Levi-Civita-Zusammenhang

In der Mathematik, insbesondere in der riemannschen Geometrie, einem Teilgebiet der Differentialgeometrie, versteht man unter einem Levi-Civita-Zusammenhang einen Zusammenhang auf dem Tangentialbündel einer riemannschen oder semi-riemannschen Mannigfaltigkeit, der in gewisser Weise mit der Metrik der Mannigfaltigkeit verträglich ist. Der Levi-Civita-Zusammenhang spielt beim modernen Aufbau der riemannschen Geometrie eine zentrale Rolle. Er stellt dort eine Verallgemeinerung der klassischen Richtungsableitung aus der mehrdimensionalen Differentialrechnung in euklidischen Räumen dar und ist geeignet, die Richtungsänderung eines Vektorfeldes in Richtung eines weiteren Vektorfeldes zu quantifizieren. Der Begriff des Levi-Civita-Zusammenhangs ist äquivalent zum Paralleltransport im Sinne von Levi-Civita und daher ein Mittel, um Tangentialräume in verschiedenen Punkten miteinander in Beziehung zu setzen, woher auch die Bezeichnung Zusammenhang rührt. Da die (semi-)riemannsche Geometrie ein wesentliches Werkzeug zur Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie ist, wird der Levi-Civita-Zusammenhang auch hier benutzt. Eine weitere Anwendung findet der Levi-Civita-Zusammenhang bei der Konstruktion des Dirac-Operators einer Spin-Mannigfaltigkeit.

MotivationBearbeiten

Für Vektorfelder   und   auf dem euklidischen Raum   definiert man den Levi-Civita-Zusammenhang als die Richtungsableitung von Y nach X, d. h. die Richtungsableitung der einzelnen Komponenten von Y nach X:

 ,

wobei   die übliche Richtungsableitung bezeichnet.

Falls   eine Untermannigfaltigkeit des   ist und   Vektorfelder auf   sind, dann ist   ein auf   definiertes Vektorfeld, dessen Bilder aber im Tangentialraum des  , nicht notwendig im Tangentialraum von   liegen. Für jedes   kann man aber die orthogonale Projektion   benutzen und definiert dann

 .

Dieser Zusammenhang   erfüllt die unten angegebenen Axiome, nach dem Hauptsatz der Differentialgeometrie stimmt er also mit dem Levi-Civita-Zusammenhang überein. Der Vorteil des unten angegebenen axiomatischen Zugangs ist, dass man den Levi-Civita-Zusammenhang einer Riemannschen Mannigfaltigkeit   unabhängig von einer zu wählenden Einbettung   betrachten kann.

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine (semi-)riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann existiert genau ein Zusammenhang   auf dem Tangentialbündel   von   mit den folgenden Eigenschaften:

  •   ist torsionsfrei, d. h., es gilt
 
für alle Vektorfelder  ,  . Dabei bezeichnet   die Lie-Klammer der Vektorfelder   und  .
 
für alle Vektorfelder  ,   und  .

Dieser Zusammenhang   heißt Levi-Civita-Zusammenhang oder auch der riemannsche Zusammenhang von  . Es ist benannt nach Tullio Levi-Civita.

EigenschaftenBearbeiten

Hauptsatz der riemannschen GeometrieBearbeiten

Aus obiger Definition wird nicht klar, ob ein solcher Levi-Civita-Zusammenhang überhaupt existiert. Dies muss also erst bewiesen werden. Die Aussage, dass ein solcher Zusammenhang existiert und auch eindeutig ist, wird in der Literatur häufig Hauptsatz der riemannschen Geometrie genannt. Der Levi-Civita-Zusammenhang ist nämlich ein wesentliches Hilfsmittel zum Aufbau der riemannschen Krümmungstheorie. Denn der Krümmungstensor wird mit Hilfe eines Zusammenhangs definiert, daher bietet es sich an, in der riemannschen Geometrie den eindeutig ausgezeichneten Levi-Civita-Zusammenhang für die Definition des riemannschen Krümmungstensors zu verwenden.

