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In der Differentialrechnung ist eine partielle Ableitung die Ableitung einer Funktion mit mehreren Argumenten nach einem dieser Argumente (in Richtung dieser Koordinatenachse). Die Werte der übrigen Argumente werden also konstant gehalten.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Erster OrdnungBearbeiten

Sei   eine offene Teilmenge des euklidischen Raums   und   eine Funktion. Sei weiterhin ein Element   in   gegeben. Falls für die natürliche Zahl   mit   der Grenzwert

 

existiert, dann nennt man ihn die partielle Ableitung von   nach der  -ten Variablen   im Punkt  . Die Funktion   heißt dann im Punkt   partiell differenzierbar. Das Symbol   (es ähnelt dem kursiven Schnitt der kyrillischen Minuskel д) wird als   oder zur Unterscheidung auch del ausgesprochen. Die Schreibweise   wurde durch Verwendung von C. G. J. Jacobi bekannt.[1]

Dem gegenüber existiert in der Technischen Mechanik eine andere Schreibweise, bei der die Richtung mit einem Komma im Index angezeigt wird um von der Richtung zu unterscheiden: So ist die Ableitung der Verschiebung   (also die Verschiebung in  -Richtung) folgendermaßen äquivalent .   wäre die Ableitung in  -Richtung einer Verschiebung in  -Richtung.[2]

Höhere OrdnungBearbeiten

Die partielle Ableitung nach   ist selbst wieder eine Funktion von   nach  , falls   in ganz   nach   partiell differenzierbar ist. Als abkürzende Schreibweise für die partiellen Ableitungen   ist auch oft  ,   oder   zu finden.

Ist die Funktion   in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs partiell differenzierbar, so sind die partiellen Ableitungen

 

wieder Funktionen von   nach  , die wiederum auf Differenzierbarkeit untersucht werden können. Man erhält so höhere partielle Ableitungen

    und    

Geometrische DeutungBearbeiten

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem wird der Funktionsgraph einer Funktion   betrachtet. Der Definitionsbereich   sei eine offene Teilmenge der xy-Ebene. Ist   differenzierbar, dann ist der Graph der Funktion eine Fläche über dem Definitionsbereich  .

Für einen festen Wert von   ist dann   eine Funktion in  . Bei festem   ergeben die Punkte   eine Strecke parallel zur  -Achse. Diese Strecke wird von   auf eine gekrümmte Linie auf dem Graph von   projiziert. Die partielle Ableitung von   nach   entspricht unter diesen Voraussetzungen der Steigung der Tangente an diese Kurve im Punkt  .

Sätze und EigenschaftenBearbeiten

Zusammenhang Ableitung, partielle Ableitung, StetigkeitBearbeiten

  • Total differenzierbare Funktionen sind stetig.
  • Total differenzierbare Funktionen sind partiell differenzierbar.
  • Partiell differenzierbare Funktionen sind nicht notwendigerweise stetig und damit auch nicht notwendigerweise total differenzierbar.
  • Stetig partiell differenzierbare Funktionen, also Funktionen, deren partielle Ableitungen stetig sind, sind dagegen stetig total differenzierbar.

Satz von SchwarzBearbeiten

  • Es gilt der Satz von Schwarz: Wenn die zweiten partiellen Ableitungen stetig sind, so kann man die Reihenfolge der Ableitung vertauschen:
     

VerwendungBearbeiten

  • Die ersten partiellen Ableitungen lassen sich in einem Vektor anordnen, dem Gradienten von  :
 
Hierbei ist   der Nabla-Operator.
  • Die zweiten partiellen Ableitungen lassen sich in einer Matrix anordnen, der Hesse-Matrix
     
  • Es gilt die Taylorformel: Wenn die Funktion    -mal stetig partiell differenzierbar ist, so lässt sie sich in der Nähe jedes Punktes   durch ihre Taylor-Polynome approximieren:
 
mit  , wobei das Restglied   für   von höherer als  -ter Ordnung verschwindet, das heißt:
 
Die Terme zu gegebenem ν ergeben die „Taylorapproximation  -ter Ordnung“.
  • Einfache Extremwertprobleme findet man in der Analysis bei der Berechnung von Maxima und Minima einer Funktion einer reellen Variablen (vgl. hierzu den Artikel über Differentialrechnung). Die Verallgemeinerung des Differentialquotienten auf Funktionen mehrerer Variablen (Veränderlichen, Parameter) ermöglicht die Bestimmung ihrer Extremwerte, und für die Berechnung werden partielle Ableitungen benötigt.

BeispieleBearbeiten

Beispiel 1Bearbeiten

 
Der Graph von   ist ein Paraboloid (Animation: GIF-Export Geogebra)

Als Beispiel wird die Funktion   mit   betrachtet, die von den beiden Variablen   und   abhängt.

