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Die erste Fundamentalform oder metrische Grundform ist in der Mathematik eine Funktion aus der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum, einem Teilgebiet der klassischen Differentialgeometrie. Die erste Fundamentalform ermöglicht unter anderem die Behandlung folgender Aufgaben:

  • Berechnung der Länge einer Kurve auf der gegebenen Fläche
  • Berechnung des Winkels, unter dem sich zwei Kurven auf der gegebenen Fläche schneiden
  • Berechnung des Flächeninhalts eines Flächenstücks der gegebenen Fläche

Ferner lassen sich aus den Koeffizienten der ersten Fundamentalform und ihren partiellen Ableitungen die gaußsche Krümmung (Formel von Brioschi) und die Christoffelsymbole zweiter Art bestimmen.

Diejenigen Eigenschaften einer Fläche, die sich mit Hilfe der ersten Fundamentalform untersuchen lassen, fasst man unter der Bezeichnung innere Geometrie zusammen.

Inhaltsverzeichnis

Definition und EigenschaftenBearbeiten

Eine Fläche sei durch eine auf einer offenen Teilmenge   definierte Abbildung

 

gegeben, also durch   und   parametrisiert. Für den durch die Parameterwerte   und   bestimmten Punkt der Fläche sind die Koeffizienten der ersten Fundamentalform folgendermaßen definiert:

 
 
 

Dabei sind die Vektoren

 

die ersten partiellen Ableitungen nach den Parametern   bzw.  . Die Malpunkte bezeichnen das Skalarprodukt der Vektoren.

Zur Vereinfachung lässt man häufig die Argumente weg und schreibt nur  ,   und   für die Koeffizienten. Die erste Fundamentalform ist dann die quadratische Form

 ,

Gelegentlich wird auch die Schreibweise mit Differentialen verwendet:

 

Eine weitere (modernere) Schreibweise ist:

 

Setzt man   und  , so gilt

  für  .

Die Zahlen   sind die Koeffizienten des kovarianten metrischen Tensors. Dieser hat also die Matrixdarstellung

 .

Oft bezeichnet man auch diesen Tensor, also die durch diese Matrix dargestellte Bilinearform, als erste Fundamentalform  

Für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform gilt:

 .

Dabei ist   die Diskriminante (also die Determinante der Darstellungsmatrix) der ersten Fundamentalform. Gilt darüber hinaus  , so folgt daraus auch   und   und die erste Fundamentalform ist positiv definit. Dies ist genau dann der Fall, wenn   und   linear unabhängig sind. Eine Fläche mit positiv definiter erster Fundamentalform heißt differentialgeometrisch regulär oder differentialgeometrisch regulär parametrisiert.

Länge einer FlächenkurveBearbeiten

Eine Kurve auf der gegebenen Fläche lässt sich ausdrücken durch zwei reelle Funktionen   und  : Jedem möglichen Wert des Parameters   wird der auf der Fläche gelegene Punkt   zugeordnet. Sind alle beteiligten Funktionen stetig differenzierbar, so gilt für die Länge des durch   festgelegten Kurvenstücks:

 

Mit Hilfe des Wegelements   ausgedrückt:

 

Inhalt eines FlächenstücksBearbeiten

Der Inhalt eines durch einen Parameterbereich   gegebenen Flächenstücks lässt sich berechnen durch

 .

Beispiel KugeloberflächeBearbeiten

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius   lässt sich in sphärischen Koordinaten parametrisieren durch

 .

Für die Koeffizienten der ersten Fundamentalform ergibt sich:

 
 
 

Die erste Fundamentalform ist demnach

 .

Spezialfall Graph einer FunktionBearbeiten

Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion   über dem Parameterbereich  , also   für alle  , so gilt:[1]

 

und damit

 

und

 .

Hierbei bezeichnen   und   die partiellen Ableitungen von   nach   bzw.  .

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. A. Hartmann: Flächen, Gauß-Krümmung, erste und zweite Fundamentalform, theorema egregium. (PDF) 12. April 2011, abgerufen am 29. September 2016. Seite 6, Beweis zu Satz 3.4.

LiteraturBearbeiten

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.