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Matrizenmultiplikation

multiplikative Verknüpfung von Matrizen
(Weitergeleitet von Matrizenprodukt)
Bei einer Matrizenmultiplikation muss die Spaltenzahl der ersten Matrix gleich der Zeilenzahl der zweiten Matrix sein. Die Ergebnismatrix hat dann die Zeilenzahl der ersten und die Spaltenzahl der zweiten Matrix.

Die Matrizenmultiplikation oder Matrixmultiplikation ist in der Mathematik eine multiplikative Verknüpfung von Matrizen. Um zwei Matrizen miteinander multiplizieren zu können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen. Das Ergebnis einer Matrizenmultiplikation wird dann Matrizenprodukt, Matrixprodukt oder Produktmatrix genannt. Das Matrizenprodukt ist wieder eine Matrix, deren Einträge durch komponentenweise Multiplikation und Summation der Einträge der entsprechenden Zeile der ersten Matrix mit der entsprechenden Spalte der zweiten Matrix ermittelt werden.

Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ und mit der Matrizenaddition distributiv. Sie ist jedoch nicht kommutativ, das heißt, die Reihenfolge der Matrizen darf bei der Produktbildung nicht vertauscht werden. Die Menge der quadratischen Matrizen mit Elementen aus einem Ring bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation den Ring der quadratischen Matrizen. Weiter bildet die Menge der regulären Matrizen über einem unitären Ring mit der Matrizenmultiplikation die allgemeine lineare Gruppe. Matrizen, die durch spezielle Multiplikationen mit regulären Matrizen ineinander überführt werden können, bilden darin Äquivalenzklassen.

Der Standardalgorithmus zur Multiplikation zweier quadratischer Matrizen weist eine kubische Laufzeit auf. Zwar lässt sich der asymptotische Aufwand mit Hilfe spezieller Algorithmen verringern, die Ermittlung optimaler oberer und unterer Komplexitätsschranken für die Matrizenmultiplikation ist jedoch noch Gegenstand aktueller Forschung.

Die Matrizenmultiplikation wird häufig in der linearen Algebra verwendet. So wird beispielsweise die Faktorisierung einer Matrix als Produkt von Matrizen mit speziellen Eigenschaften bei der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme oder Eigenwertprobleme eingesetzt. Weiterhin ist die Abbildungsmatrix der Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen gerade das Matrizenprodukt der Abbildungsmatrizen dieser Abbildungen. Anwendungen der Matrizenmultiplikation finden sich unter anderem in der Informatik, der Physik und der Ökonomie.

Die Matrizenmultiplikation wurde erstmals von dem französischen Mathematiker Jacques Philippe Marie Binet im Jahr 1812 beschrieben.[1]

Zur Berechnung des Matrizenprodukts wird das Schema Zeile mal Spalte angewandt.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Die Matrizenmultiplikation ist eine binäre Verknüpfung auf der Menge der Matrizen über einem Ring   (oft der Körper der reellen Zahlen), also eine Abbildung

 ,

die zwei Matrizen   und   eine weitere Matrix   zuordnet. Die Matrizenmultiplikation ist dabei nur für den Fall definiert, dass die Spaltenzahl   der Matrix   mit der Zeilenzahl der Matrix   übereinstimmt. Die Zeilenzahl   der Ergebnismatrix   entspricht dann derjenigen der Matrix   und ihre Spaltenzahl   derjenigen der Matrix  . Jeder Eintrag   des Matrizenprodukts berechnet sich dabei über

 ,

also durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der  -ten Zeile von   mit der  -ten Spalte von   und durch Summation all dieser Produkte. Häufig wird bei der Notation einer Matrizenmultiplikation der Malpunkt weggelassen und man schreibt kurz   statt  . Soll die Reihenfolge der Faktoren betont werden, spricht man „A wird von links mit B multipliziert“ für das Produkt   und „A wird von rechts mit B multipliziert“ für das Produkt  .

BeispielBearbeiten

Gegeben seien die beiden reellen Matrizen

    und    .

