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In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen euklidischen Raum (), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist die gaußsche Krümmung (das gaußsche Krümmungsmaß), benannt nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß, der wichtigste Krümmungsbegriff neben der mittleren Krümmung.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Gegeben seien eine reguläre Fläche im   und ein Punkt dieser Fläche. Die gaußsche Krümmung   der Fläche in diesem Punkt ist das Produkt der beiden Hauptkrümmungen   und  .

 

Dabei sind   und   die beiden Hauptkrümmungsradien.

BeispieleBearbeiten

  • Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius   ist die gaußsche Krümmung gegeben durch  .
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die gaußsche Krümmung gleich 0.
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiskegels ist die gaußsche Krümmung gleich 0.

BerechnungBearbeiten

  • Sind  ,  ,   bzw.  ,  ,   die Koeffizienten der ersten bzw. zweiten Fundamentalform, so gilt folgende Formel:
 
  • Ist die betrachtete Fläche der Graph einer Funktion   über dem Parameterbereich  , also   für alle  , so gilt für die gaußsche Krümmung:
 
Hierbei bezeichnen   und   die ersten und  ,   und   die zweiten partiellen Ableitungen von  .
  • Ist die Fläche als Nullstellenmenge   einer Funktion   mit regulärem Wert   gegeben, dann berechnet sich die Gaußsche Krümmung aus der Formel[1]
 
Dabei ist   der Betrag des Gradienten und   die Adjunkte der Hesse-Matrix von  .

EigenschaftenBearbeiten

VorzeichenBearbeiten

In elliptischen Punkten ist die gaußsche Krümmung positiv ( ), in hyperbolischen Punkten negativ ( ) und in parabolischen Punkten oder Flachpunkten verschwindet sie.

Beispiele:

  • Beim einem Fahrradschlauch (= Torus) sind die auf der Felge liegenden Punkte hyperbolisch und die außen liegenden Punkte elliptisch. Die zwei Trennlinien dieser beiden Bereiche sind zwei Kreise, deren Punkte parabolisch sind.
  • Ein Ellipsoid hat nur elliptische, ein Paraboloid (=Sattelfläche) hat nur hyperbolische Punkte.

Eigenschaft der inneren GeometrieBearbeiten

Die gaußsche Krümmung hängt nur von der inneren Geometrie der gegebenen Fläche ab (siehe Theorema egregium von C. F. Gauß). Dieser Satz ist ein Korollar aus der Formel von Brioschi:

 

Dabei sind  ,   und   die Koeffizienten der ersten Fundamentalform. Die Bezeichnungen  ,   usw. stehen für erste und zweite partielle Ableitungen nach den Parametern   und  , mit denen die gegebene Fläche parametrisiert wird. Diese Gleichung ist unter anderem eine der notwendigen Integrationsbedingungen der Gauß-Weingarten-Gleichungen.

Eine weitere Formel zur Berechnung der gaußschen Krümmung lautet:

 

Im Falle einer orthogonalen Parametrisierung ( ) reduziert sich diese Formel auf

 

Wenn die Fläche isotherm parametrisiert ist, d. h., es gilt   und  , dann schreibt sich

 

mit dem Laplaceoperator

 .

TotalkrümmungBearbeiten

 
Die Innenwinkelsumme eines Flächendreiecks auf einer negativ gekrümmten Fläche ist kleiner als 180°.

Das Oberflächenintegral

 

der Gaußschen Krümmung   über eine Teilmenge   einer Fläche bezeichnet man als deren Totalkrümmung. Bei Vielecken, deren Kanten Geodätische sind, besteht ein Zusammenhang zwischen der Totalkrümmung und der Innenwinkelsumme. Beispielsweise gilt für die Innenwinkelsumme   eines geodätischen Dreiecks:

 

Die Totalkrümmung eines geodätischen Dreiecks entspricht also der Abweichung der Innenwinkelsumme von  : Die Innenwinkelsumme eines sich auf einer positiv gekrümmten Fläche befindenden Dreiecks überschreitet  , auf einer negativ gekrümmten Fläche liegt die Innenwinkelsumme unterhalb von  . Beträgt die Gaußkrümmung null, so beträgt die Innenwinkelsumme wie im ebenen Fall exakt  .

Eine Verallgemeinerung dieses Sachverhaltes ist der Satz von Gauß-Bonnet, der einen Zusammenhang zwischen der Gaußschen Krümmung einer Fläche und der geodätischen Krümmung der zugehörigen Randkurve beschreibt.

LiteraturBearbeiten

  • Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall Inc., Upper Saddle River NJ 1976, ISBN 0-13-212589-7.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Michael Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry. 3. Auflage. Volume 3. Publish or Perish, Houston, Texas 1999, ISBN 0-914098-72-1, Chapter 3. A compendium of surfaces.