Torsionstensor

mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie

Der Torsionstensor ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie. Eingeführt wurde dieses Tensorfeld von Élie Cartan in seinen Studien zur Geometrie und Gravitation.[1]

DefinitionBearbeiten

Sei   eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einem affinen Zusammenhang  . Der Torsionstensor   ist ein Tensorfeld, das durch

 

definiert ist. Dabei sind   zwei Vektorfelder und   stellt die Lie-Klammer dar.[2]

Lokale DarstellungBearbeiten

Sei   ein lokaler Rahmen des Tangentialbündels  . Das sind Schnitte im Tangentialbündel, die in jedem Tangentialraum eine Vektorraumbasis bilden. Setzt man  ,   und  , dann gilt für die Komponenten   des Torsionstensors in lokalen Koordinaten

 

Dabei bezeichnen die Symbole   die Christoffel-Symbole. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds

 

EigenschaftenBearbeiten

  • Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere  -linear in seinen drei Argumenten.
  • Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt, es gilt  .

Symmetrischer ZusammenhangBearbeiten

Ein affiner Zusammenhang   heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also

 

oder äquivalent

 

gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der zusätzlich noch metrisch ist.

Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei   eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang   und   eine glatte Homotopie von glatten Kurven, dann gilt

 

Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach   mit der nach   vertauscht werden.[3]

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Elie Cartan: On manifolds with an Affine Connection and the Theory of General Relativity (= Monographs and Textbooks in Physical Science 1). Bibliopolis, Neapol 1986, ISBN 88-7088-086-9 (Engl. transl. of French original 1922/23: Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée).
  2. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 68.
  3. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 97–98.