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Quadratische Form

mathematische Funktion

Eine quadratische Form ist in der Mathematik eine Funktion, die sich in einigen Aspekten wie die quadratische Funktion verhält. Das bekannteste Beispiel ist das Quadrat des Betrages eines Vektors. Quadratische Formen tauchen in vielen Bereichen der Mathematik auf. In der Geometrie dienen sie dazu, Metriken einzuführen, in der Elementargeometrie zur Beschreibung von Kegelschnitten. Sie sind aber, falls zum Beispiel über den rationalen oder ganzen Zahlen betrachtet, auch ein klassischer Gegenstand der Zahlentheorie, in der man etwa nach den Zahlen fragt, die sich durch eine quadratische Form darstellen lassen. Hier werden im Folgenden vor allem zahlentheoretische Aspekte betrachtet.

MotivationBearbeiten

Ein (reeller) Vektorraum   mit Skalarprodukt   lässt sich zu einem normierten Raum machen, indem man die Norm eines Vektors   als induzierte Norm   definiert. Die hierbei verwendete Quadratwurzel stört insofern, als man, wenn man stattdessen die Abbildung   betrachtet, auch auf allgemeinere Bilinearformen und andere Grundkörper   verallgemeinern kann. Da ein Vektorraum dadurch bestimmt ist, dass Vektoren addiert und mit Elementen des Grundkörpers skaliert werden können, ist zu untersuchen, wie die Abbildung   sich hierbei verhält. Man findet die folgenden Beziehungen:

 

Abbildungen  , die die obigen Bedingungen erfüllen, kann man auch betrachten, ohne dass sie von einer Bilinearform herstammen. Obendrein kann man von Vektorräumen über einem Körper zu Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement verallgemeinern. Häufig untersucht man hierbei den Ring   der ganzen Zahlen sowie den Modul  , insbesondere  .

DefinitionenBearbeiten

Quadratische Form in n UnbestimmtenBearbeiten

Eine quadratische Form (in   Unbestimmten) über einem kommutativen Ring mit Einselement   ist ein homogenes Polynom vom Grad 2 in   Unbestimmten mit Koeffizienten in  .

Der Begriff Form wurde von Legendre geprägt.[1]

SpezialfälleBearbeiten

  • Für   spricht man von binären quadratischen Formen. Eine binäre quadratische Form ist also ein Polynom der Gestalt   mit  .
  • Für   spricht man von ternären quadratischen Formen. Eine ternäre quadratische Form ist also ein Polynom der Gestalt   mit  .

Quadratische Form auf ModulnBearbeiten

Allgemeiner definiert man den Begriff quadratische Form für beliebige A-Moduln   wie folgt: Eine quadratische Form auf   ist eine Abbildung   mit den folgenden Eigenschaften:

  • Für alle   und   gilt  .
  • Die Abbildung   definiert durch   ist linear in beiden Argumenten, also eine Bilinearform auf  . Sie ist automatisch symmetrisch, es gilt also  . Man nennt sie die zu   gehörige symmetrische Bilinearform.

Eine quadratische Form im obigen Sinne ist somit eine quadratische Form auf dem Modul  .

Quadratischer ModulBearbeiten

Ein quadratischer Modul ist ein Paar  , bestehend aus einem A-Modul   und einer quadratischen Form   auf  .

Es bezeichne   die zu   gehörige symmetrische Bilinearform. Dann heißen zwei Elemente    -orthogonal beziehungsweise  -orthogonal, falls   gilt.

Quadratischer RaumBearbeiten

Ein quadratischer Raum ist ein quadratischer Modul  , wobei   ein Vektorraum ist. Der Ring, über dem   definiert ist, ist also ein Körper.

Algebraische VoraussetzungenBearbeiten

Im Folgenden sei angenommen, dass   in dem Ring   invertierbar ist. Dies gilt insbesondere für Körper der Charakteristik ungleich 2 wie die reellen oder komplexen Zahlen.

