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Dynamisches System

mathematisches Modell eines zeitabhängigen Prozesses, der homogen bezüglich der Zeit ist

Ein (deterministisches) dynamisches System ist ein mathematisches Modell eines zeitabhängigen Prozesses, der homogen bezüglich der Zeit ist, also dessen weiterer Verlauf nur vom Anfangszustand, aber nicht von der Wahl des Anfangszeitpunkts abhängt. Der Begriff des dynamischen Systems geht in seiner heutigen Form auf die Mathematiker Henri Poincaré und George David Birkhoff zurück.

Dynamische Systeme finden vielfältige Anwendungen auf Prozesse im Alltag und erlauben Einblicke in viele Bereiche nicht nur der Mathematik (z. B. Zahlentheorie, Stochastik), sondern auch der Physik (z. B. Pendelbewegung, Klimamodelle) oder der theoretischen Biologie (z. B. Räuber-Beute-Modelle).

Man unterscheidet zwischen diskreter und kontinuierlicher Zeitentwicklung. Bei einem zeitdiskreten dynamischen System ändern sich die Zustände in äquidistanten Zeitsprüngen, d. h. in aufeinanderfolgenden, stets gleich großen zeitlichen Abständen, während die Zustandsänderungen eines zeitkontinuierlichen dynamischen Systems in infinitesimal kleinen Zeitschritten stattfinden. Das wichtigste Beschreibungsmittel für zeitkontinuierliche dynamische Systeme sind autonome gewöhnliche Differenzialgleichungen. Ein gemischtes System aus kontinuierlichen und diskreten Teilsystemen mit kontinuierlich-diskreter Dynamik wird auch als hybrid bezeichnet. Beispiele solcher hybrider Dynamiken finden sich in der Verfahrenstechnik (z. B. Dosiervorlage-Systeme).

Wichtige Fragestellungen im Zusammenhang mit dynamischen Systemen betreffen vor allem ihr Langzeitverhalten (zum Beispiel Stabilität, Periodizität, Chaos und Ergodizität), die Systemidentifikation und ihre Regelung.

Einführende BeispieleBearbeiten

Exponentielles WachstumBearbeiten

 
Zwei exponentiell wachsende Populationen xt (rot) und yt (blau) mit y0 = x3

Ein einfaches Beispiel für ein dynamisches System ist die zeitliche Entwicklung einer Größe, die einem exponentiellen Wachstum unterliegt, wie etwa eine Population einer ungehindert wachsenden Bakterienkultur. Der Zustand zu einem festen Zeitpunkt ist hier durch eine nichtnegative reelle Zahl, nämlich die Bestandsgröße der Population, gegeben, das heißt, der Zustandsraum des Systems ist die Menge   der nichtnegativen reellen Zahlen. Betrachtet man zunächst die Zustände   zu den diskreten Zeitpunkten  , also auf dem Zeitraum  , dann gilt   mit einem konstanten Wachstumsfaktor  . Für den Zustand zu einem Zeitpunkt   ergibt sich daraus  .

Die charakterisierende Eigenschaft eines dynamischen Systems ist, dass der Zustand zwar von der verstrichenen Zeit   und vom Anfangswert   abhängt, jedoch nicht von der Wahl der Anfangszeitpunkts. Sei etwa   eine weitere exponentiell wachsende Population mit dem gleichen Wachstumsfaktor  , aber mit dem Anfangswert   gegeben. Zu einem Zeitpunkt   gilt dann

 .

Die zweite Population wächst also im Zeitabschnitt   genauso wie die erste im Zeitabschnitt  . Dieses Verhalten lässt sich noch anders ausdrücken: Die sogenannte Flussfunktion  , die jedem Zeitpunkt   und jedem Anfangszustand   den Zustand   zum Zeitpunkt   zuordnet, hier also  , erfüllt für alle   und alle   die Gleichung

 .

Das ist die sogenannte Halbgruppeneigenschaft des Flusses eines dynamischen Systems.