Koszul-FormelBearbeiten

Der Levi-Civita-Zusammenhang   ist eindeutig beschrieben durch die Koszul-Formel (benannt nach Jean-Louis Koszul)

 

Diese gibt eine implizite, globale Beschreibung von  , die sich vor allem für einen abstrakten Existenzbeweis von   eignet. Man kann zur Konstruktion von   aber auch von einer lokalen Beschreibung ausgehen.

ChristoffelsymboleBearbeiten

Eine lokale Beschreibung von   erhält man wie folgt. Allgemein wird ein Zusammenhang auf einem Vektorbündel lokal durch seine Zusammenhangskoeffizienten beschrieben. Die Zusammenhangskoeffizienten des Levi-Civita-Zusammenhangs sind die klassischen Christoffelsymbole zweiter Art  . Dies bedeutet im Einzelnen, dass bezüglich einer Karte   von  

 

mit

 

gilt. Hierbei ist   die inverse Matrix des riemannschen Fundamentaltensors   und   die Koordinatenbasis der Karte  .

Da der Levi-Civita-Zusammenhang torsionsfrei ist, sind die Christoffelsymbole symmetrisch, d. h., für alle  ,   und   gilt : .

Man nennt   die kovariante Ableitung von   entlang  , da   die klassische kovariante Ableitung aus dem Tensorkalkül von Gregorio Ricci-Curbastro und Tullio Levi-Civita verallgemeinert.

Beziehungen zur RichtungsableitungBearbeiten

Es seien   eine (semi-)riemannsche Mannigfaltigkeit und   der Levi-Civita-Zusammenhang von  . Außerdem seien  ,   Vektorfelder auf  . Dann lässt sich   wie folgt als Verallgemeinerung des Begriffs der Richtungsableitung für Vektorfelder des   auffassen.

  • Es sei   ein Punkt. Dann hängt   nur vom Tangentialvektor   und dem Vektorfeld   ab. Wählt man eine glatte Kurve   mit   und   und bezeichnet mit   den Paralleltransport entlang   im Sinne von Levi-Civita, so gilt
     
Das heißt,   ergibt sich wie die klassische Richtungsableitung als Grenzwert eines Differenzenquotienten, wobei das „Verpflanzungsgesetz“ (Hermann Weyl) von   nach   durch die Parallelverschiebung im Sinne Levi-Civitas gegeben ist. Im Spezialfall, in dem   der   mit der Standardmetrik ist, stimmt dieser Begriff einer Parallelitätsverschiebung mit der herkömmlichen Parallelverschiebung im   überein, sodass in diesem Fall die gewöhnliche Richtungsableitung eines Vektorfeldes entlang eines Vektorfeldes mit der neu definierten kovarianten Ableitung übereinstimmt.
  • Es sei   ein Punkt. Dann existiert eine Karte   um  , sodass der metrische Fundamentaltensor   im Punkt   bzgl.   durch   gegeben ist (Normalkoordinaten). Bezüglich einer solchen Karte gilt im Punkt  
     
wenn   und   die lokalen Koordinaten von   und   bezüglich   sind. D. h., bezüglich normaler Koordinaten lautet die lokale Definition von   genau so wie im „flachen Fall“ des   mit der Standardmetrik.

Der Levi-Civita-Zusammenhang besitzt eine besonders einfache Beschreibung in dem Fall, in dem   eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist, die dadurch entsteht, dass man die Standardmetrik des   auf eine Untermannigfaltigkeit   des   einschränkt. In diesem Fall ist der Levi-Civita-Zusammenhang   von   wie folgt gegeben. Es gilt

 

Dabei sind  ,   Vektorfelder auf  ,  ,   Fortsetzungen dieser Vektorfelder zu Vektorfelder auf ganz  ,   die Richtungsableitung von   entlang des Vektorfeldes   und   die orthogonale Projektion von   auf den Tangentialraum   mit Fußpunkt  .

Richtungsableitung entlang KurvenBearbeiten

Der Levi-Civita-Zusammenhang erlaubt es, den Begriff der Beschleunigung einer glatten Kurve, die in einer riemannschen Mannigfaltigkeit verläuft, zu definieren. Dies führt zu einer Beschreibung der Geodäten der zugrundeliegenden riemannschen Mannigfaltigkeit als den beschleunigungsfreien Kurven. Zunächst definiert der Levi-Civita-Zusammenhang (so wie jeder Zusammenhang auf einem Vektorbündel) eine Richtungsableitung für Vektorfelder, die entlang einer Kurve erklärt sind. Diese Richtungsableitung misst die Änderungsrate des Vektorfeldes in Richtung der Kurve. Es sind unterschiedliche Bezeichnungen für diese Ableitung in Gebrauch. Wir nennen die gebräuchlichsten im Anschluss zur Definition.