Ordnet man einer quadratischen Form   die Dreiecksmatrix   mit  , sonst 0) zu, so kann man   auch als   beziehungsweise als   auffassen. Hieraus ergibt sich zunächst:

Bezug zu symmetrischen Bilinearformen
Es gibt eine eindeutige Entsprechung zwischen quadratischen Formen in   Unbestimmten und symmetrischen Bilinearformen auf  :
Zu einer quadratischen Form   erhält man eine symmetrische Bilinearform   durch Polarisierung
 
Umgekehrt ist
 
Formal gesehen liefert diese Konstruktion zunächst nur eine Polynomfunktion; man erhält aber tatsächlich ein Polynom, indem man die Bilinearform durch eine Matrix darstellt oder sie auf beliebige  -Algebren ausdehnt.
Äquivalenz von Formen
Wenn   eine  -reihige Matrix ist, dann erhält man durch die Substitution   eine neue quadratische Form  . Wenn   invertierbar ist, kann man aus der neuen Form auch wieder die alte Form rückgewinnen. Insgesamt ermöglicht so eine Matrixgruppe   die Einführung einer Äquivalenzrelation auf der Menge aller quadratischen Formen. Wir sprechen hier von  -äquivalenten Formen (Beachte auch die Schlussbemerkung zu 4).
Definitheit
Für reelle oder rationale Formen kann man über die entsprechenden Matrixkriterien für   (Definitheit) Aussagen darüber gewinnen, ob der Wertebereich der Form über   nur positive oder nur negative Werte annimmt, oder ob eine derartige Beschränkung nicht zutrifft. Entsprechend wird die Form positiv definit, negativ definit oder indefinit genannt. Nimmt der Wertebereich für Definitionswerte ungleich Null nur positive bzw. negative Werte sowie Null an, so heißt die Form positiv bzw. negativ semidefinit.

Beispiele/KlassifikationBearbeiten

Quadratische Formen über den reellen ZahlenBearbeiten

Es sei   ein  -Vektorraum. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester ist jede quadratische Form   diagonalisierbar, d. h. es existiert eine Basis   von  , so dass

 

für gewisse   mit   gilt. Die Isomorphieklasse einer quadratischen Form wird also bestimmt durch ihren Rang   und ihre Signatur  .

Quadratische Formen über ZahlkörpernBearbeiten

Quadratische Formen über   wurden von Minkowski klassifiziert. Hasse verallgemeinerte dies später auf eine Klassifikation von quadratischen Formen über Zahlkörpern. Insbesondere sind zwei quadratische Formen genau dann isomorph, wenn alle ihre Vervollständigungen (reell, komplex und p-adisch) jeweils isomorph sind, siehe Satz von Hasse-Minkowski.

Quadratische Formen über den ganzen ZahlenBearbeiten

Man sagt, dass zwei positiv-definite quadratische Formen   über   dasselbe Geschlecht haben, wenn man für alle   durch Erweiterung mit Skalaren zu   (d. h. Tensorprodukt mit  ) isomorphe quadratische Formen über   bekommt. Die Anzahl der Isomorphieklassen desselben Geschlechts kann mit der Massenformel von Smith-Minkowski-Siegel bestimmt werden.

Elementare ZahlentheorieBearbeiten

Zur Frage, ob eine vorgegebene ganzzahlige quadratische Form mit irgendwelchen ganzzahligen Argumenten einen vorgegebenen Wert annehmen kann („einen Wert darstellt bzw. repräsentiert“), gibt es eine Vielzahl von Ergebnissen. Für sich betrachtet haben diese Ergebnisse naturgemäß oft anekdotischen Charakter. Beachtet man jedoch, dass

  •  , die Gruppe der  -reihigen, ganzzahligen Matrizen der Determinante 1, und
  •  , die Gruppe der  -reihigen, ganzzahligen Matrizen der Determinante ±1,

jeweils sowohl das Gitter   als auch die Menge der teilerfremden Zahlen in   bijektiv auf sich abbildet, so stehen die folgenden Ergebnisse jeweils für ganze Familien äquivalenter Formen.