Da die Matrix   ebenso viele Spalten wie die Matrix   Zeilen besitzt, ist die Matrizenmultiplikation   durchführbar. Nachdem   zwei Zeilen und   zwei Spalten hat, wird das Matrizenprodukt ebenfalls zwei Zeilen und Spalten aufweisen. Zur Berechnung des ersten Matrixelements der Ergebnismatrix werden die Produkte der entsprechenden Einträge der ersten Zeile von   und der ersten Spalte von   aufsummiert (die Sternchen stehen für noch nicht berechnete Elemente):

 

Für das nächste Element der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte wird entsprechend die erste Zeile von   und die zweite Spalte von   verwendet:

 

Dieses Rechenschema setzt sich nun in der zweiten Zeile und ersten Spalte fort:

 

Es wiederholt sich bei dem letzten Element in der zweiten Zeile und zweiten Spalte:

 

Das Ergebnis ist das Matrizenprodukt  . Eine optische Hilfestellung und Unterstützung zur Berechnung des Matrizenprodukts bietet das falksche Schema.[2]

 
Multiplikation eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor

SpezialfälleBearbeiten

Zeilenvektor mal SpaltenvektorBearbeiten

Besteht die erste Matrix aus nur einer Zeile und die zweite Matrix aus nur einer Spalte, so ergibt das Matrizenprodukt eine  -Matrix. Interpretiert man eine einzeilige Matrix als Zeilenvektor   und eine einspaltige Matrix als Spaltenvektor  , so erhält man im Fall reeller Vektoren das Standardskalarprodukt

 

zweier Vektoren, wobei   den zu   transponierten Vektor darstellt, beide Vektoren gleich lang sein müssen und das Ergebnis dann eine reelle Zahl ist. Jeder Eintrag eines Matrizenprodukts   kann somit als Skalarprodukt eines Zeilenvektors der Matrix   mit einem Spaltenvektor der Matrix   angesehen werden.

 
Multiplikation eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor

Spaltenvektor mal ZeilenvektorBearbeiten

Besteht umgekehrt die erste Matrix aus nur einer Spalte der Länge   und die zweite Matrix aus nur einer Zeile der Länge  , so ergibt das Matrizenprodukt eine  -Matrix. Wird wieder eine einspaltige Matrix als Spaltenvektor   und eine einzeilige Matrix als Zeilenvektor   interpretiert, so wird das entstehende Produkt von Vektoren als dyadisches Produkt

 

bezeichnet. Jeder Eintrag   der resultierenden Matrix ist dabei das Produkt eines Elements   des ersten Vektors mit einem Element   des zweiten Vektors. Das Matrizenprodukt   kann so als Summe dyadischer Produkte der Spaltenvektoren von   mit den jeweiligen Zeilenvektoren von   geschrieben werden.

 
Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor

Matrix mal VektorBearbeiten

Ein wichtiger Spezialfall einer Matrizenmultiplikation entsteht, wenn die zweite Matrix aus nur einer Spalte besteht. Das Ergebnis der Matrizenmultiplikation ist dann ebenfalls eine einspaltige Matrix. Wird wieder eine einspaltige Matrix als Spaltenvektor interpretiert, so erhält man das Matrix-Vektor-Produkt

 ,

wobei  ,   und   sind. Das Matrix-Vektor-Produkt wird beispielsweise in der Matrixschreibweise linearer Gleichungssysteme verwendet.

 
Multiplikation eines Vektors mit einer Matrix

Vektor mal MatrixBearbeiten

Besteht umgekehrt die erste Matrix aus nur einer Zeile, so ergibt das Vektor-Matrix-Produkt

 

aus einem Zeilenvektor   und einer Matrix   wieder einen Zeilenvektor  .

Quadrat einer MatrixBearbeiten

Durch Multiplikation einer quadratischen Matrix   mit sich selbst ergibt sich wieder eine Matrix gleicher Größe, die als das Quadrat der Matrix bezeichnet wird, das heißt:

 

Entsprechend dazu wird mit   die Matrixpotenz, also das  -fache Produkt einer Matrix mit sich selbst, bezeichnet. Matrixpotenzen werden beispielsweise zur Definition des Matrixexponentials und des Matrixlogarithmus verwendet. Umgekehrt heißt eine quadratische Matrix  , für die

 

gilt, Quadratwurzel der Matrix  . Eine Matrix kann mehrere, sogar unendlich viele, Quadratwurzeln besitzen. Analog wird eine Matrix, deren  -te Potenz die Matrix   ergibt, als  -te Wurzel   dieser Matrix bezeichnet.

