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Die hamiltonsche Mechanik, benannt nach William Rowan Hamilton, ist ein Teilgebiet der klassischen Mechanik. Sie untersucht die Bewegung im Phasenraum. Dabei handelt es sich um die Menge der Paare von Orts- und Impulswerten, die man bei dem betrachteten System von Teilchen anfänglich frei vorgeben kann. Danach bestimmt die Hamilton-Funktion durch die hamiltonschen Bewegungsgleichungen, wie sich die Orte und Impulse der Teilchen (bei Vernachlässigung von Reibung) mit der Zeit ändern.

Die Bewegungsgleichungen wurden 1834 von William Rowan Hamilton angegeben.

Alle Bewegungsgleichungen, die aus einem Wirkungsprinzip folgen, kann man als dazu äquivalente hamiltonsche Bewegungsgleichungen formulieren. Diese haben zwei entscheidende Vorteile:

  • Zum einen kann man zeigen, dass die Bewegung im Phasenraum flächentreu ist (siehe Henri Poincaré). Daraus folgt, dass es bei der Bewegung im Phasenraum Wirbel und Staupunkte gibt, vergleichbar dem Fluss einer inkompressiblen Flüssigkeit.
  • Zum anderen besitzen die hamiltonschen Bewegungsgleichungen eine große Gruppe von Transformationen, die kanonischen Transformationen, die es gestatten, sie in andere, manchmal lösbare hamiltonsche Gleichungen zu transformieren.

Mit den hamiltonschen Bewegungsgleichungen untersucht man insbesondere integrable und chaotische Bewegung und verwendet sie in der statistischen Physik.

EinzelheitenBearbeiten

Die Hamilton-Funktion   eines Systems von Teilchen ist ihre Energie als Funktion des Phasenraumes. Sie hängt von den (verallgemeinerten) Ortskoordinaten   und von den (verallgemeinerten) Impulskoordinaten   der Teilchen ab und kann auch von der Zeit   abhängen.

Die Zahl   der Koordinaten und Impulse nennt man die Zahl der Freiheitsgrade. Der Phasenraum ist  -dimensional.

Die Hamilton-Funktion bestimmt die zeitliche Entwicklung der Teilchenorte und Teilchenimpulse durch die hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

 

Dies ist ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung für die   unbekannten Funktionen der Zeit,  

Wenn die Hamilton-Funktion nicht explizit von   abhängt, dann schneiden sich die Lösungskurven nicht und es geht durch jeden Punkt des Phasenraums eine Lösungskurve.

Bei zeitabhängigen   kann man die Zeit als einen zusätzlichen Freiheitsgrad   mit zugehörigem Impuls   und der zeitunabhängigen Hamilton-Funktion   auffassen. Daher beschränken wir uns im Folgenden auf zeitunabhängige Hamilton-Funktionen. Allerdings ist die Funktion   nicht nach unten beschränkt und die Hyperfläche konstanter Energie   ist nicht, wie bei einigen Überlegungen vorausgesetzt, kompakt.

Teilchen im PotentialBearbeiten

Bei einem Teilchen der Masse  , das sich nichtrelativistisch in einem Potential   bewegt, setzt sich die Hamilton-Funktion aus kinetischer und potentieller Energie zusammen:

 

Die zugehörigen hamiltonschen Bewegungsgleichungen

 

sind Newtons Gleichungen für die Bewegung in einem konservativen Kraftfeld,

 

Insbesondere ist die potentielle Energie eines eindimensionalen   harmonischen Oszillators   Die hookesche Federkraft in der Bewegungsgleichung

 

bewirkt, dass die Bahn um die Ruhelage schwingt,

 

Dabei ist   die Amplitude und   eine Zeit, zu der diese maximale Auslenkung durchlaufen wird.

Freies relativistisches TeilchenBearbeiten

Für ein relativistisches, freies Teilchen mit der Energie-Impuls-Beziehung   ist die Hamilton-Funktion

 

Die hamiltonschen Bewegungsgleichungen besagen, wie die Geschwindigkeit mit dem Impuls zusammenhängt und dass sich der Impuls nicht mit der Zeit ändert:

 
 

Wenn die Hamilton-Funktion wie in diesen Beispielen nicht von der Zeit abhängt, behält das System von Teilchen seine anfängliche Energie, sie ist dann eine Erhaltungsgröße.