Betrachtet man   als eine Konstante, z. B.  , so hängt die Funktion   mit   nur noch von der Variablen   ab:

 

Für die neue Funktion gilt folglich   und man kann den Differenzialquotienten bilden

 

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man die partielle Ableitung der Funktion   nach   bildet:

 

Die partielle Ableitung von   nach   lautet entsprechend:

 

Dieses Beispiel demonstriert, wie die partielle Ableitung einer Funktion bestimmt wird, die von mehreren Variablen abhängt:

Bis auf eine Variable werden alle anderen Variablen als konstant angenommen, bezüglich dieser einen Variablen wird der Differenzialquotient bestimmt. Als Ergebnis erhält man die partielle Ableitung der Funktion nach dieser einen Variablen.

Beispiel 2Bearbeiten

Da die partielle Ableitung nach einer Variablen der gewöhnlichen Ableitung bei festgehaltenen Werten aller anderen Variablen entspricht, können für die Berechnung alle Ableitungsregeln wie bei Funktionen einer Variablen verwendet werden. Ist beispielsweise

 ,

so folgt mit Produkt- und Kettenregel:

    und
 .

Beispiel 3Bearbeiten

 
Funktionsplot mit Geogebra 

In der obigen Animation sieht man den Graphen der Funktion  . Legt man einen Punkt   aus dem Definitionsbereich fest, so kann man den Graphen der Funktion mit einer senkrechten Ebene in x-Richtung schneiden. Der Schnitt des Graphen mit der Ebene erzeugt einen klassische Graphen aus der eindimensionalen Analysis. Partielle Ableitungen können so auch anschaulich auf die klassische eindimensionale Analysis zurückgeführt werden.

 ,
    und
 .

Partielle und totale Ableitung nach der ZeitBearbeiten

In der Physik (vor allem in der theoretischen Mechanik) tritt häufig die folgende Situation auf: Eine Größe hängt durch eine total differenzierbare Funktion   von den Ortskoordinaten  ,  ,   und von der Zeit   ab. Man kann also die partiellen Ableitungen  ,  ,   und   bilden. Die Koordinaten eines sich bewegenden Punktes sind durch die Funktionen  ,   und   gegeben. Die zeitliche Entwicklung des Werts der Größe am jeweiligen Bahnpunkt wird dann durch die verkettete Funktion

 

beschrieben. Diese Funktion hängt nur von einer Variablen, der Zeit  , ab. Man kann also die gewöhnliche Ableitung bilden. Diese nennt man die totale oder vollständige Ableitung von   nach der Zeit   und schreibt dafür auch kurz  . Sie berechnet sich nach der mehrdimensionalen Kettenregel wie folgt:

 

Während bei der partiellen Ableitung   nach der Zeit nur die explizite Abhängigkeit der Funktion   von   berücksichtigt wird und alle anderen Variablen konstant gehalten werden, berücksichtigt die totale Ableitung   auch die indirekte (oder implizite) Abhängigkeit von  , die dadurch zustande kommt, dass längs der Bahnbewegung die Ortskoordinaten von der Zeit abhängen.

(Indem man also die implizite Zeitabhängigkeit mitberücksichtigt, redet man im Jargon der Physik auch von „substantieller“ Zeitableitung, bzw. im Jargon der Strömungsmechanik von der Euler-Ableitung im Gegensatz zur Lagrange-Ableitung.)

→ Für eine ausführlichere Darstellung siehe totales Differential

Verallgemeinerung: RichtungsableitungBearbeiten

Eine Verallgemeinerung der partiellen Ableitung stellt die Richtungsableitung dar. Dabei wird die Ableitung in Richtung eines beliebigen Vektors betrachtet und nicht nur in Richtung der Koordinatenachsen.

LiteraturBearbeiten

  • Kurt Endl; Wolfgang Luh: Analysis II, Akademische Verlagsgesellschaft Frankfurt am Main, 1974
  • Hans Grauert; Wolfgang Fischer: Differential- und Integralrechnung II, 2., verbesserte Auflage, Springer Verlag Berlin, 1978

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Heuser verweist auf J. f. reine u. angew. Math., Nr. 17 (1837) (Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 2., Teubner Verlag, 2002, S. 247). Eine detaillierte Herkunft gibt Jeff Miller: [1].
  2. Holm Altenbach, Johannes Altenbach, Konstantin Naumenko: Ebene Flächentragwerke. Grundlagen der Modellierung und Berechnung von Scheiben und Platten. Springer, Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-47230-9, S. 25 ff., doi:10.1007/978-3-662-47230-9.