss natürlich diese Struktur mit der Übertragung verträglich sein. Das ergibt Zusatzbeziehungen für die Christoffelsymbole. Z. B. dürfen sich bei riemannschen Räumen die Abstands- und Winkelverhältnisse zweier Vektoren bei Parallelverschiebung nicht ändern, und die Christoffelsymbole berechnen sich demzufolge in bestimmter Weise allein aus der metrischen Struktur.

KrümmungstensorBearbeiten

Die oben erwähnte Raumkrümmung ergibt sich analog: Wenn man den Basisvektor   im mathematisch positivem Sinn (entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn) erst eine infinitesimale Strecke   in  -Richtung und anschließend eine infinitesimale Strecke   in  -Richtung verschiebt, erhält man ein Ergebnis, das wir in der Form   schreiben können. Bei Vertauschung der Reihenfolge, also bei entgegengesetztem Drehsinn, erhält man das entgegengesetzte Ergebnis. Die Differenz   lässt sich also mit einer Größe  , die sich aus den Christoffelsymbolen ergibt, in folgender Form schreiben:

 

Bei Parallelverschiebung des Vektors   ergibt sich entsprechend:      Die Komponenten   bilden den Krümmungstensor, eine vektorwertige Differentialform. (In den sog. Yang-Mills-Theorien wird dieser Begriff verallgemeinert, indem z. B. „vektorwertig“ durch Lie-Algebra-wertig ersetzt wird; siehe auch Chernklassen.)

Die Existenz des Krümmungtensors setzt also insbesondere nicht voraus, dass man es wie in der Physik mit metrischen oder pseudometrischen Räumen zu tun hat (siehe oben), sondern es wird für die Struktur der Übertragung nur die Affinität vorausgesetzt.

LiteraturBearbeiten

Elementare DifferentialgeometrieBearbeiten

  • W. Blaschke, K. Leichtweiß: Elementare Differentialgeometrie. (= Vorlesungen über Differentialgeometrie. 1 = Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. 1). 5., vollständig neubearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-540-05889-3.
  • Manfredo P. do Carmo: Differentialgeometrie von Kurven und Flächen (= Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik. 55). Vieweg & Sohn, Braunschweig u. a. 1983, ISBN 3-528-07255-5.
  • Christian Bär: Elementare Differentialgeometrie. de Gruyter, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-11-015519-2.
  • Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie, Kurven – Flächen – Mannigfaltigkeiten. 4., überarbeitete Auflage. Friedr. Vieweg & Sohn, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0411-2.

Abstrakte Mannigfaltigkeiten, Riemannsche GeometrieBearbeiten

  • Rolf Walter: Differentialgeometrie. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1989, ISBN 3-411-03216-2.
  • Sigurdur Helgason: Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces (= Graduate Studies in Mathematics. 34). American Mathematical Society, Providence RI, 2001, ISBN 0-8218-2848-7.
  • S. Kobayashi, Katsumi Nomizu: Foundations of Differential Geometry. Band 1 (= Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. 15, 1). Interscience Publishers, New York NY u. a. 1963.
  • Pham Mau Quan: Introduction à la géométrie des variétés différentiables (= Monographies universitaires de mathématiques. 29). Dunod, Paris 1969. (Inhalt (PDF; 184 KB)).

Differentialgeometrie der DefekteBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. M. Atiyah, R. Bott: A Lefschetz fixed point formula for elliptic differential operators. In: Bull. Amer. Math. Soc. 72, 1966, S. 245–250.
  2. R. Palais u. a.: Seminar on the Atiyah-Singer index theorem. In: Ann. of Math. Study. No. 57, 1966.
  3. S. Smale: What is Global Analysis? In: The American Mathematical Monthly. Vol 76, No. 1, 1969, S. 4–9.
  4. 58: Global analysis, analysis on manifolds. In: The mathematic atlas. Archiviert vom Original am 4. Mai 2011; abgerufen am 4. September 2018 (englisch).