Zusammenhang (Differentialgeometrie)

Abbildung auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit
(Weitergeleitet von Kovariante Ableitung)

Im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ist ein Zusammenhang ein Hilfsmittel, um Richtungsänderungen im Laufe einer Bewegung zu quantifizieren und Richtungen in verschiedenen Punkten miteinander in Beziehung zu setzen.

Dieser Artikel behandelt im Wesentlichen den Zusammenhang auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit beziehungsweise auf einem Vektorbündel. Ein ausgezeichneter Zusammenhang auf einem Tensorbündel, einem besonderen Vektorbündel, heißt kovariante Ableitung. Allgemeiner existieren auch Zusammenhänge auf Prinzipalbündeln mit analogen definierenden Eigenschaften.

MotivationBearbeiten

In der Differentialgeometrie interessiert man sich für die Krümmung von Kurven, insbesondere von Geodäten. In euklidischen Räumen ist die Krümmung einfach durch die zweite Ableitung gegeben. Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist die zweite Ableitung nicht direkt zu bilden. Ist   eine Kurve, so muss man für die zweite Ableitung dieser Kurve den Differenzenquotienten mit den Vektoren   und   bilden. Diese Vektoren befinden sich jedoch in unterschiedlichen Vektorräumen, daher kann man nicht einfach die Differenz der beiden bilden. Um das Problem zu lösen, hat man eine Abbildung definiert, welche man Zusammenhang nennt. Diese Abbildung soll einen Zusammenhang zwischen den beteiligten Vektorräumen bereitstellen und trägt daher auch diesen Namen.

DefinitionenBearbeiten

In diesem Abschnitt bezeichnet   eine glatte Mannigfaltigkeit,   das Tangentialbündel und   ein Vektorbündel. Mit   wird die Menge der glatten Schnitte im Vektorbündel   notiert.

ZusammenhangBearbeiten

Indem man sagt, was die Richtungsableitung eines Vektorfeldes in Richtung eines Tangentialvektors ist, erhält man einen Zusammenhang auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit  . Demgemäß definiert man einen Zusammenhang auf einem Vektorbündel als eine Abbildung

 

die einem Vektorfeld   auf   und einem Schnitt   im Vektorbündel   wieder einen Schnitt in   zuordnet, so dass die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  •   ist in   linear über  , das heißt
 
für   und  
  •   ist  -linear in   das heißt, es gilt
 
für  .
  • Außerdem gilt die Produktregel beziehungsweise Leibnizregel
 
für jede Funktion  .
Hier bezeichnet   die Richtungsableitung der Funktion   in Richtung   (Tangentialvektoren werden also als Derivationen aufgefasst). Eine andere Schreibweise für   ist  .

Alternativ kann man den Zusammenhang auch als Abbildung

 

mit den gleichen Eigenschaften definieren.

Linearer ZusammenhangBearbeiten

Ein linearer oder affiner Zusammenhang auf   ist ein Zusammenhang auf  . Das heißt es ist eine Abbildung

 

welche die drei definierenden Eigenschaften aus dem obigen Abschnitt erfüllt.

Induzierte ZusammenhängeBearbeiten

Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten auf anderen Vektorbündeln auf natürliche Weise Zusammenhänge zu induzieren.

Zusammenhang auf einer reellen UntermannigfaltigkeitBearbeiten

Sei   die Standardbasis von  , dann wird auf   der euklidische Zusammenhang   durch   definiert, wobei   und   Darstellungen der Vektorfelder   bzgl. der Standardbasis sind. Ist   eine Untermannigfaltigkeit von  , so erhält man auf   einen von   induzierten Zusammenhang. Dieser ist durch

 

bestimmt. Dabei bezeichnet   die orthogonale Projektion.

Zusammenhänge auf dem TensorbündelBearbeiten

Sei   ein linearer Zusammenhang auf der Mannigfaltigkeit  . Auf dem Tensorbündel   lässt sich ein eindeutiger Zusammenhang induzieren, welcher ebenfalls mit   notiert wird und die folgenden Eigenschaften erfüllt:

  1. Auf   stimmt   mit dem gegebenen Zusammenhang überein.
  2. Auf   ist   die gewöhnliche Richtungsableitung von Funktionen:
     
  3. Für   gilt die folgende Produktregel
     
  4. Der Zusammenhang   kommutiert mit der Tensorverjüngung  , das heißt
     

Dieser Zusammenhang auf   wird auch kovariante Ableitung genannt.

