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Einsteinsche Summenkonvention

Konvention zur Notation mathematischer Ausdrücke innerhalb des Ricci-Kalküls

Die einsteinsche Summenkonvention ist eine Konvention zur Notation mathematischer Ausdrücke innerhalb des Ricci-Kalküls und stellt eine Indexschreibweise dar. Dieser Kalkül wird in der Tensoranalysis, der Differentialgeometrie und insbesondere in der theoretischen Physik verwendet. Die Summenkonvention wurde 1916 von Albert Einstein eingeführt.[1] Mit ihr werden die Summenzeichen zur Verbesserung der Übersicht einfach weggelassen und stattdessen wird über doppelt auftretende Indizes summiert.

Inhaltsverzeichnis

MotivationBearbeiten

In der Matrix- und Tensorrechnung werden oft Summen über Indizes gebildet. Zum Beispiel lautet das Matrizenprodukt zweier  -Matrizen   und   in Komponenten:

 

Hier wird über den Index   von 1 bis   summiert. Treten mehrere Matrizenmultiplikationen, Skalarprodukte oder andere Summen in einer Rechnung auf, kann dies schnell unübersichtlich werden. Mit der einsteinschen Summenkonvention lautet die Rechnung von oben dann:

 

Formale BeschreibungBearbeiten

Im einfachsten Fall der Summenkonvention gilt: Über doppelt auftretende Indizes innerhalb eines Produkts wird summiert. In der Relativitätstheorie gilt als zusätzliche Regel: Summiert wird nur, wenn der Index sowohl als oberer (kontravarianter) und als unterer (kovarianter) Index auftritt.

Die Summenkonvention verringert vor allem den Schreibaufwand. Teilweise hilft sie dabei, bestehende Zusammenhänge und Symmetrien hervorzuheben, die in der konventionellen Summenschreibweise nicht so leicht erkennbar sind.

BeispieleBearbeiten

Ohne Beachtung der IndexstellungBearbeiten

In den folgenden Beispielen stehen   für   Matrizen mit Einträgen   und   für dazu passende Vektoren.

  • Standardskalarprodukt  .
  • Anwendung einer Matrix auf einen Vektor:  
  • Produkt mehrerer (hier 4) Matrizen:  .
  • Spur einer Matrix A:  

Unter Berücksichtigung der IndexstellungBearbeiten

  • Standardskalarprodukt  .
  • Das Produkt   zweier Tensoren mit Tensorkomponenten   und   ist  
  • Anwendung eines Tensors mit Komponenten   auf die Summe der Vektoren  , um Vektor   zu erhalten:  .
  • Ein Tensorfeld t in einer Umgebung   hat die Darstellung
 
Hierbei versteht man den Index des Objektes   als unteren Index.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 4. Folge, Bd. 49 = 354. Bd. der ganzen Reihe, Nummer 7 (1916), S. 770–822, doi:10.1002/andp.19163540702.