Prominent sind beispielsweise die folgenden Themen

Quadratzahlen der Form  
Die ganzzahligen Lösungen der Gleichung   heißen Pythagoräische Zahlen. Die bekannteste Lösung dieser Aufgabe ist  . Dies ist die kleinste einer unendlichen Anzahl von Lösungen.
Mehr als die übliche parametrische Beschreibung aller Lösungen (Pythagoreisches Tripel) findet sich in der Literatur.[2][3]
Zahlen der Form  
Der erste bekannte Fall einer quadratischen Form, die alle natürlichen Zahlen darstellt. (Satz von Lagrange oder Vier-Quadrate-Satz)
Ein Beweis[4] und weiterführende Informationen zum Thema quadratischer Formen, die alle natürlichen Zahlen darstellen, via 15-Satz.
ganzzahlige Lösungen der Gleichung  
(  ganzzahlig, quadratfrei, paarweise teilerfremd, nicht alle vom gleichen Vorzeichen).
Es existiert genau dann eine nicht-triviale Lösung, wenn  ,   und   quadratische Reste im jeweiligen Modul sind. Ein Ergebnis von Legendre.[5]
(für die Notation siehe Kongruenz (Zahlentheorie))
Primzahlen der Form  
Dies sind genau 2 sowie die Primzahlen  . Die Beobachtung ist historisch von besonderer Bedeutung, sie geht auf Fermat zurück.
Ein moderner Beweis, geradezu die Mutter aller Beweise, im Buch der Beweise[6] Kapitel 4.
Primzahlen der Form  
Dies sind genau die 3 sowie die Primzahlen, die   sind.[7]
Primzahlen der Form  
Mit dieser Fragestellung befasst sich das Buch von Cox.[1]

Wenn zwei quadratische Formen durch Anwendung einer Matrix   auseinander hervorgehen, dann lässt sich eine ganze Zahl genau dann als Wert der einen quadratischen Form darstellen, wenn sie sich als Wert der anderen quadratischen Form darstellen lässt: dies folgt unmittelbar aus der Definition  . Aus Sicht der Zahlentheorie sind die Formen   und   also äquivalent und es stellt sich die Frage, ein möglichst einfaches Repräsentantensystem für die Menge der quadratischen Formen in   Variablen modulo der Wirkung von   zu finden. Für quadratische Formen in 2 Variablen wurde dieses Problem von Gauß in Kapitel 5 von „Disquisitiones Arithmeticae“ (mit fast 260 Seiten der Hauptteil des Buches) diskutiert.

Im Fall positiv definiter quadratischer Formen handelt es sich dabei in heutiger Sprache um das Problem, einen Fundamentalbereich für die Wirkung von   auf dem symmetrischen Raum   (dem Raum der positiv definiten quadratischen Formen in   Variablen) zu finden.

 
Fundamentalbereich für die Wirkung von SL(2,ℤ) auf der hyperbolischen Ebene.

Für   lässt sich der Raum   der positiv definiten binären quadratischen Formen mit der hyperbolischen Ebene identifizieren. Nebenstehendes Bild zeigt eine Zerlegung der hyperbolischen Ebene in Fundamentalbereiche für die Wirkung von  . Ein solcher Fundamentalbereich (z. B. der im Bild grau schraffierte) liefert also ein Repräsentantensystem von binären quadratischen Formen, so dass jede andere positiv definite binäre quadratische Form äquivalent zu einer Form aus dem Repräsentantensystem ist und insbesondere dieselben ganzen Zahlen darstellt.

Verwandte Fragestellungen, allerdings außerhalb des Bereichs der quadratischen Formen, sind Themen wie der Satz von Fermat und das Waring-Problem.

Verwandte BegriffeBearbeiten

Die (projektive) Nullstellenmenge einer quadratischen Form wird als Quadrik bezeichnet.

LiteraturBearbeiten

  • Martin Kneser, Rudolf Scharlau: Quadratische Formen. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-64650-7 (Vorlesungen von Kneser in den 1970er und 1980er Jahren in Göttingen, neu herausgegeben von Scharlau)
  • Winfried Scharlau: Quadratic and Hermitian Forms. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 270. Springer Verlag, 1985
  • John Milnor, Dale Husemöller: Symmetric bilinear forms. Springer Verlag, 1973

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b David Cox: Primes of the form  . Wiley & Sons, 1997, Seite 40.
  2. Roger C. Alperin: The modular tree of Pythagorus. (PDF)
  3. Dan Romik: The dynamics of Pythagorean triples. (PDF) mit einer ganzen Reihe weiterer Literaturhinweise.
  4. Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag, 1982, Abschnitt 17.7.
  5. Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer-Verlag, 1982, Abschnitt 17.3.1.
  6. Martin Aigner, Günter M. Ziegler: Proofs from the Book. Springer-Verlag, 2000
  7. G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. 4. Auflage. Oxford University Press, Oxford 1975, ISBN 0-19-853310-1: Theorem 366, S. 299; Theorem 254, S. 221