 
Multiplikation zweier Blockmatrizen

BlockmatrizenBearbeiten

Weisen die beiden Matrizen   und   eine Blockstruktur auf, wobei die Blockbreiten der ersten Matrix mit den Blockhöhen der zweiten Matrix übereinstimmen müssen, so lässt sich auch das Matrizenprodukt   blockweise notieren. Die Ergebnismatrix besitzt dann die Blockhöhen der ersten und die Blockbreiten der zweiten Matrix. Im Fall zweier Matrizen mit je zwei mal zwei Blöcken ergibt sich beispielsweise

 ,

womit die Ergebnismatrix auch zwei mal zwei Blöcke besitzt.

 
Zur Berechnung eines Eintrags des Matrizenprodukts   werden alle Elemente der Matrix   benötigt (mittlere Zeile). Für die Bildung der hierbei benötigten Doppelsumme gibt es zwei Möglichkeiten (obere und untere Zeile).

EigenschaftenBearbeiten

AssoziativitätBearbeiten

Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ, das heißt, für Matrizen  ,   und   gilt:

 

Bei der Multiplikation mehrerer Matrizen ist es also unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilprodukte gebildet werden, solange die Gesamtreihung nicht verändert wird. Für den Eintrag an der Stelle   des resultierenden Matrizenprodukts gilt nämlich:

 

Die Matrizenmultiplikation ist auch verträglich mit der Multiplikation von Skalaren  , das heißt:

 

DistributivitätBearbeiten

Betrachtet man neben der Matrizenmultiplikation auch noch die komponentenweise Matrizenaddition   zweier Matrizen  , dann sind auch die Distributivgesetze erfüllt. Das heißt, für alle Matrizen   gilt

 

und für alle Matrizen   entsprechend

 .

Die Distributivgesetze folgen direkt aus der Distributivität der Addition mit der Multiplikation im Ring   über

 

für das erste Distributivgesetz und über eine analoge Umformung auch für das zweite Distributivgesetz.

NichtkommutativitätBearbeiten

Das Kommutativgesetz hingegen gilt für die Matrizenmultiplikation nicht, das heißt, für   und   ist im Allgemeinen

 .

Für die beiden Matrizenprodukte gilt nämlich   und  , womit sie für   schon von den Dimensionen her nicht übereinstimmen können. Aber selbst, wenn   und   quadratisch sind, müssen beiden Matrizenprodukte nicht gleich sein, wie das Gegenbeispiel

 

zeigt. Die Nichtkommutativität der Matrizenmultiplikation gilt demnach sogar, wenn die Multiplikation im Ring   kommutativ sein sollte, wie es beispielsweise bei Zahlen der Fall ist. Für spezielle Matrizen kann die Matrizenmultiplikation dennoch kommutativ sein, siehe die nachfolgenden Abschnitte.

Weitere RechenregelnBearbeiten

Für die Transponierte eines Matrizenprodukts gilt

 .

Die Reihenfolge bei der Multiplikation wird durch die Transposition also vertauscht. Für die Adjungierte des Produkts komplexer Matrizen gilt entsprechend

 .

Die Spur des Produkts zweier Matrizen   und   ist hingegen unabhängig von der Reihenfolge:

 

Mit dem Determinantenproduktsatz gilt auch für die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:

 

Die Determinante des Produkts zweier nicht notwendigerweise quadratischer Matrizen kann mit dem Satz von Binet-Cauchy berechnet werden.

Algebraische StrukturenBearbeiten

Ring der quadratischen MatrizenBearbeiten

Die Menge der quadratischen Matrizen fester Größe bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen nichtkommutativen Ring, den Matrizenring  . Das Nullelement dieses Rings ist die Nullmatrix  . Ist   ein unitärer Ring, dann ist auch der zugehörige Matrizenring unitär mit der Einheitsmatrix   als Einselement, wobei für alle Matrizen  

 

gilt. Die Nullmatrix fungiert im Matrizenring in diesem Fall als absorbierendes Element, das heißt, für alle Matrizen   gilt dann:

 

Der Ring der quadratischen Matrizen ist jedoch nicht nullteilerfrei; aus   folgt nicht notwendigerweise   oder  .[3] Entsprechend darf bei Matrixgleichungen auch nicht gekürzt werden, denn aus   folgt nicht notwendigerweise  . Die Menge der quadratischen Matrizen über einem Körper bildet mit der Matrizenaddition, der Skalarmultiplikation und der Matrizenmultiplikation eine assoziative Algebra.