FederpendelBearbeiten

Eine weitere Quelle für dynamische Systeme ist die mathematische Modellierung mechanischer Systeme, im einfachsten Fall die Bewegung eines Massepunktes unter dem Einfluss einer Kraft, die vom Ort und von der Geschwindigkeit abhängt, aber nicht explizit von der Zeit. Der Zustand eines solchen Systems zu einem Zeitpunkt   ist gegeben als das geordnete Paar  , bestehend aus dem Ort   und der Geschwindigkeit  . Insbesondere ist dann der gesamte Bewegungsablauf durch die Vorgabe einer Anfangsposition   zusammen mit einer Anfangsgeschwindigkeit   eindeutig bestimmt. Im Fall einer eindimensionalen Bewegung ist somit der Zustandsraum  .

  
Gedämpfte Schwingung und Bahn im Zustandsraum

Als konkretes Beispiel soll ein Federpendel betrachtet werden, auf dessen Massestück mit der Masse   die Rückstellkraft der Feder sowie möglicherweise eine geschwindigkeitsabhängige Reibungskraft einwirkt. Bezeichnet man die Gesamtkraft mit  , so ergibt sich für den Zustand das gewöhnliche Differentialgleichungssystem

  

wobei der Punkt über den Variablen die Ableitung nach der – in diesem Beispiel kontinuierlichen – Zeit bezeichnet. Die erste Gleichung besagt, dass die Geschwindigkeit die Ableitung des Ortes nach der Zeit ist, und die zweite ergibt sich direkt aus dem zweiten newtonschen Axiom, nach dem Masse mal Beschleunigung gleich der auf den Massepunkt wirkenden Gesamtkraft ist.

Es lässt sich zeigen, dass auch bei diesem System der Fluss

 

die Halbgruppeneigenschaft erfüllt. Betrachtet man den Verlauf des Systemzustandes im Zustandsraum  , also die sogenannte Bahn  , so ergibt sich bei einer gedämpften Schwingung des Federpendels eine Trajektorie, die spiralförmig auf die Ruhelage   zuläuft.

DefinitionenBearbeiten

Ein dynamisches System ist ein Tripel   bestehend aus einer Menge   oder   dem Zeitraum, einer nichtleeren Menge  , dem Zustandsraum (dem Phasenraum), und einer Operation   von   auf   so dass für alle Zustände   und alle Zeitpunkte   gilt:

  1.     (Identitätseigenschaft)   und
  2.     (Halbgruppeneigenschaft).

Wenn   oder   ist, dann heißt   zeitdiskret oder kurz diskret, und mit   oder   nennt man   zeitkontinuierlich oder kontinuierlich.   wird außerdem als diskretes oder kontinuierliches dynamisches System für reelle Zeit oder als invertierbar bezeichnet, falls   bzw.   gilt.

Für jedes   heißt die Abbildung   die Bewegung von   und die Menge   wird die Bahn (der (volle) Orbit, die Trajektorie, die Phasenkurve, die Bahnkurve, die Lösungskurve) von   genannt. Der positive Halborbit oder Vorwärtsorbit von   ist   und, falls   invertierbar ist, ist   der negative Halborbit oder Rückwärtsorbit von  .

Ein diskretes dynamisches System   ist stetig, wenn sein Zustandsraum   ein (nichtleerer) metrischer Raum ist und wenn jede zu einem Zeitpunkt   gehörende Transformation   stetig ist. Man nennt ein kontinuierliches dynamisches System   stetig oder einen Halbfluss, wenn sein Zustandsraum   ein metrischer Raum ist und wenn jede zu einem Zeitpunkt gehörende Transformation sowie jede Bewegung eines Zustands stetig ist. Außerdem nennt man ein stetiges diskretes dynamisches System   auch eine Kaskade und einen Halbfluss   einen Fluss. Der Zustandsraum eines stetigen dynamischen Systems wird auch als Phasenraum und von jedem   der Orbit als die Phasenkurve oder Trajektorie von   bezeichnet, die einfach   geschrieben wird mit  .