Kompatibilität mit der riemannschen Metrik und SymmetrieBearbeiten

Sei   eine riemannsche oder pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit. Einen Zusammenhang   nennt man kompatibel mit der Metrik   dieser Mannigfaltigkeit, falls

 

gilt. Mit der 3. Eigenschaft aus dem Abschnitt Zusammenhänge auf dem Tensorbündel erhält man die Gleichung

 

und daher ist die Kompatibilitätsbedingung äquivalent zu

 

Ein Zusammenhang heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, das heißt es gilt

 

Diese beiden Eigenschaften erscheinen natürlich, da sie von einem induzierten Zusammenhang auf einer reellen Untermannigfaltigkeit bereits erfüllt werden. Ein Zusammenhang auf einer (abstrakten) Mannigfaltigkeit, welcher diese beiden Eigenschaften erfüllt, ist eindeutig bestimmt. Diese Aussage wird Hauptsatz der riemannschen Geometrie genannt und der eindeutig bestimmte Zusammenhang heißt Levi-Civita- oder riemannscher Zusammenhang. Ein Zusammenhang, welcher mit der riemannschen Metrik kompatibel ist, heißt metrischer Zusammenhang. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit kann im Allgemeinen mehrere verschiedene metrische Zusammenhänge haben.

EigenschaftenBearbeiten

  • Sei   und seien   zwei Vektorfelder auf  , so dass   in einer Umgebung   von   gilt. Dann folgt für alle Vektorfelder  
 

Allgemeiner brauchen   und   nichteinmal auf einer ganzen Umgebung gleich zu sein. Genauer: Falls es eine glatte Kurve   gibt (für ein geeignetes  ) so, dass   und   und falls   für alle   gilt, dann folgt schon  . Das bedeutet, dass die beiden Vektorfelder   und   nur entlang einer geeigneten glatten Kurve übereinstimmen müssen.

  • Analog zur eben genannten Eigenschaft: Seien   zwei Vektorfelder auf   so, dass  . Dann gilt für alle  , dass  .

Darstellung in Koordinaten: Christoffel-SymboleBearbeiten

Bilden die lokalen Vektorfelder   in jedem Punkt eine Basis des Tangentialraums, so sind die Christoffel-Symbole definiert durch

  bzw.   in einsteinscher Summenkonvention.

Haben die Vektorfelder   und   bezüglich dieser Basis die Gestalt   und  , so gilt für die Komponenten   von  

  ,

wobei   die Richtungsableitung der Funktion   in Richtung des Vektors   bezeichnet.

Wählt man als Basisvektorfelder speziell die durch eine Karte gegebenen Vektorfelder  , so erhält man die Koordinatendarstellung

 .

Dieses Resultat entspricht der Produktregel: Im Produkt   ändern sich bei infinitesimalen Änderungen sowohl die Basisvektoren   als auch die Komponentenfunktionen   und es entsteht die Summe beider Änderungen.

AnwendungenBearbeiten

Die zentralen Begriffe dieses Artikels betreffen in der Physik u. a. die Allgemeine Relativitätstheorie und die Eichtheorien (z. B. Quantenelektrodynamik, Quantenchromodynamik und Yang-Mills-Theorie) der Hochenergiephysik, sowie in der Festkörperphysik die BCS-Theorie der Supraleitung. Das Gemeinsame an diesen Theorien ist, dass „Zusammenhang“ und „kovariante Ableitung“ durch Vektorpotentiale generiert werden, die gewissen Eichbedingungen genügen, und dass sie explizit in bestimmter Weise in die Energiefunktion des Systems eingehen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • John M. Lee: Riemannian manifolds. An introduction to curvature (= Graduate texts in mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8.

WeblinksBearbeiten

Manifold Atlas