Gruppe der regulären MatrizenBearbeiten

Die Menge der regulären Matrizen   über einem unitären Ring   bildet mit der Matrizenmultiplikation die allgemeine lineare Gruppe  . Die zur Matrix   inverse Matrix ist dann eindeutig über

 

definiert. Für die Inverse des Produkts zweier regulärer Matrizen gilt dann:

 

Durch die Invertierung wird die Reihenfolge bei der Multiplikation demnach ebenfalls vertauscht. Ist   regulär, dann gilt auch die Kürzungsregel, das heißt aus   oder   folgt dann  .

Gruppen der orthogonalen und unitären MatrizenBearbeiten

Eine reelle quadratische Matrix   heißt orthogonal, wenn

 

gilt. Die orthogonalen Matrizen bilden mit der Matrizenmultiplikation die orthogonale Gruppe  , eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe  . Entsprechend dazu heißt eine komplexe quadratische Matrix   unitär, wenn

 

gilt. Die unitären Matrizen bilden mit der Matrizenmultiplikation die unitäre Gruppe  , eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe  .

Äquivalenzklassen von MatrizenBearbeiten

Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation werden Äquivalenzrelationen zwischen Matrizen über einem Körper definiert. Wichtige Äquivalenzrelationen sind:

  • Äquivalenz: Zwei Matrizen   und   heißen äquivalent, wenn es zwei reguläre Matrizen   und   gibt, sodass   gilt.
  • Ähnlichkeit: Zwei quadratische Matrizen   und   heißen ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix   gibt, sodass   gilt.
  • Kongruenz: Zwei quadratische Matrizen   und   heißen kongruent, wenn es eine reguläre Matrix   gibt, sodass   gilt.

Matrizen, die durch solche Multiplikationen mit regulären Matrizen ineinander überführt werden können, bilden demnach Äquivalenzklassen.

AlgorithmenBearbeiten

StandardalgorithmusBearbeiten

In Pseudocode kann die Matrizenmultiplikation wie folgt implementiert werden:

function matmult(A,B,l,m,n)
  C = zeroes(l,n)                         // Ergebnismatrix C mit Nullen initialisieren
  for i = 1 to l                          // Schleife über die Zeilen von C
    for k = 1 to n                        // Schleife über die Spalten von C
      for j = 1 to m                      // Schleife über die Spalten von A / Zeilen von B
        C(i,k) = C(i,k) + A(i,j) * B(j,k) // Bildung der Produktsumme
      end
    end
  end
  return C

Die Reihenfolge der drei For-Schleifen kann dabei beliebig vertauscht werden. Da die drei Schleifen unabhängig voneinander sind, ist die Anzahl der benötigten Operationen von der Ordnung

 .

Die Laufzeit des Algorithmus ist demnach für quadratische Matrizen   kubisch, also von der Ordnung

 .

Bei der Matrix-Kettenmultiplikation, also der Multiplikation von drei oder mehr nichtquadratischen Matrizen, kann durch eine geschickte Wahl der Reihenfolge die Gesamtzahl arithmetischer Operationen minimiert werden.

 
Entwicklung der oberen Komplexitäts­schranke der Matrizenmultikation in den letzten Jahrzehnten

Algorithmen mit besserer KomplexitätBearbeiten

Asymptotisch effizienter lassen sich zwei quadratische Matrizen mit dem Strassen-Algorithmus multiplizieren. Hierbei wird die Anzahl der Multiplikationen, die zur Multiplikation zweier  -Matrizen benötigt werden, durch geschicktes Zusammenfassen von acht auf sieben reduziert, was auf Kosten zusätzlicher Additionen geschieht. Wendet man dieses Verfahren rekursiv an, ergibt sich eine Komplexitätsordnung von

 .

Allerdings lohnt sich der Strassen-Algorithmus aufgrund der in der Landau-Notation versteckten Konstanten nur für sehr große Matrizen.[4] Der Algorithmus mit der derzeit besten Komplexität ist eine Verbesserung des Coppersmith–Winograd-Algorithmus mit einer Laufzeit der näherungsweisen Ordnung[5]

 .