WirkungsprinzipBearbeiten

Die hamiltonschen Bewegungsgleichungen folgen aus dem hamiltonschen Prinzip der stationären Wirkung. Von allen denkbaren Bahnen im Phasenraum,

 

die anfänglich zur Zeit   durch den Anfangspunkt

 

und schließlich zur Zeit   durch den Endpunkt

 

laufen, ist die physikalisch durchlaufene Bahn diejenige, auf der die Wirkung

 

stationär ist.

Betrachtet man nämlich eine einparametrige Schar von Kurven

 

die anfänglich zur Zeit   durch den Anfangspunkt

 

und schließlich zur Zeit   durch den Endpunkt

 

laufen, so ist die Wirkung   für   extremal, falls dort die Ableitung nach   verschwindet.

Wir bezeichnen diese Ableitung als Variation der Wirkung

 

Ebenso ist

 

die Variation des Ortes und

 

die Variation des Impulses.

Die Variation der Wirkung ist nach der Kettenregel

 

Den zweiten Term schreiben wir als vollständige Zeitableitung und einen Term, bei dem   ohne Zeitableitung auftritt:

 

Das Integral über die vollständige Ableitung ergibt   zur Anfangs- und Endzeit und verschwindet, weil dann   verschwindet, denn es gehen alle Kurven der Schar durch dieselben Anfangs- und Endpunkte. Fassen wir schließlich die Terme mit   und   zusammen, so beträgt die Variation der Wirkung

 

Damit die Wirkung stationär ist, muss dieses Integral für alle   und alle   verschwinden, die anfänglich und schließlich verschwinden. Das ist genau dann der Fall, wenn die Faktoren verschwinden, mit denen sie im Integral auftreten:

 
 

Die Wirkung ist also stationär, wenn die hamiltonschen Bewegungsgleichungen gelten.

Zusammenhang zur Lagrange-FunktionBearbeiten

Die Hamilton-Funktion ist die bezüglich der Geschwindigkeiten   Legendre-Transformierte der Lagrange-Funktion  

 

Dabei sind auf der rechten Seite mit den Geschwindigkeiten   diejenigen Funktionen   gemeint, die man erhält, wenn man die Definition der Impulse

 

nach den Geschwindigkeiten auflöst.

Wenn man die Definition der Impulse invertieren und nach den Geschwindigkeiten auflösen kann, dann gelten die hamiltonschen Bewegungsgleichungen genau dann, wenn die Euler-Lagrange-Gleichungen der Wirkung

 

erfüllt sind. Denn die partielle Ableitung von   nach den Impulsen ergibt nach der Kettenregel und der Definition der Impulse

 

Ebenso ergibt die Ableitung nach den Ortskoordinaten

 

Die Euler-Lagrange-Gleichung besagt

 

Also gelten die hamiltonschen Bewegungsgleichungen, wenn die Euler-Lagrange-Gleichung gilt. Umgekehrt gilt die Euler-Lagrange-Gleichung, wenn die hamiltonschen Bewegungsgleichungen gelten.

Beispielsweise hängt beim freien relativistischen Teilchen mit der Lagrangefunktion

 

der Impuls gemäß

 

von der Geschwindigkeit ab. Umgekehrt ist die Geschwindigkeit daher die Funktion

 

des Impulses. In die obige Gleichung für   eingesetzt ergibt sich die schon angegebene Hamilton-Funktion des freien, relativistischen Teilchens.

Hängt die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit ab, dann besagt das Noether-Theorem, dass die Energie

 

auf den physikalischen Bahnen ihren anfänglichen Wert behält. Der Vergleich mit der Legendre-Transformation zeigt, dass es sich bei der Hamilton-Funktion um diese Energie handelt, bei der die Geschwindigkeiten als Funktion der Impulse aufzufassen sind:

 

Poisson-KlammerBearbeiten

Der Wert einer Phasenraumfunktion   ändert sich auf Bahnen   mit der Zeit dadurch, dass er explizit von   abhängt und dadurch, dass sich der Bahnpunkt ändert:

 

Die physikalisch durchlaufene Bahnen genügen den hamiltonschen Bewegungsgleichungen:

 

Mit der von Siméon Denis Poisson eingeführten Poisson-Klammer zweier Phasenraumfunktionen   und  

 

gilt also

 

Mit Poisson-Klammern geschrieben gleicht das Formelbild der hamiltonschen Bewegungsgleichungen den heisenbergschen Bewegungsgleichungen der Quantenmechanik.

Als Koordinatenfunktionen aufgefasst haben die Phasenraumkoordinaten die Poisson-Klammern

 

Ihnen entsprechen in der Quantenmechanik nach kanonischer Quantisierung die kanonischen Vertauschungsrelationen.