Koppelt man kontinuierliche und gegebenen Falles noch zusätzliche diskrete dynamische Systeme zu einem System zusammen, so nennt man dieses ein kontinuierlich-diskretes oder auch hybrides dynamisches System.

BemerkungenBearbeiten

  • In der Literatur wird häufig nicht zwischen dynamischen Systemen und stetigen dynamischen Systemen bzw. Flüssen unterschieden, außerdem versteht man unter einem Fluss nicht selten einen differenzierbaren Fluss (siehe unten). Es finden sich auch allgemeinere Definitionen stetiger dynamischer Systeme, bei denen z. B. als Phasenraum eine topologische Mannigfaltigkeit, ein (u. U. kompakter) Hausdorff-Raum oder gar nur ein topologischer Raum genommen wird.
  • An Stelle der Linksoperation   wie in der obigen Definition werden oft dynamische Systeme mit einer Rechtsoperation   auf   definiert, die Reihenfolge der Argumente dreht sich dann entsprechend um.
  • In der Definition wird die Identitätseigenschaft von der Operation   deshalb gefordert, weil jeder Zustand  , so lang keine Zeit vergeht (also für  ), sich nicht verändern soll. Diese Eigenschaft bedeutet, dass die zu   gehörende Transformation die identische Abbildung auf   ist:   
  • Die Halbgruppeneigenschaft macht das dynamische System bezüglich der Zeit homogen: Man gelangt zunächst in   Zeiteinheiten vom Zustand   zum Zustand   und anschließend von dort in   Zeiteinheiten zum Zustand  , d. h. zum gleichen Zustand zu dem man direkt vom Zustand   in   Zeiteinheiten kommt. Die zu allen Zeitpunkten   gehörenden Transformationen   bilden eine kommutative Halbgruppe mit der Komposition   als Verknüpfung und mit einem neutralen Element  , außerdem ist die Abbildung   ein Halbgruppenhomomorphismus  für alle   Diese Transformationshalbgruppe ist bei invertierbaren dynamischen Systemen sogar eine Gruppe, denn für alle   ist   das inverse Element zu  
  • Ein dynamisches System   mit   oder mit   lässt sich genau dann zu einem invertierbaren dynamischen System   mit   fortsetzen, wenn die zu   gehörende Transformation   eine Umkehrfunktion   besitzt. Es sind dann   und rekursiv   für alle   Ist   kontinuierlich, so sind durch   für alle   mit   und   ebenso sämtliche zu negativen Zeiten gehörenden Transformationen eindeutig gegeben. Mit   ist so genau eine Operation   von   auf   erklärt, so dass   die invertierbare Fortsetzung von   ist.
  • Wegen der Halbgruppeneigenschaft lässt sich jedes diskrete dynamische System   oder   als iterative Anwendung der zu   gehörenden Transformation   mit den Zeitpunkten als Iterationsindizes auffassen:    für alle   und bei   ist zusätzlich   für alle   Daher ist   bereits durch   eindeutig bestimmt und lässt sich einfacher   schreiben.
  • Schränkt man bei einem kontinuierlichen dynamischen System   die Zeit auf   ein, dann ergibt sich mit   stets ein diskretes dynamisches System. Diese Diskretisierung findet zum einen in der Numerik eine große Anwendung, wie z. B. bei der Rückwärtsanalyse. Zum anderen existieren natürliche und technische Systeme, die durch nichtkontinuierliche Zustandsänderungen charakterisiert und in direkter Weise durch diskrete Dynamische Systeme modelliert werden können.
  • Differenzierbare (Halb-)Flüsse sind (Halb-)Flüsse  , bei denen jede zu einem Zeitpunkt gehörende Transformation differenzierbar ist. Insbesondere ist jede dieser Transformationen eines differenzierbaren Flusses ein Diffeomorphismus.
  • In der Theorie dynamischer Systeme interessiert man sich besonders für das Verhalten von Trajektorien für  . Hierbei sind Limesmengen und deren Stabilität von großer Bedeutung. Die einfachsten Limesmengen sind Fixpunkte, das sind diejenigen Punkte   mit   für alle  , also diejenigen Zustände  , deren Bahn die einelementige Menge   ist. Weiter interessiert man sich für Punkte, deren Bahn für   gegen einen Fixpunkt konvergiert. Die wichtigsten Limesmengen sind neben Fixpunkten die periodischen Orbits. Gerade in nichtlinearen Systemen trifft man aber auch komplexe nichtperiodische Grenzmengen an. In der Theorie der nichtlinearen Systeme werden Fixpunkte, periodische Orbits und allgemeine nichtperiodische Grenzmengen unter dem Oberbegriff Attraktor (bzw. Repeller, falls abstoßend, vgl. auch seltsamer Attraktor) subsumiert. Diese werden in der Chaostheorie ausführlich untersucht.