Für den praktischen Einsatz ist dieser Algorithmus jedoch nicht geeignet. Eine untere Schranke für die Komplexität der Matrizenmultiplikation ist

 ,

da jedes der   Elemente der Ausgabematrix erzeugt werden muss. Die Ermittlung optimaler unterer und oberer Komplexitätsschranken für die Matrizenmultiplikation ist Gegenstand aktueller Forschung.

ProgrammierungBearbeiten

Das Matrizenprodukt ist in Programmiersystemen auf unterschiedliche Weise integriert, wobei insbesondere Verwechselungsgefahr mit dem komponentenweisen Hadamard-Produkt besteht. In den numerischen Softwarepaketen MATLAB und GNU Octave wird die Matrizenmultiplikation durch den Sternchen-Operator * realisiert, sodass A * B das Matrizenprodukt ergibt.[6] In anderen Programmierumgebungen, wie Fortran, Mathematica, R oder SciPy, wird jedoch durch A * B das Hadamard-Produkt berechnet. Die Matrixmultiplikation wird dann durch Funktionsaufrufe, wie matmul(A,B) in Fortran oder dot(A,B) in SciPy, oder durch eigene Operatoren für die Matrixmultiplikation, wie . in Mathematica oder %*% in R, umgesetzt.[7]


 
Durch eine Singulärwertzerlegung kann eine Scherung als Produkt einer Drehung, einer Skalierung und einer weiteren Drehung dargestellt werden.

VerwendungBearbeiten

FaktorisierungenBearbeiten

Auf gewisse Weise ist die Umkehrung der Matrizenmultiplikation die Faktorisierung einer gegebenen Matrix   als Produkt zweier Matrizen   und  , das heißt die Ermittlung einer Darstellung der Form

 .

Eine solche Faktorisierung ist nicht eindeutig, daher werden an die Matrizen   und   zusätzliche Anforderungen gestellt, wie Orthogonalität, Symmetrie oder eine bestimmte Besetzungsstruktur. Wichtige Zerlegungen reeller oder komplexer Matrizen dieser Art sind:

Solche Zerlegungen von Matrizen werden häufig in der numerischen linearen Algebra etwa zur Lösung linearer Gleichungssysteme oder Eigenwertprobleme eingesetzt. So lassen sich beispielsweise die Zeilen- und Spaltenumformungen im gaußschen Eliminationsverfahren als Produkt von Elementarmatrizen angeben.

 
Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen als Matrizenmultiplikation

Lineare AbbildungenBearbeiten

Sind allgemein   und   zwei endlichdimensionale Vektorräume über dem gleichen Körper, dann kann jede lineare Abbildung   nach Wahl je einer Basis in den beiden Vektorräumen über ihre Abbildungsmatrix   dargestellt werden. Das Bild   eines Vektors   unter der Abbildung   in den jeweiligen Basen kann dann über das Matrix-Vektor-Produkt

 

ermittelt werden. In der Geometrie lässt sich beispielsweise auf diese Weise jede Drehung um den Ursprung und jede Spiegelung an einer Ursprungsebene durch ein solches Matrix-Vektor-Produkt ausführen. Ist nun   ein weiterer Vektorraum und   eine weitere lineare Abbildung, dann gilt für die Abbildungsmatrix der Hintereinanderausführung   dieser beiden Abbildungen:

 

Die Abbildungsmatrix einer Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen ist also das Matrizenprodukt der beiden zugehörigen Abbildungsmatrizen. Auf diese Weise lässt sich beispielsweise jede Drehspiegelung als Produkt einer Drehmatrix und einer Spiegelungsmatrix darstellen. Alternativ kann eine lineare Abbildung auch durch Vektor-Matrix-Multiplikation eines Zeilenvektors mit der transponierten Abbildungsmatrix durchgeführt werden. Die Hintereinanderausführung von Abbildungen entspricht dann einer Matrizenmultiplikation von rechts statt von links.