Die Poisson-Klammer ist antisymmetrisch, linear und genügt der Produktregel und der Jacobi-Identität. Für alle Zahlen   und   und alle Phasenraumfunktionen   gilt

  •  
  •  
  •  
  •  

Die differenzierbaren Phasenraumfunktionen bilden eine Lie-Algebra mit der Poisson-Klammer als Lie-Produkt.

Hamiltonscher FlussBearbeiten

Zu jeder (zeitunabhängigen) Phasenraumfunktion   gehört das Vektorfeld  

 

das Phasenraumfunktionen   längs der Kurven ableitet, die die hamiltonschen Gleichungen mit   lösen.

Die Abbildung   der Anfangswerte der Lösungskurven   auf   ist der zu   gehörige hamiltonsche Fluss.

Symplektische StrukturBearbeiten

Der Phasenraum mit seiner Poisson-Klammer ist eine symplektische Mannigfaltigkeit mit der symplektischen Form

 

Angewendet auf die zu   und   gehörigen Vektorfelder ergibt diese Zweiform die Poisson-Klammer der beiden Funktionen:

 

Die symplektische Form ist invariant unter jedem hamiltonschen Fluss. Dies besagt Folgendes: Ist anfänglich eine zweidimensionale Fläche   im Phasenraum gegeben, dann wird sie mit der Zeit durch den hamiltonschen Fluss einer Phasenraumfunktion   auf die Fläche   abgebildet. Die mit der symplektischen Form gemessene Größe der Anfangsfläche stimmt mit der Größe zu jeder späteren Zeit überein. Hamiltonscher Fluss ist flächentreu:

 

Da das Flächenelement   invariant ist, ist auch das Volumenelement   invariant unter hamiltonschem Fluss. Dieser Befund ist Liouvilles Theorem. Das Volumen eines Bereichs   des Phasenraumes ändert sich nicht bei hamiltonscher Zeitentwicklung:

 

Insbesondere bleibt der Bereich, innerhalb dessen sich das System anfänglich wegen der Messfehler befindet, gleich groß. Daraus kann man allerdings nicht schließen, dass sich anfängliche Unkenntnis nicht vergrößert. Bei chaotischer Bewegung können Anfangswerte, die sich zunächst nur durch kleine Messfehler unterschieden, auf einen großen Bereich mit vielen kleinen Löchern wie Schlagsahne verteilt werden. Auch Schlagen von Sahne vergrößert ihr mikroskopisch ermitteltes Volumen nicht.

Kanonische TransformationBearbeiten

Die Hamilton-Gleichungen vereinfachen sich, falls die Hamilton-Funktion von einer Variablen, beispielsweise   nicht abhängt. Dann liegt eine Symmetrie vor: die Hamilton-Funktion ist invariant unter der Verschiebung von   Umgekehrt können bei Vorliegen einer Symmetrie (in einer Umgebung eines Punktes, der kein Fixpunkt ist) die Orts- und Impulsvariablen so gewählt werden, dass die Hamilton-Funktion von einer Variablen   nicht abhängt. Dann ist einfach  

Integrable BewegungBearbeiten

Die Bewegungsgleichungen sind integrabel, wenn die Hamilton-Funktion nur von den Impulsen abhängt. Dann sind die Impulse konstant und die Ableitungen der Hamilton-Funktion nach den Impulsen sind die zeitlich konstanten Geschwindigkeiten, mit denen die Koordinaten   linear zunehmen,

 

Ist zudem die Phasenraumfläche konstanter Energie   kompakt, dann handelt es sich bei den Koordinaten   um die Winkel auf einem Torus, die um   vergrößert wieder denselben Punkt benennen,

 

Der Phasenraum solch eines integrablen Systems besteht aus  -dimensionalen Tori, um die sich die Lösungskurven der hamiltonschen Gleichungen winden.

Zusammenhang mit der QuantenmechanikBearbeiten

So wie in der Mechanik die Hamilton-Funktion die Zeitentwicklung bestimmt, so bestimmt der Hamilton-Operator die Zeitentwicklung in der Quantenmechanik. Man erhält ihn für viele quantenmechanische Systeme aus der Hamilton-Funktion des entsprechenden klassischen Systems durch kanonische Quantisierung, indem man den algebraischen Ausdruck für   als Funktion von Operatoren   und   liest, die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

QuellenBearbeiten

Siehe auchBearbeiten