Wichtige SpezialfälleBearbeiten

Gewöhnliche DifferentialgleichungenBearbeiten

Kontinuierliche dynamische Systeme treten vor allem im Zusammenhang mit gewöhnlichen Differentialgleichungen auf. Gegeben sei die autonome Differentialgleichung

 

mit einem Vektorfeld   auf einem Gebiet  . Falls die Gleichung für alle Anfangswerte   eine für alle   definierte, eindeutig bestimmte Lösung   mit   besitzt, dann ist   mit   ein kontinuierliches dynamisches System. Die Bahnen des Systems sind also die Lösungskurven der Differentialgleichung. Die Fixpunkte sind hier die   mit  ; sie werden auch stationäre oder kritische Punkte des Vektorfeldes genannt.

IterationBearbeiten

Diskrete dynamische Systeme stehen in enger Beziehung zur Iteration von Funktionen. Ist   eine Selbstabbildung einer beliebigen Menge  , also eine Funktion, die jedem   wieder ein Element   zuordnet, dann kann man zu einem Anfangswert   die rekursiv definierte Folge   für   betrachten. Mit der  -fachen Hintereinanderausführung   (  Mal) gilt dann  . Die Gleichung   zeigt, dass damit   mit   ein diskretes dynamisches System ist. Umgekehrt wird für ein dynamisches System   durch   eine Abbildung   mit   definiert. Die Fixpunkte eines solchen Systems sind die   mit  .

Beispiel hierfür sind Markow-Ketten in diskreter Zeit mit endlichem Zustandsraum  . Der Zustandsraum im Sinne eines dynamischen Systems sind dann alle Wahrscheinlichkeitsvektoren auf  , die Zeit ist   und die Iteration ist gegeben durch die Linksmultiplikation des Wahrscheinlichkeitsvektors   mit der Übergangsmatrix  . Die Fixpunkte sind dann die stationären Verteilungen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Herbert Amann: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 1995, ISBN 3-11-014582-0.
  • George David Birkhoff: Dynamical Systems. Rev. Ed. AMS, Providence, RI, 1966.
  • Manfred Denker: Einführung in die Analysis dynamischer Systeme. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-20713-9.
  • John Guckenheimer, Philip Holmes: Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Corr. 3rd printing. Springer, New York 1990, ISBN 3-540-90819-6.
  • Diederich Hinrichsen, Anthony J. Pritchard: Mathematical Systems Theory I – Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Springer, 2005.
  • Wolfgang Metzler: Nichtlineare Dynamik und Chaos, B.G. Teubner, Stuttgart/Leipzig 1998, ISBN 3-519-02391-1.
  • Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (freie Onlineversion).
  • J. de Vries: Elements of Topological Dynamics. Springer, 1993.

WeblinksBearbeiten

 Wikibooks: Einführung in die Systemtheorie – Lern- und Lehrmaterialien