AnwendungenBearbeiten

Anwendungen der Matrizenmultiplikation finden sich unter anderem:

VerallgemeinerungenBearbeiten

Matrizen über HalbringenBearbeiten

Allgemeiner können Matrizen über einem Halbring   betrachtet werden, wobei die wichtigsten Eigenschaften der Matrizenmultiplikation, wie Assoziativität und Distributivität, erhalten bleiben. Entsprechend bildet dann   den Halbring der quadratischen Matrizen über  . Die Nullmatrix ist im Matrizenhalbring wieder das Nullelement und auch absorbierend, wenn das Nullelement im zugrunde liegenden Halbring absorbierend ist. Ist der zugrunde liegende Halbring unitär, dann bildet auch die Einheitsmatrix wieder das Einselement im Matrizenhalbring.

Wichtige Beispiele für Halbringe sind distributive Verbände, wie beispielsweise boolesche Algebren. Fasst man die Elemente eines solchen Verbands als Wahrheitswerte auf, so sind Matrizen über einem Verband zweistellige Relationen. Die Matrizenmultiplikation entspricht in diesem Fall der Komposition von Relationen.

MatrizenkategorienBearbeiten

Algebraische Strukturen wie Ringe und Gruppen, deren Elemente Matrizen sind, sind auf quadratische Matrizen fester Größe beschränkt. Die Matrizenmultiplikation ist dagegen nicht derartig eingeschränkt. Eine Möglichkeit, diese Einschränkung aufzuheben, ist es, stattdessen Kategorien von Matrizen, jeweils über einem festen unitären Ring oder Halbring, zu betrachten. Die Objekte sind natürliche Zahlen, und ein Pfeil   ist eine  -Matrix. Die Komposition von Pfeilen ist durch die Matrizenmultiplikation gegeben. Sollen Matrizen auch addiert werden können, handelt es sich um eine präadditive Kategorie. Wenn Matrizen aller endlichen Größen vorkommen, erhält man eine abelsche Kategorie. Wenn nur invertierbare Matrizen vorkommen, handelt es sich um ein Gruppoid. In diesem Fall kann es interessant sein, anstelle der natürlichen Zahlen beliebige endliche Mengen als Objekte zuzulassen.

Verwandte ProdukteBearbeiten

Neben dem Matrizenprodukt existieren noch eine Reihe weiterer Produkte von Matrizen:

  • Das Hadamard-Produkt zweier Matrizen ergibt eine Matrix, deren Einträge einfach durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der Ausgangsmatrizen ermittelt werden. Im Vergleich zum Matrizenprodukt ist es jedoch weit weniger bedeutend.
  • Das Kronecker-Produkt zweier Matrizen ergibt eine große Matrix, die durch Betrachtung aller möglichen Produkte von Einträgen der beiden Ausgangsmatrizen entsteht.
  • Das Frobenius-Skalarprodukt zweier reeller oder komplexer Matrizen ergibt eine Zahl, die sich durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der Ausgangsmatrizen und nachfolgende Summation all dieser Produkte berechnet. Im komplexen Fall wird dabei immer ein Eintrag komplex konjugiert.

LiteraturBearbeiten

Einzelnachweise und AnmerkungenBearbeiten

  1. John J. O’Connor, Edmund F. RobertsonJacques Philippe Marie Binet. In: MacTutor History of Mathematics archive.
  2. Horst Stöcker: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2007, ISBN 978-3-8171-1811-3, S. 371.
  3. Ein Gegenbeispiel bilden zwei Matrizen mit je genau einem Eintrag ungleich null an der gleichen Außerdiagonalstelle.
  4. Paolo D’Alberto, Alexandru Nicolau: Using recursion to boost ATLAS’s performance. In: High-Performance Computing (= Lecture Notes in Computer Science). Volume 4759. Springer, 2010, S. 142–151, doi:10.1007/978-3-540-77704-5_12.
  5. Virginia Vassilevska Williams: Multiplying matrices faster than coppersmith-winograd. In: STOC ’12 Proceedings of the 44th symposium on Theory of Computing. ACM, 2012, S. 887–898, doi:10.1145/2213977.2214056.
  6. Christoph W. Überhuber, Stefan Katzenbeisser, Dirk Praetorius: MATLAB 7: Eine Einführung. Springer, 2007, S. 81.
  7. NumPy for Matlab Users. SciPy.org, 22. Februar 2014, abgerufen am 3. Januar 2015.
  8. Christoph Mayer,David Francas,Carsten Weber: Lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler. 3. Auflage. GBV Fachverlage, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8349-9529-2, S. 75 f.

WeblinksBearbeiten