Es sei   eine glatte Kurve in der riemannschen Mannigfaltigkeit   und   ein Vektorfeld entlang  . Die Richtungsableitung von   entlang   im Punkt   ist

 

Weitere gängige Bezeichnungen für diese Größe sind

 

Insbesondere ist  , das Geschwindigkeitsfeld von  , selbst ein Vektorfeld entlang der Kurve  . Die Beschleunigung von   ist das Vektorfeld   entlang  . Die Kurve   ist genau dann eine Geodäte der riemannschen Mannigfaltigkeit  , wenn ihre Beschleunigung verschwindet. Von einem physikalischen Standpunkt aus lassen sich also Geodäten kinematisch als die Kurven deuten, denen ein Partikel in der riemannschen Mannigfaltigkeit folgen würde, wenn er keiner Krafteinwirkung ausgesetzt ist.

ParalleltransportBearbeiten

Im Allgemeinen definiert ein Paralleltransport entlang einer Kurve bezüglich eines Zusammenhangs auf einem Vektorbündel einen Isomorphismus zwischen den Fasern, deren Fußpunkte auf der Kurve liegen. Ist der Zusammenhang der Levi-Civita-Zusammenhang einer riemannschen Mannigfaltigkeit, so sind die Isomorphismen orthogonal, also längen- und winkeltreu. Der vom Levi-Civita-Zusammenhang einer riemannschen Mannigfaltigkeit induzierte Paralleltransport stimmt mit dem von Levi-Civita 1918 erstmals definierten Paralleltransport überein (vgl. Paralleltransport im Sinne von Levi-Civita). Dieser wurde in einem Spezialfall von Ferdinand Minding antizipiert.

Riemannscher ZusammenhangBearbeiten

In der Theorie der Prinzipalbündel werden Zusammenhänge als Lie-Algebra-wertige 1-Formen definiert. Da das Rahmenbündel   einer riemannschen Mannigfaltigkeit   ein Prinzipalbündel mit der allgemeinen linearen Gruppe   als Strukturgruppe ist, kann man mit Hilfe des Levi-Civita-Zusammenhanges   eine Zusammenhangsform wie folgt definieren.

Seien   lokale Koordinaten in einer Umgebung von  , so dass die Basis

 

ein Element des Rahmenbündels ist, also  . Die Christoffel-Symbole   des Levi-Civita-Zusammenhangs werden dann durch

 

beschrieben. Die durch   definierte  -wertige 1-Form auf   habe in diesen Koordinaten die Zerlegung

 .

Sei

 

die auf eine Umgebung fortgesetzte Basis von  . Dann definiert

 

eine Matrix-wertige 1-Form und es gilt

 [1]

Der durch den riemannschen Zusammenhang definierte Paralleltransport auf dem Rahmenbündel stimmt mit dem von dem Levi-Civita-Zusammenhang definierten Paralleltransport auf dem Tangentialbündel überein.

Seien   die kanonischen 1-Formen des Rahmenbündels, dann hängt die Krümmungsform des Levi-Civita-Zusammenhangs mit dem Riemannschen Krümmungstensor über die Gleichung   zusammen.

LiteraturBearbeiten

  • Isaac Chavel: Riemannian Geometry. A Modern Introduction. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0521619548.
  • John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0387983228.
  • Barrett O'Neill: Semi-Riemannian Geometry. With Applications to Relativity. Academic Press, New York 1983, ISBN 0125267401.
  • Michael Spivak: A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Band 2). Publish or Perish Press, Berkeley 1999, ISBN 0-914098-71-3.
  • Rainer Oloff: Geometrie der Raumzeit. Eine mathematische Einführung in die Relativitätstheorie. 3. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3528269170.
  • Hermann Weyl: Raum, Zeit, Materie. Springer, 1923.

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Kobayashi, Nomizu: Foundations of Differential Geometry, Section iii.7